Benutzer:Korbinian
Inhaltsverzeichnis |
Der Sinussatz
Vorstellung
Dieser kleine Lernpfad entstand im Rahmen der universitären Fachdidaktikausbildung für das Lehramt Mathematik an Gymnasien. Da der Lernpfad eine Studienleistung darstellt, geht es uns weniger darum, einen didaktisch perfekt ausgearbeiteten Lernpfad zu präsentieren, als vielmehr darum, uns selbst mit der Arbeit in einem Wiki vertraut zu machen. Dennoch sind Interessierte, zum Beispiel Schülerinnen und Schüler, natürlich herzlich dazu eingeladen, sich auf dieser Seite über den Sinussatz zu informieren. Wir hoffen, dieser Lernpfad hilft dabei, den Sinussatz besser zu verstehen.
Einleitung
Wenn du bereits mit den trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) Sinus, Cosinus und Tangens etwas vertraut bist, dann wirst du wissen, dass sie u.a. die Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken beschreiben. Ihre Anwendung reicht aber darüber hinaus. Im Folgenden werden wir uns mit beliebigen Dreiecken und deren Seitenverhältnissen beschäftigen. Dazu hier zunächst eine Aufgabe für euch:
Aufgabe
Ein Schiff peilt einen Leuchtturm an. Dazu misst es α=40° in Fahrtrichtung und nach einer Fahrtstrecke von c= 10km, β=60°. Wie groß ist bei der zweiten Peilung (B) die Entfernung des Schiffs vom Leuchtturm? Wie weit war es bei der ersten Peilung (A) vom Leuchtfeuer entfernt? Wie groß war auf der Fahrt von A nach B die kürzeste Entfernung des Schiffs vom Leuchtturm?
Lösung
Es gilt γ=180°-α-β=80°. Außerdem ist sin(β)=h1/c und sin(γ)=h1/b.
Auflösen nach h1 und Gleichsetzen: h1=c*sin(β) und h1=b*sin(γ). Also: c*sin(β)=b*sin(γ) was äquivalent zu c/sin(γ)=b/sin(β) ist.
Damit gilt für b: b=c*sin(β)/sin(γ)=10km*sin(60)/sin(80)= 8,79 km (gerundet)
Für e gilt: sin(α)=e/b, also: e=b*sin(α)= 8,79km *sin(40)= 5,65 km (gerundet) Dann ist noch sin(β)=e/a, also: a=e/sin(β)=5,65km/sin(60)= 6,52km (gerundet).
Was stellt man hier fest?
Man kann beliebige Dreiecke in rechtwinklige zerlegen, indem man Höhen konstruiert. Doch diese Höhen werden anschließend bei der Rechnung wieder geschickt eliminiert. Bei der Berechnung der Dreiecksseiten werden die Hilfsgrößen also nicht gebraucht. Dies liegt gerade am Sinussatz:
Sinussatz
Hier wollen wir den Sinussatz jetzt als Merksatz formulieren. Der Sinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck mit den Seiten a,b und c, sowie den Winkeln α,β und γ gilt:
a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ)
Beweis
Skizze:
Durch die Höhe h1 wird das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Sinus eines Winkel durch das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse definiert:
- sin (α) = Gegenkathete / Hypothenuse
In diesem Beispiel gilt: sin(α) = h /c und sin (γ) = h / a
Daraus ergibt sich durch einfache Umformung: h = sin (α) * c und h = sin (γ) * a
Daraus folgt durch Gleichsetzten: sin (α) * c = sin (γ) * a
Durch weitere Umformung erhält man schließlich a/sin (α)= c /sin (γ)
- qed
GeoGebra Applet
Verändere das Dreieck. Was stellst du fest?
Übungen zum Rechnen
- a) a = 8cm, α = 60° , c = 5cm - Gesucht:γ
- b) b = 11cm, β = 15° , γ = 46° - Gesucht:c
- c) c = 12m, b = 300cm, γ = 33° - Gesucht:β
- d) α = 10° , β = 11° , b = 12cm - Gesucht:a
Der Sinussatz auf Youtube
Hier noch ein Video, durch dessen eingängige Melodie ihr den Satz hoffentlich gut in Erinnerung behalten werdet:
