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Stromleitung

Aufgabenstellung

In einem Skigebiet, das mit bis zu 60 m hohen Bäumen bewaldet ist, soll eine neue Stromleitung gebaut werden. Um sicherzustellen, dass die Bäume die Leitungen nicht erreichen, werden im (horizontal gemessenen) Abstand von je 200 Metern Masten geplant, an denen das Seil in einer Höhe von 80 m befestigt werden soll .

Die Leitungen hängen dabei etwas durch. Das Profil der durchhängenden Seile zwischen den Masten A und B kann durch eine Funktion f der Form

$f(x)=a \cdot e^{0,005x}+b \cdot e^{-0,005x}$ beschrieben werden.

a) Bestimmen Sie die Parameter a und b und berechnen Sie den Winkel den der Knick in den Leitungen an der Aufhängung vom Mast B

bildet, wenn das Profil des Seiles zwischen B und C dasselbe ist wie zwischen A und B.

b) Bestimmen Sie die geringste vertikale Entfernung des Seils von der Erdoberfläche.

Prüfen Sie, ob eine Gefahr für die Stromleitung bestehen kann, wenn ein 60 m hoher Baum umfällt.

Welche Mindestaufhänghöhe ist erforderlich, um jegliche Gefährdung durch 60 m hohe, umstürzende Bäume auszuschließen?

c) Um die Modellierung zu vereinfachen, wird die Seilform durch eine Parabel zweiter Ordnung angenähert, die durch die Aufhängepunkte

bei den Masten A und B verläuft. Außerdem soll die Parabel in der Mitte zwischen den beiden Masten den gleichen Wert annehmen wie die Funktion f.

d) Die Kurve, die das Seil zwischen den Masten B und C beschreibt, entsteht durch Verschiebung des Schaubilds von f.

Bestimmen Sie eine Gleichung für K.

• Referateliste

Lösung

Bemerkung: 1m = 1LE

a)

Bestimmen der Variablen a und b

Gegeben

• $f(x)=a \cdot e^{0,005x}+b \cdot e^{-0,005x}$
• $A = (0/80) \rightarrow f(0) = 80$
  
• $B = (200/180) \rightarrow f(200) = 180$
  
  
  

Lösung:

$\begin{matrix}f(0)&=& 80\\ \ a \cdot e^{0,005x \cdot 0} + b \cdot e^{-0,005x \cdot 0}&=& 80\\ \ a + b &=& 80\\ \ b &=& 80 - a \end{matrix}$


$\begin{matrix}f(200) &=& 180\\ \ a \cdot e^{0,005x \cdot 200} + (80 - a) \cdot e^{-0,005x \cdot 200} &=& 180\\ \ a \cdot e^1 + 80e^{-1} - a \cdot e^{-1} &=& 180\\ \ a(e^1 - e^{-1}) + 80e^{-1} &=& 180\\ \ a &=& {180 - 80e^{-1} \over (e^1 - e^{-1})}\end{matrix}$

$\Rightarrow a = {180e - 80 \over e^2 - 1}$

$\Rightarrow \begin{matrix}b &=& 80 - {180e - 80 \over e^2 - 1}\end{matrix}$ $\Rightarrow b = {80e^2 - 180e \over e^2 - 1}$

Berechnen des Winkels am Mast B

Idee:

Man berechne die Steigung der Tangenten der Funktion im Punkt A(0/80) und im Punkt B(200/180) und bestimme den Winkel zwischen den beiden Tangenten. Die Steigung der Tangente im Punkt A entspricht der Steigung der Tangente der 2. Kurve (zwischen Mast B und C) im Punkt B(200/180).

Hierzu gilt folgende Fromel: ${tan (x) = {m_2-m_1 \over 1+m_2 \cdot m_1}}$

Steigung der Tangente im Punkt A(0/80) $= m_1$

$\begin{matrix} f(0)^\prime &=& 0,005a \cdot e^{0,005 \cdot 0} - 0,005 b \cdot e^{-0,005 \cdot 0}\\ \ &=& 0,005a-0,005b \\ \ &\approx& 0,2406\end{matrix}$



Steigung der Tangente im Punkt B(200/180)$= m_2$

$\begin{matrix} f(200)^\prime &=& 0,005a \cdot e^{0,005 \cdot 200} - 0,005 b \cdot e^{-0,005 \cdot 200}\\ \ &=& 0,005a \cdot e^1 -0,005b \cdot e^{-1}\\ \ &\approx& 0,8414\end{matrix}$

