Teilverhältnisse

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Teilverhältnisse

Nun soll untersucht werden, ob Teilverhältnisse bei Affinitäten erhalten bleiben.

Was sind Teilverhältnisse?

Definition

Das Verhältnis, in dem ein Punkt T eine Strecke \overline{AB} teilt, nennt man Teilverhältnis t.

Ist dir die Bedeutung des Teilverhältnisses noch unklar, bearbeite die folgende Übung:

Hand.gif   Übung

Verschiebe den Punkt T entlang der Geraden und beobachte die Veränderung des Teilverhältnisses t.

Affine Abbildungen und Teilverhältnisse

Stift.gif   Aufgabe

Untersuche die Änderung des ursprünglichen Teilverhältnisses nach bestimmten affinen Abbildungen, indem du die Strecke \overline{AB}

  • um einen selbstgewählten Faktor k zentrisch streckst
  • um einen Winkel \alpha mit dem Drehzentrum Z drehst
  • um einem Winkel \alpha mit der x-Achse als Scherachse scherst
.

Ändere dabei auch das ursprüngliche Teilverhältnis t, indem du den Punkt T bewegst.

Stelle mit den Ergebnissen der Experimente eine Hypothese auf und versuche deine Vermutung bezüglich der Erhaltung von Teilverhälnissen für alle affinen Abbildungen algebraisch zu belegen.

Bei einer Affinität wird die Gerade g: \vec{x}=\vec{p}+r\vec{u} auf die Gerade g':

\begin{align}
\vec{x'}&=& A(\vec{p}+r\vec{u}) &+& \vec{c}\\
&=&A\vec{p}+rA\vec{u} &+& \vec{c}\\
&=&(A\vec{p}+\vec{c}) &+& r(A\vec{u})\\
&=&\vec{p'}&+&r\vec{u'}
\end{align}

abgebildet.

Hier findest du die Lösung der Aufgabe:

Stift.gif   Aufgabe

Wie du bereits von den Aufgaben mit den geschlossenen Vektorzügen weißt, gibt der Parameter r einer Geraden g (gegeben durch 2 Punkte A und B) an, in welchem Verhältnis ein beliebiger Punkt der Geraden die Strecke \overline{AB} teilt.

Da der Parameter r bei der affinen Abbildung erhalten bleibt, verändern sich die relativen Abstände von Punkten einer Geraden - die Teilverhältnisse - nicht.

Fassen wir zusammen:

Maehnrot.jpg
Merke:

Affine Abbildungen sind teilverhältnistreu, d.h. ein Punkt teilt eine Strecke im gleichen Verhältnis wie der zugehörige Bildpunkt die Bildstrecke.

Alles verstanden und mitgeschrieben? Dann weiter zu Seitenlängen.