Winkeltreue

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Winkeltreue Abbildungen

Bei einer Spiegelung an einer Geraden bleiben Winkel gleichgroß. Ist das bei allen Abbildungen so?

Stift.gif   Aufgabe

Untersuche die Winkeltreue affiner Abbildungen, indem du das gegebene Dreieck

  • um einen selbstgewählten Faktor k zentrisch streckst
  • um einen Winkel \alpha mit dem Drehzentrum Z drehst
  • um einem Winkel \alpha mit der x-Achse als Scherachse scherst
.

Folgende Affinitäten sind nicht winkeltreu: Scherung.


Hinweis:
Eine Winkel bleibt konstant, wenn cos(\alpha)=\frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{\vec{a'}\vec{b'}}{|\vec{a'}||\vec{b'}|}=cos(\alpha')
Maehnrot.jpg
Merke:

Eine Affinität ist genau dann winkeltreu, wenn die Abbildungsmatrix A die Form \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} oder die Form  \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} besitzt und die Bedingung  a^2+b^2=k^2 erfüllt ist (k ist der Streckfaktor).

Hand.gif   Übung

Zeige, dass die zentrische Streckung eine winkeltreue Abbildung ist

Die zugehörige Matrix hat die Form \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} mit a=k und b=0.
a^2+b^2=k^2+0^2=k^2

Die zentrische Streckung erfüllt alle Bedingungen einer winkeltreuen Affinität.

Alles verstanden und das Wichtigste ins Heft übertragen? Prima, dann hast du den Lernpfad absolviert.