Berechnen des Winkels $\alpha$ mit $m_1$ und $m_2$

$\begin{matrix}tan (\alpha) &=& {m_2-m_1 \over 1+m_2 \cdot m_1}\\ \\tan (\alpha) &=& \frac{(0,005a \cdot e^1 -0,005b \cdot e^{-1}) - (0,005a-0,005b)}{1 + (0,005a \cdot e^1 -0,005b \cdot e^{-1}) \cdot (0,005a-0,005b)}\\ \\ tan (\alpha) &\approx& 0,4996\\ \ \alpha &\approx& tan^{-1}\cdot 0,4996 \\ \ \alpha &\approx& 26,55^\circ \end{matrix}$

$\Rightarrow$ Winkel zwischen den Leitungen ist $180^\circ - \alpha \quad \Rightarrow 180^\circ - 26,55^\circ = 153,45^\circ$

b)

Bestimmen der geringsten vertikalen Abweichung

Idee:

Man bilde eine Funktion, welche die Abweichung beschreibt und errechne das absolute Minima dieser Funktion. Die Funktion, welche die Abweichung beschreibt ist die Funktion des Berges subtrahiert von der Funktion des Seiles.

Funktion des Berges $b(x)$

Gegeben:

• $\ b(x) = mx+t$
• $D =(0/0)\Rightarrow b(0) = 0$
  
• $E =(200/100)\Rightarrow b(200) = 100$

Lösung:

$\begin{matrix}b(0) &=& 0\\ \ m \cdot 0 + t&=& 0\\ \ t &=& 0\end{matrix}$

$\begin{matrix}m &=&\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\\ \\ m &=& \frac{100-0}{200-0}\\ \\ m &=& \frac{1}{2}\end{matrix}$

$\Rightarrow b(x) = \frac{1}{2}x$

Aufstellen der Funktion $a(x)$ für die Abweichung zwischen Seil und Berg

$\begin{matrix} a(x) &=& f(x) - b(x)\\ \ a(x) &=& a \cdot e^{0,005x}+b \cdot e^{-0,005x} - \frac{1}{2}x\end{matrix}$

Bilden der Ableitung von $m(x)$ und Berechnung des absoluten Minima

$a(x)^\prime = 0,005a \cdot e^{0,005x} - 0,005b \cdot e^{-0,005x} - 0,5$


$\begin{matrix}a(x)^\prime &=& 0 \\ \\ 0,005a \cdot e^{0,005x} - 0,005b \cdot e^{-0,005x} - 0,5 &=& 0 \qquad | \cdot200\\ \\ a \cdot e^{0,005x} - b \cdot e^{-0,005x} - 0,5 &=& 0 \qquad | \cdot e^{0,005x}\\ \\ a \cdot(e^{0,005x})^2 - b - 100e^{0,005x} &=& 0\qquad | Substitution \ u = e^{0,005x}\\ \\ a \cdot u^2 - 100u -b &=& 0 \\ \\ u_1 &=& \frac { 100 + \sqrt{ 10000+ 4ab}}{2a}\ \approx 1,71\\ \\ u_2 &=& \frac { 100 - \sqrt{ 10000+ 4ab}}{2a}\end{matrix}$



Da $\sqrt{ 10000+ 4ab} > 100$ nur $\ u_1$ möglich, weil die Funktion nur im Intervall [0;200] untersucht wird.Zudem wird bei der Rücksubstitution von u logarithmiert. Es können nur positive Werte logarithmiert werden.


$\begin{matrix} e^{0,005x} &=& u_1 \\ \\ 0,005x &=& ln u_1 \\ \\ x &=& \frac {ln u_1}{0,005}\end{matrix}$

$\Rightarrow \begin{matrix} x &\approx& 106,9\end{matrix}$

Bestimmen der geringsten vertikalen Abweichung

$\begin{matrix} a(106,9) &=& f(106,9)-b(106,9)\\ \\ a(106,9) &=& a \cdot e^{0,005 \cdot 106,9} + b \cdot e^{-0,005 \cdot 106,9} - \frac {1}{2} \cdot 106,9 \end{matrix}$

$\Rightarrow a(106,9) \approx 65,22$

Prüfen, ob Gefahr für das Seil besteht, wenn ein Baum umfällt

Idee:

Obwohl die kleinste vertikale Abweichung 65,22 beträgt und die Bäume nur 60 Meter hoch sind, ist zu prüfen, ob der Baum , wenn er fällt, das Seil berühren kann. Dies ist vor allem der Fall, wenn der Baum orthogonal zum Berg steht. Um herauszufinden ob eine Gefahr besteht muss also der geringste orthogonale Abstand der Funktion f(x) und der Hangfunktion b(x) bestimmt werden.

