1. Strahlensatz

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Inhaltsverzeichnis

Daniels Problem

Daniel kommt aus München, wohnt und arbeitet aber seit Kurzem in einem Reisebüro in Strasbourg, kurz hinter der deutsch-französischen Grenze. Als Teil eines Auftrages soll er für Familie Mathieu herausfinden, wie weit Straßburg und Rom von einander entfernt liegen. Da er die Entfernung selbst im Internet nicht finden kann, versucht er am Samstag-Morgen alles ihm Mögliche, um eine Lösung für sein Problem zu finden. Folgende Informationen hat er bis zum Abend zusammengetragen:

1. Auf einer alten Postkarte, die er von seiner Oma aus dem Rom-Urlaub bekommen hatte, findet er die Flugdistanz zwischen München und Rom. Diese beträgt fast genau 700km.

2. In einem italienischen Straßenkartenatlas, den er aus dem Reisebüro mitgenommen hatte, findet er sowohl die Distanz zwischen Rom und Venedig (394km), als auch die Distanz zwischen Rom und Mailand (477km).

Er verbindet die besagten Städte auf der vor ihm liegenden Weltkarte.

Strahlensatzkarte.jpg

Wie soll ihm das nur alles weiterhelfen?

Frustriert legt er sich ins Bett und hofft, dass er am Sonntag mehr Glück haben würde.


Wir werden herausfinden, dass Daniels Problem mit einer einfachen geometrischen Betrachtung zu lösen ist.


1. Aufgabe:

Verschiebe in der untenstehenden Geogebra-Applet die Punkte S, A, A' und/oder B (B' kann nicht manuell verschoben werden) und beobachte die eingezeichneten Verhältnisse zwischen den Strecken.

a) Beobachte die eingetragenen Streckenverhältnisse und vergleiche sie untereinander. Was fällt dir auf?

b) Stelle eine Vermutung auf, welche Voraussetzungen gegeben sein müssen, damit die in a) beobachteten Gesetzmäßigkeiten gelten? (Überprüfe deine Vermutung, indem du mithilfe von Geogebra eine eigene Skizze erstellst. Lasse dabei die vermuteten Voraussetzungen außer Acht! Überprüfe anschließend deine Vermutung mit der unten stehenden Lösung)

c) Sortiere, wenn möglich, die im Applet eingetragenen Streckenverhältnisse nach dem in a) erkannten Muster.


Lösung

zu a)

Es sind immer paarweise zwei Längenverhältnisse gleich. Die beteiligten Strecken entsprechen sich in ihrer Lage auf der jeweiligen Geraden.

zu b)

Die Geraden müssen sich in einem Punkt S schneiden und von zwei zueinander parallelen Geraden geschnitten werden. (Mit Hilfe dieser Lösung kannst du dir einen Merksatz in dein Heft notieren)

zu c)

\frac {|SA'|} {|SA|} = \frac {|SB'|} {|SB|} ,  \frac {|SA'|} {|A'A|} = \frac {|SB'|} {|B'B|}, \frac {|A'A|} {|SA|} = \frac {|B'B|} {|SB|}

Teste dein Wissen

Welche Streckenverhältnisse gelten in der unten stehenden Strahlensatzfigur? Beachte, dass die in Aufgabe 1 gewählten Streckenbezeichnungen hier umbenannt wurden.

Solltest du bei diesem Test Probleme haben, betrachte erneut die Lösungen von Aufgabe 1 oder tausche dich mit einem Partner aus!

Strahl.jpg

(!\frac a d = \frac c b) (\frac a c = \frac b d) (\frac a {a+c} = \frac b {b+d}) (!\frac c {a+d} = \frac d {b+c})

2.Aufgabe

(a) Bearbeite die Aufgabe 4 vom verlinkten Arbeitsblatt. Die Lösungen findest du weiter unten auf dem Arbeitsblatt.

Aufgabenblatt Strahlensatz 1

(b) Zeichne eine eigene Strahlensatzfigur und beschrifte diese mit Längenangaben so, dass eine oder mehrere unbekannte Längenangaben übrigbleiben, die über den 1. Strahlensatz berechnet werden können. Tausche dann deine Zeichnung mit einem Partner und berechnet die fehlenden Längenangaben.

Sollten bei dir oder deinem Partner Probleme auftreten, tauscht euch aus, indem ihr euch gegenseitig erklärt, welche Voraussetzungen für den Strahlensatz gegeben sein müssen und welche Streckenverhältnis-Gleichungen existieren

Beweis des Strahlensatzes

Sieh dir das folgende Video an und versuche den Beweis für die anderen in Aufgabe 1 auftretenden Streckenverhältnisse durchzuführen.


Daniel löst sein Problem

Am Sonntag-Morgen wacht Daniel auf und ist sofort angespannt. Bis morgen muss er sein Problem dringend gelöst haben, damit er Familie Mathieu alle ihre Fragen beantworten kann. Doch ihm will einfach nichts einfallen. Er wünscht sich, dass seine Mutter da wäre, denn die hat immer gute Ideen auf Lager. Also ruft er sie an.

Sie lässt ihn gar nicht erst zu Wort kommen, sondern bombardiert ihn mit allerlei Informationen. Neulich habe sie eine Dokumentation über Strasbourg gesehen und hätte gleich an ihn denken müssen. Darin sei sogar erwähnt worden, dass München und Strasbourg nahezu auf dem selben Breitengrad liegen...

"Das ist es!!" schreit Daniel plötzlich auf, "Danke Mama, ich rufe dich heute Abend noch einmal an"

Er holt seine gestern beschriftete Europakarte heraus und verbindet sowohl Strasbourg und München, als auch Mailand und Venedig. "Genial!", ruft er. "Jetzt muss ich es nur noch ausrechnen".

Glücklich stellt er am Montag sein Ergebnis der Familie Mathieu vor, welche noch am selben Tag eine Reise nach Rom bei ihm bucht.


Auch wir lösen das Problem

Übertrage Daniels nun vollständige Karte in dein Heft und berechne die Strecke zwischen Strasbourg und Rom.

Daniels vollständige Karte.jpg


Lösung

Wenn dich die Ausrichtung der Skizze verwirrt, drehe die Skizze so, dass sie der Skizze aus Aufgabe 1 ähnelt

x = Distanz zwischen Strasbourg und Rom

\frac {477km} x = \frac {394km} {700km}

x = \frac {477km * 700km} {394km} = 847km