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Inhaltsverzeichnis

Berechnung der Zeitpunkte, in denen der Fluss austrocknet

Es soll bestimmt werden, abhängig vom Parameter a, zu welchen Monaten kein Wasser durch den Fluss fließt.

Es sind die Zeitpunkte gesucht, an denen der y - Wert Kubikmeter in Millionen gleich Null ist. An dieser Nullstelle fließt also kein Wasser durch den Fluss.


Aus der Animation des Applets kann man erkennen,
  • dass jede Funktion f (t) zwei Nullstellen besitzt.
  • dass die erste Nullstelle immer im Ursprung ist. N1( 0 / 0 )
  • dass die zweite Nullstelle
  • von a abhängig ist, da sie sich, bei Wechsel von a, verändert.
  • eine doppelte Nullstelle ist, da sie an der Stelle einen Vorzeichenwechsel der Steigung besitzt.


Bestimme nun durch Rechnung die beiden Nullstellen der Funktion. Setze dazu die Funktion gleich Null.


Bestimmung der maximalen und minimalen Volumina

Es soll in Abhängigkeit von a ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.

In der Mathematik ist ein Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Überbegriff für lokales und globales Maximum und Minimum. Ein lokales Maximum ist der Wert der Funktion an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine größeren Werte annimmt.[2]

Analog dazu ist ein lokas Minimum der Wert an einer Stelle, in deren Umgebung die Funktion keine kleineren Werte besitzt. An den Extremwerten besitzt der Graph eine waagrechte Tangente.


Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.
Die allgemeine Ableitungsregel ist: f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot  xn-1 [3]


Tipp:
Zum Nachlesen, wie du die Ableitung bilden kannst und was eine Ableitung ist, findest du hier nochmal einen nützlichen Lernpfad.


Bestimme nun die erste Ableitung der Funktion f.
f'(t) = \frac{3}{4} t^2 - 2 a t + a^2


Zur Bestimmung der Koordinaten der möglichen Extremwerte:
  • Man setzt f '(t) = 0,
  • erhält eine quadratische Gleichung,
  • löst diese mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen [4],
  • und setzt die erhaltenen t - Werte in die Funktion ein und erhält somit die y - Koordinaten der möglichen Extremwerte E1 und E2.
Errechne nun die Koordinaten an denen es eine waagrechte Tangente gibt.
  t_1 = 2 a \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right)
  t_2 = \frac{2}{3}a   \Rightarrow E_2 \left(  \frac{2}{3}a  /  \frac{8}{27}a^3    \right)

Jeder Graph Ga besitzt zwei Extremwerte. In der Funktion f3 sind es die unten eingezeichneten Punkte. Man sieht deutlich, dass an der Stelle, an der die Ableitung (blaue Funktion) gleich Null wird, die Extremwerte und die waagrechten Tangenten liegen (rot eingezeichnet).



Man hat nun die Werte in Abhängigkeit von a ermittelt, an denen die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt. Um nun zu prüfen, ob es sich dabei um einen Extrempunkt handelt und welcher Art dieser Extremwert ist, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.

Lösung 1: Krümmungsverhalten
  • Man bestimmt die zweite Ableitung,
  • setzt die errechneten t - Werte ein
  • und überprüft, ob f ' ' (t)
  • < 0 \rightarrow Rechtskrümmung bzw Rechtskurve
\Rightarrow relatives Maximum
  • > 0 \rightarrow Linkskrümmung bzw Linkskurve
\Rightarrow relatives Minimum
Wäre die zweite Ableitung gleich Null, handelt es sich bei dem Punkt um einen Terassenpunkt, dass heißt, dass die Steigung der Funktion keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle hat, aber jedoch eine waagrechte Tangente. Bei solche einem Punkt handelt es sich um keinen Extremwert. [5]


Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte an.
f ''(t) = \frac{3}{2} t - 2a
f ''(2a) = \frac{3}{2} \cdot  2a - 2a = a
da a > 0 \rightarrow Rechtskrümmung  \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right) ist Minimum


f ''(\frac{2}{3}a ) = \frac{3}{2} \cdot  \frac{2}{3}a - 2a = - a
da a größer als Null definiert ist, gilt \rightarrow - (a) < 0 \rightarrow Linkskrümmung
 \Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right) ist Maximum
Lösung 2: h - Methode
Mit Hilfe der h - Methode untersucht man, wie sich der Graph "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" der waagrechten Tangente verhält.
Dazu nimmt man die erste Ableitung,
  • setzt  \lim_{h\to0} f '(t_0 - h)
  • und  \lim_{h\to0} f '( t_0 + h) ein.
Dadurch erhält man das Verhalten der Steigung von Gf "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom möglichen Extremwert.
Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen.