Sowohl der geringste vertikale, als auch der geringst orthogonale Abstand befinden sich bei 106,9, da die Strecke sich aus dem Produkt von Kosinus und der geringsten vertikalen Abweichung zusammensetzt. Der Kosinus des Winkels $\gamma$ bleibt immer gleich, also ist bei der geringsten vertikalen Abweichung auch die geringste orthogonale Abweichung

Hierzu ist zuerst der Winkel $\gamma$ zu errechnen. Über diesen kann man dann mit Hilfe des Kosinus die Strecke ausrechnen.

Berechnen des Winkels $\gamma$:

Der Winkel $\gamma$ lässt sich wie folgt berechnen:

$\ \tan \gamma = m$ $\Rightarrow \gamma = \tan^{-1} \frac {1}{2}$
$\gamma \approx 26,57$

















Berechnen des Abstandes IL :

Der Abstand IL lässt sich mit dem Kosinus errechnen.

$\cos \alpha = \frac {\overline {IL}} {\overline {HI}} \quad \Rightarrow \overline {IL} = \cos \alpha \cdot \overline {HI}$

$\overline {IL} = \cos 26,57 \cdot 65,22$

$\overline {IL} \approx 58,33$


Berechnen der Mindestaufhänghöhe :

Zuerst ist die Differenz der geringsten orthogonalen Abweichung von der Baumhöhe zu errechnen und dann zu der Masthöhe zu addieren.

$\ 60m - \overline {IL} + 80m =$

$\ 60m - 58,33m + 80m =$

$\ 81,67m$

c)

Bestimmen der Parabelgleichung

Gegeben:

• $A(0/80) \rightarrow p(0) = 80$
• $B(200/180) \rightarrow p(200)=180$
  
  

Lösung:

Allgemein: $\ p(x) = ax^2 + bx + c$


$\begin{matrix} p(0) &=& 80\\ \ a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 80\\ \ c &=& 80 \end{matrix}$

$\begin{matrix} p(200) &=& 180\\ \ a \cdot 200^2 +80 &=& 180\\ \ a \cdot 200^2&=& 100\\ \ a &=& \frac {1}{400} \end{matrix}$

$\Rightarrow p(x) = \frac {1}{400}x^2 + 80$

d)

Bestimmung einer Gleichung der Kurve K

Die Kurve zwischen den Masten B und C lässt sich durch verschiebung in X und Y Richtung bestimmen.

Verschiebung in x-Richtung:

Man verschiebt die Funktion f(x) um 200 in x-Richtung, da der Mast B bei x = 200 steht. Die Funktion muss also nach rechts verschoben werden. Hierzu subtrahiert man den Wert der gewünschten Verschiebung vom x-Wert:

$f(x)=a \cdot e^{0,005x-200}+b \cdot e^{-0,005x-200}$

Verschiebung in y-Richtung:

Die Funktion f(x) muss um 100 nach oben verschoben werden, da der Mast B 100m höher liegt als der Mast A. Hierzu addiert man zum Funktionswert die gewünschte Verschiebung in y-Richtung hinzu:
$f(x)=a \cdot e^{0,005x}+b \cdot e^{-0,005x}+100$

Es ergibt sich somit folgende Gesamtgleichung:

$f(x)=a \cdot e^{0,005x-200}+b \cdot e^{-0,005x-200}+100$

Produktionskosten

Aufgabenstellung

Die Kostenfunktion zu $K (x)= 2x^3 - 16x^2 + 48x + 100\$ mit $D (K) = [0;9]\$ gibt die Gesamtkosten bei der Produktion von x tausend Einheiten einer Ware an. Der Erlös E bei dem Verkauf von x tausend Einheiten der Ware lässt sich durch $E (x) = 144x - 16x^3\$ beschreiben.

a) Bei welcher Produktionsmenge x sind die durchschnittlichen Herstellungskosten ${K(x) \over x}$ am geringsten?

b) Bei welcher Produktionsmenge x ist der Gewinn $G (x)= E (x) - K (x\ )$ am größten?

