Lernpfad-Terme

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Inhaltsverzeichnis

Einführung

Experiment - Würfelturm
Turm aus mehreren Würfeln

Baue mit den bereitgelegten Würfeln einen Turm mit mehreren Stockwerken (vgl. die Abbildung). Wenn du von schräg oben auf den Würfelturm schaust, sind manche Seiten sichtbar, manche nicht. So sieht man bei einem Turm aus zwei Würfeln 5 Seiten, bei einem Turm aus drei Würfeln 7 Seiten.

a) Wie viele Seiten sieht man bei vier / fünf / sechs Würfeln?
b) Wie viele Seiten sieht man bei einem Turm aus 20 Würfeln?
c) Formuliere in Worten eine allgemeine Rechenvorschrift für die Anzahl der sichtbaren Seiten in Abhängigkeit der Höhe.
d) Übersetze deine Antwort aus c) in eine mathematische Rechenvorschrift.
a) 4 Würfel: 9 Seiten / 5 Würfel: 11 Seiten / 6 Würfel: 13 Seiten
b) 20 Würfel: 41 Seiten
c) Die doppelte Anzahl der Würfel plus 1
d) 2 \cdot [] + 1
Experiment - Würfelmauer
zweistöckige Würfelmauer

Baue mit den bereitgelegten Würfeln eine Mauer, die 2 Würfel hoch ist (vgl. die Abbildung). Wenn du von schräg oben auf die Würfelmauer schaust, sind manche Seiten sichtbar, manche nicht. So sieht man bei einer Mauer, die zwei Würfel breit ist, 8 Seiten; bei einer Mauer, die drei Würfel breit ist, 11 Seiten.

a) Wie viele Seiten sieht man bei Mauern der Breite vier / fünf / sechs?
b) Wie viele Seiten sieht man bei einer Mauer der Breite 20?
c) Formuliere in Worten eine allgemeine Rechenvorschrift für die Anzahl der sichtbaren Seiten in Abhängigkeit der Breite.
d) Übersetze deine Antwort aus c) in eine mathematische Rechenvorschrift.
a) Breite 4: 14 Seiten / Breite 5: 17 Seiten / Breite 6: 20 Seiten 
b) Breite 20: 62 Seiten
c) Die dreifache Breite plus 2
d) 3 \cdot [] + 2


Variablen und Terme

Ist ein Wert unbekannt oder kann sich verändern, nutzt man in der Mathematik eine Variable. Bisher hast du dafür meistens einfach ein leeres Kästchen [], einen Platzhalter, benutzt, in das du verschiedene Werte eingesetzt hast. In Zukunft wirst du als Variable (meistens) den Buchstaben x nutzen. (Ja, deshalb heißt die x-Achse auch x-Achse!)


Beispiele

  • Beim Beispiel "Würfelturm" steht die Variable x für die Höhe des Turms. Man erhält die Anzahl der sichtbaren Seiten mit der Rechenvorschrift: 2 \cdot x + 1
  • Beim Beispiel "Würfelmauer" steht die Variable x für die Breite der Mauer. Man erhält die Anzahl der sichtbaren Seiten mit der Rechenvorschrift: 3 \cdot x + 2
  • Beim Beispiel "Würfeltreppe" steht die Variable x für die Anzahl der Stufen. Man erhält die Anzahl der sichtbaren Seiten mit der Rechenvorschrift: 2x+(\frac{x \cdot (x+1)}{2})


Das, was in den Beispielen oben Rechenvorschrift genannt wurde, heißt in der Sprache der Mathematik Term. Ein Term verknüpt Variablen und Zahlen mit mathematischen Rechenoperationen. Setzt man für die Variable x eine Zahl ein, so erhält man den Wert des Terms für diese Zahl.


Beispiele Werte von Termen

  • Der Würfelturm ist 35 Würfel hoch. Man ersetzt x durch 35 und berechnet den Wert des Terms, also die Anzahl an sichtbaren Seiten. 2\cdot 35+1 = 71
  • Die Würfelmauer ist 260 Würfel breit. Man sieht also 3 \cdot260 + 2 = 782 Seiten.


Terme aufstellen

Streichholzaufgaben

Experiment - Streichholzdreiecke I
Dreiecke aus Streichhölzern

Baue mit den bereitgelegten Streichhölzern mehrere Dreiecke (vgl. die Abbildung).

a) Wie viele Streichhölzer benötigst du für ein / zwei / drei / vier / fünf / sechs Dreiecke?
b) Formuliere in Worten den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Dreiecke und der Anzahl der Streichhölzer. Wie ändert sich immer die Anzahl, wenn ein Dreieck dazukommt?
c) Stelle einen Term für die Streichholzanzahl auf. Die Variable x steht für die Anzahl der Dreiecke.
d) Wie viele Streichhölzer benötigt man für 87 Dreiecke?
a) Dreiecke -> Streichhölzer: 1 -> 3 / 2 -> 6 / 3 -> 9 / 4 -> 12 / 5 -> 15 / 6 -> 18
b) Für jedes Dreieck benötigt man 3 Hölzer.
c) 3  \cdot x
d) 3  \cdot 87 = 261
Experiment - Streichholzdreiecke II
Dreiecke aus Streichhölzern

Baue mit den bereitgelegten Streichhölzern mehrere Dreiecke (vgl. die Abbildung).