\lim_{h\to0} f '(2a - h)< 0 und \lim_{h\to0} f '(2a + h)> 0
\lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a - h)> 0 und \lim_{h\to0} f '(\frac{2}{3}a + h)< 0
Graphische Vorstellung:
 \Rightarrow E_1\left( 2a / 0 \right) ist Minimum,
  • da links von t = 2a der Graph fällt.
  • da rechts von t = 2a der Graph steigt.
 \Rightarrow E_2\left( \frac{2}{3}a / \frac{8}{27}a^3 \right) ist Maximum
  • da links von t = \frac{2}{3}a der Graph steigt.
  • da rechts von t =\frac{2}{3}a der Graph fällt.


Lösung 3: Vorzeichentabelle
Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Dies ist möglich, da man bereits die Nullstellen der Ableitungsfunktion errechnet hat. Die Ableitungsfunktion kann auch als
f '(t)= \left( x - t_1 \right) \cdot  \left( x - t_2 \right),
geschrieben werden. Hier sind die Werte t1 und t2 die errechneten t - Werte, bei welchen die erste Ableitung Null wird.
Man stellt eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor auf und erhält durch Multiplikation der Vorzeichen das Monotonieverhalten und dadurch die Arten der Extremwerte.
Erstelle mit Hilfe des umgeformten Ableitungsproduktes eine Vorzeichentabelle und vergleiche sie mit dem rechts gezeigten Monotonieverhalten.
\Rightarrow f '(t) = \left(  x - 2a \right) \cdot  \left( x - \frac{2}{3}a \right)

400px

Merke: Durch das Aufstellen einer Vorzeichentabelle erhält man das Monotonieverhalten des Graphen und kann sich somit die Art der Extremwerte erschließen.

Monotonieverhalten des Graphen Gf



\Rightarrow Über alle drei Lösungswege kommt man zu dem Schluss, dass E_1 \left( 2a / 0 \right) Minimum und E_2 \left( \frac{2}{3}a  / \frac{8}{27}a^3  \right) Maximum ist. E2 ist jedoch nur ein lokales Maximum, da für t \rightarrow  +\infty die Funktionswerte gegen + \infty gehen und somit größer werden, als der Funktionswert von E2. Das Minimum E1 kann als absolutes Minimum angesehen werden, da es weniger als Null Liter Wasser nicht gibt.


Hier geht's zur Aufgabe: Bestimmung der größten Senkung der Durchflussgeschwindigkeit

Hier geht's zurück zur Übersicht


Internetquellen

  1. Lösungsformel für quadratische Gleichungen
  2. Definition eines Extremwertes
  3. Potenzregel zur Ableitung
  4. Lösungsformel für quadratische Gleichungen
  5. Zur Bestimmung der Extremwerte



\vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ a+2 \end{pmatrix}

Der Wind wehte nicht so stark. Bei einem Schlingern des Schiffes verlor der Matrose, angetrunken und leichtfertig tänzelnd, das Gleichgewicht und stürzte vom Deck. Der Mann am Ruder sah den Sturz und gab sofort Alarm. Der Kapitän befahl, ein Boot auf das mäßig bewegte Wasser hinunterzulassen, den langsam forttreibenden Matrosen zu retten. Die Mannschaft legte sich kräftig in die Riemen, und schon nach wenigen Schlägen erreichten sie den um Hilfe Rufenden. Sie warfen ihm einen Rettungsring zu, an den er sich klammerte. Im näherschaukelnden Boot richtete sich im Bug einer auf, um den im Wasser treibenden herauszufischen, doch verlor der