Lösung

Zur Veranschaulichung erst einmal die gegeben Funktionen K(x) sowie E(x):

Zu a):

Zuerst einmal soll das absolute Minimum der Funktion $H (x) = {K (x) \over x}= 2x^2 - 16x + 48 + {100 \over x}$ mit $\mathrm{D_H} = ]0;9]$ ermittelt werden:

Dazu ist die 1. Ableitung

$H^\prime(x) = 4x - 16 - {100 \over x^2}$

nötig. Da diese die Steigung von H (x) angibt, zeigen ihre Nullstellen auf, an welcher Stelle bei H (x) eine waagerechte Tangente und somit möglicherweise ein relatives Minimum zu finden ist. Folglich wird nun die 1. Ableitung null gesetzt:

$H^\prime (x) = 0$

$4x - 16 - {100 \over x^2} = 0$

$\Leftrightarrow 4x^3 - 16x^2 - 100 = 0$

Die erste Nullstelle wird empirisch ermittelt: $x = 5 \$

Es folgt eine Polynomdivision:

$(4x^3 - 16x^2 - 100):(x - 5) = (4x^2 + 4x + 20)\$

Also ist $H^\prime(x) = 4x - 16 - {100 \over x^2} = (x - 5)(4x^2 + 4x + 20)\$

Ist ein Faktor des Produktform von $H^\prime(x)$ gleich 0, so ist es die gesamte Funktion (-> Nullstelle). Die erste Nullstelle ist $x = 5$, weitere Nullstellen werden durch Nullsetzen von $4x^2 + 4x + 20\$ berechnet:

$4x^2 + 4x + 20 = 0\$

$\Leftrightarrow x^2 + x + 5 = 0\$

Die Diskriminante dieser Gleichung lautet: $D = -19\$

Da diese kleiner als 0 ist, hat die Gleichung $4x^2 + 4x + 20 = 0\$ keine Lösung. Somit ist die einzige Nullstelle der 1. Ableitung $N(5/0)\$.

Da in x = 5 eine Nullstelle ungerader Ordnung vorliegt, muss es sich um ein relatives Minimum oder um ein relatives Maximum handeln. Um dies zu prüfen, wird die 2. Ableitung an der Stelle $x = 5\$ betrachtet:

$H''(x) = 4 + {200 \over x^3}\$

$H''(5) = 4 + {200 \over 5^3} = 4 + {200 \over 125}\$

Da $H''(5) > 0\$ ist $H(x)\$ hier linksgekrümmt. Somit liegt in $M_i (5/38)\$ ein relatives Minimum vor. Nun gibt es noch die Möglichkeit, dass $H (x)$ an den Rändern des Definitionsbereichs noch niedrigere Werte als in $M_i (5/38)\$ annimmt:

$H (9) = 77{1 \over 9}$

$\lim_{x \to 0+}H(x) = \infty$

Somit ist $M_i (5/38)\$ da absolute Minimum von $H(x)\$ im Intervall ]0;9].

Die Produktionskosten sind also bei der Produktion von 5000 Einheiten am geringsten.

Zu b):

Hier wird ähnlich wie in Teilaufgabe a) verfahren, nur dass statt eines absolutem Minimums nun das absolute Maximum der Funktion $G (x) = E (x) - K (x) = 144x - 16x^3 -2x^3 + 16x^2 - 48x - 100 = -18x^3 + 16x^2 + 96x - 100 \$ im Intervall [0;9] ermittelt werden soll.

Folglich wird auch nun zuerst die 1. Ableitung gebildet und deren Nullstellen bestimmt:

$G'(x) = -54x^2 + 32x + 96\$

$-54x^2 + 32x + 96 = 0\$

$\Leftrightarrow 27x^2 - 16x - 48 = 0\$

Die Diskriminante dieser quadratischen Gleichung lautet: $D = 5440\$. Somit hat die Gleichung zwei Lösungen:

$x_{1/2} = {-(-16)\pm\sqrt{5440} \over 2\cdot27} = {8\pm4\cdot\sqrt{85} \over 27}\$

$x_1 = {8\ + 4\cdot\sqrt{85} \over 27} \approx 1,6621\$

$x_2 = {8\ - 4\cdot\sqrt{85} \over 27} \approx -1,07\$

Da $x_2\$ kein Element des Intervalls [0;9] ist, fällt diese Lösung weg.