a) Wie viele Streichhölzer benötigst du für ein / zwei / drei / vier / fünf / sechs Dreiecke?
b) Formuliere in Worten den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Dreiecke und der Anzahl der Streichhölzer. Wie ändert sich immer die Anzahl, wenn ein Dreieck dazukommt?
c) Stelle einen Term für die Streichholzanzahl auf. Die Variable x steht für die Anzahl der Dreiecke.
d) Wie viele Streichhölzer benötigt man für 44 Dreiecke?
a) Dreiecke -> Streichhölzer: 1 -> 3 / 2 -> 5 / 3 -> 7 / 4 -> 9 / 5 -> 11 / 6 -> 13
b) Das erste Dreieck benötigt 3 Streichhölzer. Mit jedem neuen Dreieck kommen 2 Hölzer dazu.
c) 3 + 2 \cdot (x-1) oder  1 + 2 \cdot x
d) 3 + 2 \cdot (44-1) = 3 + 2 \cdot 43 = 89 oder  1 + 2 \cdot 44 = 89
Experiment - Streichholzquadrate
Quadrate aus Streichhölzern

Baue mit den bereitgelegten Streichhölzern mehrere Quadrate (vgl. die Abbildung).

a) Wie viele Streichhölzer benötigst du für ein / zwei / drei / vier / fünf / sechs Quadrate?
b) Formuliere in Worten den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Quadrate und der Anzahl der Streichhölzer. Wie ändert sich immer die Anzahl, wenn ein Quadrat dazukommt?
c) Stelle einen Term für die Streichholzanzahl auf. Die Variable x steht für die Anzahl der Quadrate.
d) Wie viele Streichhölzer benötigt man für 63 Quadrate?
a) Quadrate -> Streichhölzer: 1 -> 4 / 2 -> 7 / 3 -> 10 / 4 -> 13 / 5 -> 16 / 6 -> 19
b) Das erste Quadrat benötigt 4 Streichhölzer. Mit jedem neuen Quadrat kommen 3 Hölzer dazu.
c) 4 + 3 \cdot (x-1) oder  1 + 3 \cdot x
d) 4 + 3 \cdot (63-1) = 4 + 3 \cdot 62 = 190 oder  1 + 3 \cdot 63 = 190


Textaufgaben

Textaufgabe - Beim Bäcker
Du kaufst beim Bäcker ein Brot (2,50 €) und mehrere Brötchen (0,25 € pro Stück) ein.

a) Wie viel musst du bezahlen, wenn du zu dem Brot vier / fünf / sechs Brötchen kaufst?
b) Stelle einen Term für den Gesamtpreis auf. Die Variable x steht für die Anzahl der Brötchen.
a) Brötchen -> Preis: 4 -> 3,50 € / 5 -> 3,75 € / 6 -> 4,00 € 
b)  2,50 + 0,25 \cdot x


Textaufgabe - In der Pizzeria I
Der Restaurantchef überschlägt, dass er für eine Pizza Hawaii durchschnittlich pro Pizza 0,20€ für den Teig und 1€ für den Belag bezahlen muss.

a) x ist die Anzahl der Pizzen. Stelle einen Term für die Kosten auf.
b) Montags werden 20 Hawaiipizzen gebacken. Berechne die Kosten dafür.
c) Eine Pizza kostet 10 €. Stelle einen Term für den Gewinn auf, den der Restaurantchef mit Hawaiipizzen erzielt.
d) (Schwerer - Umkehraufgabe!) Damit die Pizzeria generell Gewinn (nach Abzug von Personal, Miete, Strom etc.) erzielt, müssen im Monat allein durch Hawaiipizzen 5000 € Gewinn in die Kassen fließen. Wie viele Pizzen müssen pro Tag durchschnittlich verkauft werden?


a) 0,20 \cdot x + 1 \cdot x     oder    1,20 \cdot x 
b) 0,20 \cdot 20 + 1 \cdot 20 = 4 + 20 = 24 oder 1,20 \cdot 20 = 24
c) 10 \cdot x - (0,20 \cdot x + 1 \cdot x) oder 10 - 1,20 \cdot x oder 8,80 \cdot x
d) Anzahl der Pizzen im Monat: 5000 : 8,8 = 568,\overline{18} --> Anzahl der Pizzen am Tag: 568,\overline{18} : 30 = 18,\overline{93} --> Antwort: Es müssen etwa 19 Hawaiipizzen pro Tag verkauft werden.
Textaufgabe - In der Pizzeria II
Pizza in quadratische Stücke zerlegen-

Eine quadratische Pizza hat die Länge n (hier heißt die Variable also nicht x) und wird in n² quadratische Stücke zerlegt. Die Abbildung zeigt den Fall für n gleich 4. E sind Eckstücke, R sind Randsstücke, I sind Innenstücke.

Stelle jeweils Terme für die Anzahl der Eck-, Rand- und Innenstücke in Abhängigkeit von n auf.
Hinweis: Überlege dir, wieviele Eck-, Rand- und Innenstücke es für n gleich 3, n gleich 5 und n gleich 6 gibt. Skizziere die Fälle und zähle ab.


Zusammenfassung

Du hast die Begriffe Variable und Term neu kennengelernt und mit ihnen gearbeitet. Du hast Terme für verschiedene Probleme aufgestellt und Werte von Termen bestimmt, indem du Zahlen für die Variable x eingesetzt hast. Terme können sehr schnell sehr komplex werden, deshalb geht es als nächstes darum, Terme zu vereinfachen.


Quellenverzeichnis

  • Walter Affolter u.a.: Das Mathematikbuch 3. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2011. ISBN 978-3-12-700571-4.