Vera8 Beispiel Deutsch Kunert

Alles, was die Einbildungskraft sich Schreckliches vorstellen kann, muß man zusammen nehmen, um das Entsetzen sich einigermaßen vorzubilden, darin sich die Menschen befinden müssen, wenn die Erde unter ihren Füßen bewegt wird, wenn alles um sie her einstürzt, wenn ein in seinem Grunde bewegtes Wasser das Unglück durch Überströmungen vollkommen macht, wenn die Furcht des Todes, die Verzweifelung wegen des völligen Verlusts aller Güter, endlich der Anblick anderer Elenden den standhaftesten Muth niederschlagen. Eine solche Erzählung würde rührend sein, sie würde, weil sie eine Wirkung auf das Herz hat, vielleicht auch eine auf die Besserung desselben haben können. Allein ich überlasse diese Geschichte geschickteren Händen. Ich beschreibe hier nur die Arbeit der Natur, die merkwürdigen natürlichen Umstände, die die schreckliche Begebenheit begleitet haben, und die Ursachen derselben. (...)




Geschichte und Naturbeschreibung der merkwürdigsten Vorfälle des Erdbebens, welches an dem Ende des 1755sten Jahres einen großen Theil der Erde erschüttert hat von Immanuel Kant. In: Gesammelte Schriften. Akademie-Ausgabe. Abt.1. Bd.1. Berlin 1910 S.434 ff (IFK, Uni Bonn)


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Zeichentabelle

Zeichen
∫ ∑ ∏ √ − ± ∞
≈ ∝ ≡ � ≤ ≥ →
⋅ × · ÷ ∂ ′ ″
∇ ‰ ° ∴ ℵ ø
∈ ∉ ∩ ∪ ⊂ ⊃ ⊆ ⊇
¬ ∧ ∨ ∃ ∀
⇒ ⇔→ ↔
Klausurplan K 12


Oktober
November
Dezember
Januar
Februar
1.   1.   1.   1.   1.  
2.   2.   2. 2.   2.  
3.   3.   3. 3.   3.  
4.   4.   4. 4.   4.  
5.   5.   5. gk c1, c2, c3 5.   5.  
6.   6. LK G, WR, B, SPO 6. 6.   6.  
7.   7. 7. gk e2 7.   7.  
8.   8.  LK C, M1 8. 8. LK G, WR, B, SPO, E2 8.  
9.   9.   9. 9. gk e1 9.  
10.   10. 10. 10. gk ku2, ku3, mu1 10.  
11.   11.   11. gk ev1, ev2, k1, k2, k3 11. 11.  
12.   12. Lk  K1, K2 12. 12. 12.  
13.   13. 13. 13. 13.  
14.   14.   14. gk e3, sk, g3, g4, geo1 14. LK C, M1 14.  
15.   15.   15. 15. 15.  
16.   16.  gk ph1, b3 16. 16. 16.  
17.   17.   17. gk g2 17. LK D, L, PH, E1, E3, F, M2 17.  
18.   18.   18. gk g1 18. 18.  
19.   19. 19. 19. 19.  
20.   20.  gk bwp, drg 20. gk geo2, geo3, wr2 20. 20.  
21.   21. 21. gk wr1 21. Lk  K1, K2 21.  
22. 22. 22.   22. 22.  
23.  LK E2 23. gk d1, d2, d3, d4 23.   23. gk m4 23.  
24. 24.   24.   24. gk m1, m2, m3 24.  
25.   LK D, L, PH, E1, E3, F, M2 25.   25.   25. 25.  
26. 26. gk ph2, b2 26.   26.   26.  
27. 27. 27.   27.   27.  
28.   28. gk b1, sps 28.   28.   28.  
29.   29. 29.   29.  
30.   30. 30.   30.
31.   31.   31. gk ku4, ku5


Textv Synonym SprachF Rechtschr Satzgefüge Tempus Passiv
1 2 3 4 5 6 7
Punkte 9 3 9 30 9 4 4
Schüler1 6 2 6 25 7 3 4
Schüler2 5 1 7 12,5 0 4 3
Schüler3 7 3 7 22 9 4 4
Schüler4 6 1 6,5 25 3 4 3
Schüler5 7 3 2,5 17 7 4 2
Schüler6 6 2 5,5 20 0 0 0