$G''(x) = -108x + 32\$

$G''({8\ + 4\cdot\sqrt{85} \over 27}) = -1360$

$G(0) = -100\$

$G(9) = -11062 \$

Da $G''({8\ + 4\cdot\sqrt{85} \over 27})$ kleiner als 0 ist (->Rechtskrümmung bei G(x)) und $G'({8\ + 4\cdot\sqrt{85} \over 27}) = 0$ befindet sich hier ein relatives Maximum $M_a \left ({8\ + 4\cdot\sqrt{85} \over 27}/ \frac{21760\sqrt{85} - 154444}{2187} \right )$.

Außerdem nimmt G(x) an den Rändern des Intervalls kleinere Werte als in $M_a$ an, sodass $M_a \left ({8\ + 4\cdot\sqrt{85} \over 27}/ \frac{21760\sqrt{85} - 154444}{2187} \right )\approx (1,6621/21,11)$ das absolute Maximum des Intervalls darstellt.

Folglich ist der Gewinn bei der Produktion von ca. 1662 Stücken am größten.

--Christoph Zehe 17:57, 23. Feb 2007 (CET)

Hüllkurven (1)

Beispiel

Begriffserklärung

Bearbeite zunächst folgendes Applet und versuche herauszufinden, was eine Hüllkurve ist, indem du die einzelnen Anweisungen des Applets befolgst. Fahre erst danach mit diesem Artikel fort.

Am Applet kann man sehen, dass es für jeden x-Wert der Hüllkurve, in unserem Beispiel der Parabel, eine Gerade der Geradenschar gibt, die die Hüllkurve in einem Punkt berührt und dass die Hüllkurve an jeder Stelle ein Element der Geradenschar berührt. Eine weitere Eigenschaft einer Hüllkurve, die man jedoch nur bei starker Vergrößerung der Hüllkurve sieht, ist, dass sich zwei benachbarte Geraden der Schar an einer bestimmten Stelle $x\$ schneiden. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist dann ein Element der Hüllkurve. Jeder Punkt der Hüllkurve ist also ein Schnittpunkt zweier Elemente $k\$ der Geradenschar, die ganz nah beieinander liegen. Diese dritte Beobachtung kannst du besonders gut in der Zeichnung (stark vergrößerte Aufnahme einer Hüllkurve) , die sich rechts neben diesem Text befindet sehen. $(Grenzwert:\ \lim_{\Delta k}\to 0 )$

Wichtige Angaben

Gegeben sind die Punkte $P=(-a/a)\$ und $Q=(1-a/1-a)\$. Da wir aber die Geradenschar mit dem Scharparameter $a\$ brauchen, müssen wir zuerst die Geradenschar, die durch diese beiden Punkte bestimmt wird, bestimmen.

Gleichung der Geradenschar

Dazu muss man ein Gleichungssystem mit den zwei Unbekannten $m\$ (Steigung) und $t\$(y-Abschnitt) und dem Parameter $a\$ aufstellen. Um dieses Gleichungssystem zu erhalten, muss man die beiden Punkte jeweils in die allgemeine Geradengleichung $y=mx+t\$ einsetzen. Man erhält:
$(I)\ a=-am+t\$
und:
$(II)\ 1-a=m-am+t\$
Nun zieht man die erste Gleichung von der zweiten Gleichung ab um die Unbekannte $t\$ zu eliminieren. Es bleibt nur noch die Unbekannte $m\$ und der Parameter $a\$ übrig:
$(II-I)\ m=1-2a\;$
Jetzt kann das $m\$ in der oberen Gleichung durch $a\$ ausgedrückt werden:
$a=-a+2a^2+t\$
Für die Unbekannte $t\$ ergibt sich nun:
$t=2a-2a^2\$
Da man nun die beiden Unbekannten $m\$ und $t\$ durch den Parameter $a\$ ausgedrückt hat, kann man diese Ergebnisse nun in die allgemeine Geradengleichung einsetzen und erhält die Schargleichung der Geradenschar, die durch die Punkte $P=(-a/a)\$ und $Q=(1-a/1-a)\$ bstimmt wird:
$g_a(x)=\left(1-2a\right)x+2a-2a^2$

Ableitung nach a

Nun soll für jede Stelle $x\$ der Scharparameter $a\$ so bestimmt werden, dass der Funktionswert $g_a(x)\$ möglichst groß (Maximum) oder möglichst klein (Minimum) wird. Dank dem Applet sehen wir zwar, dass in unserem Fall möglichst große Funktionswerte gesucht werden, doch eigentlich müssen wir auch überprüfen, ob es sich um ein Maximum oder um ein Minimum handelt. Erstmal müssen wir aber auf jeden Fall die Ableitung nach dem Scharparameter $a\$ bestimmen. Dazu ist es sinnvoll die Gleichung der Geradenschar so umzustellen, dass man eine Parabelgleichung der Form $ax^2+bx+c\$ hat (man beachte, dass $x\$ in diesem Fall $a\$ ist und nicht $x\$)
$g_x(a)=-2a^2+\left(2-2x\right)a+x$
Nun ist die Ableitung nach a nicht mehr so schwer:
$g_x^\prime(a)=-4a+2-2x\;$

Bestimmung des Scharparameters a

Wir haben jetzt zwar schon die Ableitung nach $a\$, doch um das Extremum zu bestimmen müssen wir die Ableitung wie sonst auch gleich Null setzen, doch man muss aufpassen, dass man nach $a\$ auflöst und nicht wie gewöhnlich nach $x\$.
Man setzt die Ableitung nach $a\$ also gleich Null:
$g_x^\prime(a)=0\$
$-4a+2-2x=0\$
Löst nach $a\$ auf:
$a=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$
und muss jetzt die Art (Maximum oder Minimum) dieses Extremums bestimmen. Dazu kann man zum Beispiel die 2. Ableitung nach $a\$ bestimmen und anschließend das Krümmungsverhalten ermitteln. Man könnte aber auch mit Hilfe der 1.Ableitung das Monotonieverhalten bestimmen. Da man gewöhnlich mit Hilfe der 2.Ableitung das Krümmungsverhalten bestimmt und dann auf die Art der Extrema schließt und das Verfahren mit der 1.Ableitung in der Regel nur dann verwendet wird, wenn die 2.Ableitung sehr schwer zu bestimmen ist, verwende ich hier auch die 2.Ableitung:
$g_x''(a)=-4\$
Die zweite Ableitung ist also immer negativ. Daraus folgt, dass $g_x(a)\$ rechtsgekrümmt ist. Somit haben wir für alle $x\$ ein Maximum in $a=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$.

Einsetzen des Scharparameters in die Geradenschar

Wir sind jetzt fast fertig. Wir haben schon den Scharparameter $a\$ in Abhängigkeit von $x\$ bestimmt, für den $g_a(x)\$ maximal wird. Wenn wir diesen Scharparameter also jetzt in die Gleichung der Geradenschar $g_a(x)=-2a^2+\left(2-2x\right)a+x$ einsetzen, erhalten wir die maximalen Funktionswerte der Geradenschar $g_a(x)\$ in Abhängigkeit von $x\$ und somit die gesuchte Hüllkurve, die wir schon im Applet gesehen haben:
$g(x)=-2\cdot \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\right)^2+(2-2x)\cdot \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\right)+x$
Diese Gleichung ist zwar schon richtig, doch leider noch ziemlich unübersichtlich. Man muss diese Gleichung noch etwas umstellen, um zu erkennen, dass es mit der Hüllkurve im Applet übereinstimmt. Dazu sollte man erst die Binomische Formel anwenden und anschließend ausklammern, um auf folgendes Zwischenergebnis zu kommen:
$g(x)=-\frac{1}{2}+x-\frac{1}{2}x^2+1-2x+x^2+x$
Wenn man jetzt noch jeweils gleiche Exponenten von $x\$ addiert oder subtrahiert, erhält man dieses Endergebnis und somit die Hüllkurve aus dem Applet:
$g(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$
Wir haben es geschafft. Das ist also die Gleichung der gesuchten Hüllkurve.

Alternativer Lösungsweg (mit Grenzwert)

Allgemeinen Schnittpunkt zweier Geraden der Geradenschar bestimmen

Um den allgemeinen Schnittpunkt zweier beliebiger Geraden der Schar zu bestimmen, braucht man zwei verschiedene Geraden der Schar. Dazu wählt man für die eine Gerade den Parameter $a\$, für die andere den Paramter $a'\$ und setzt voraus, dass $a\ne a'$. Jetzt bestimmet man den Schnittpunkt dieser beiden unterschiedlichen Geraden, indem man die Gleichungen dieser beiden Geraden gleich setzt und nach $x\$ auflöst:
$g_a(x)=g_{a'}(x)\$
$-2a^2+(2-2x)\cdot a+x=-2a'^2+(2-2x)\cdot a'+x$
Jetzt bringt man die Ausdrücke, in denen $x\$ vorkommt auf die eine und die anderen auf die andere Seite:
$2ax-2a'x=-2a^2+2a'^2+2a-2a'\$
Jetzt klammert man $x\$ aus:
$x\cdot (2a-2a')=-2a^2+2a'^2+2a-2a'$
und teilt durch $(2a-2a')\$ damit $x\$alleine auf der rechten Seite stehen bleibt:
$x=\frac{-2a^2+2a'^2+2a-2a'}{2a-2a'}$

Schnittpunkt zweier benachbarter Geraden

Jetzt hat man den allgemeinen Schnittpunkt zweier beliebiger Geraden der Schar, doch da wir zwei benachbarte Schargeraden brauchen, müssen wir nun $a\$ gegen $a'\$ gehen lassen:
$x_0=\lim_{a\to a'}\frac{-2a^2+2a'^2+2a-2a'}{2a-2a'}$
Hier verwendet man am besten die H-Methode, das heißt man setzt $a=a'+h\$ und lässt $h\$gegen Null gehen:
$x_0=\lim_{h\to 0}\frac{-2(a'+h)^2+2a'^2+2(a'+h)-2a'}{2(a'+h)-2a'}$
Wenn man das noch etwas vereinfacht, erhält man:
$x_0=\lim_{h\to 0}\frac{-4a'h-2h^2+2h}{2h}$
Jetzt klammert man im Zähler $2h\$ aus und kürzt anschließend mit $2h\$:
$x_0=\lim_{h\to 0}\frac{2h\cdot (-2a'-h+1)}{2h}$
$x_0=\lim_{h\to 0}-2a'-h+1$
Da $h\$ gegen Null geht, kann man $h\$ weglassen:
$x_0=-2a'+1\$
oder nach a' aufgelöst:
$a'=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$
Und dieses Ergebnis hatten wir im oberen Beispiel schon bei der Bestimmung von $a\$ über die 1.Ableitung nach $a\$. Jetzt muss man es nur wie vorher schon in die Geradenschar einsetzen und erhält als Endergebnis:
$g(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$

Übungsaufgabe

Übung Die nächste Aufgabe kannst du alleine rechnen, wenn du willst. Ich werde dir aber trotzdem helfen, indem ich dir sage, was du machen sollst. Natürlich kannst du auch jederzeit in der Lösung schauen, wenn du nicht weißt, wie du weitermachen sollst, doch ich würde dir empfehlen es erst mal selbst zu versuchen. Keine Angst auch wenn die einzelnen Schritte (Quotientenregel bei der Ableitung, etc.) etwas schwieriger sind, läuft diese Aufgabe nach demselben Schema wie das Beispiel ab.

Angaben

Du sollst im Folgenden die Hüllkurve der Geradenschar, die durch die Punkte $P=(0/1-a)\$ und $Q=(a/0)\$ festgelegt ist, bestimmen. Wenn du willst, kannst du dir die fertige Hüllkurve vorher im Applet oder in der Zeichnung, die sich rechts neben der Aufgabe befindet, ansehen.

Aufgabe 1 (Gleichung der Geradenschar)

Du solltest zunächst wie oben die Gleichung der Geradenschar bestimmen. Stelle dazu mit Hilfe der Punkte ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und dem Parameter $a\$ auf. Keine Angst es nicht so schwer. Falls du es dennoch nicht schaffen solltest, steht dir die Lösung trotzdem jederzeit zur Verfügung.
(Zur Kontrolle: $g_a(x)=\frac{a-1}{a}x+1-a$)

Aufgabe 2 (Ableitung nach a)

Jetzt kommt eigentlich der schwerste und wichtigste Teil der Aufgabe, die Ableitung nach $a\$. Versuche zunächst die Gleichung der Geradenschar etwas umzustellen und dann die Quotientenregel anzwenden. Wenn du geschickt vorgehst, kannst du die Geradenschar auch so umformen, dass du keine Quotientenregel brauchst. Falls es dir trotzdem nicht gelingen sollte auf das unten angegebene Ergebnis zu kommen, kannst du in der Lösung schauen und versuchen die einzelnen Zwischenschritte zu verstehen.
(Zur Kontrolle: $g_x'(a)=\frac{x}{a^2}-1$)

Aufgabe 3 (Bestimmung des Scharparameters a)

Dieser Schrit ist jetzt wieder deutlich leichter. Setze die in Aufgabe 2 ermittelte Ableitung nach $a\$ gleich $0\$ und löse nach $a\$ auf. Natürlich kannst du auch die Lösung verwenden, trotzdem empfehle ich dir, es erst selbst auszuprobieren. Beachte, dass du mit der 2.Ableitung über das Krümmungsverhalten oder mit der 1.Ableitung über das Monotonieverhalten die Art des Extremums bestimmen musst. (Zur Kontrolle: $a=\sqrt{x})$)

Aufgabe 4 (Einsetzen des Scharparamaters in die Geradenschar)

Jetzt kommt eigentlich der letzte Schritt zur Bestimmung der Hüllkurve. Das Einsetzen des Scharparameters in die Geradenschar. Versuche es zunächst wieder selbst und schau dann in der Lösung nach.
(Zur Kontrolle: $g(x)=x-2\sqrt{x}+1$)

Aufgabe 5 (Kurvendiskussion der Hüllkurve)

Bestimme im Folgenden die Nullstelle, den y-Abschnitt, den Definitionsbereich, das Monotonieverhalten, das Extremum, den Wertebereich, das Krümmungsverhalten und falls erforderlich den Wendepunkt. Natürlich steht dir die Lösung auch diesmal wieder zur Verfügung.

Falls du immer noch nicht genug hast, ist hier nochmal ein Applet, mit dem du gleichzeitig beide Hüllkurven erzeugen kannst.

Anwendung von Hüllkurven

Hüllkurven werden oft verwendet, um Bewegungen zu simulieren. So kann man mit Hilfe von Hüllkurven überprüfen, ob das Auto in die Garage passt oder ob man einen Schrank um eine Ecke bringt.

$\mathbf{Randextremaaufgabe: Fehlerhafte}$ $\mathbf{ Glasplatte}$

$\mathbf{Aufgabenstellung:}$

Von der Glasplatte eines rahmenlosen Bildträgers mit den Seitenlängen 100cm und 60cm ist eine Ecke (10cm und 4cm) abgesprungen. Aus dem Rest soll eine rechteckige Scheibe von möglichst großer Fläche geschnitten werden.

=>Bevor ich euch im folgenden 2 Musterlösungen zu dieser Aufgabe vorstelle, möchte ich euch bitten erst einmal euch dieses

anzuschauen und selbst euer Können zu beweisen. Mit Hilfe dieses Applets könnt ihr euch die Aufgabe auch nochmals bildlich vor Augen führen.

Tipp

Ich habe spontan 2 Lösungsmöglickeiten gefunden:

1. Strahlensatz
2. Bestimmung des Extrempunktes mit Hilfe der Geraden durch D und E

Zu 1.

Ich wende nun in dem $\triangle ADE$ den Strahlensatz an, da wie ersichtlich die Strecken $\overline{AE}$ und $\overline{FJ}$ parallel sind.

Um die Aufgabe etwas zu erleichtern definiere ich nun noch einige Strecken mit Buchstaben: $\overline{GI}$ = a $\overline{BI}$ = b$\overline{FH}$ = x

$\overline{FG}$ = y $\overline{AE}$ = q $\overline{AD}$ = p

Allgemein gilt für den zu bestimmenden Flächeninhalt des Rechteckes: A = x*y

$\mathbf{Strahlensatz:}$

${b-y \over q}$ = ${p-(a-x) \over p}$

${b-y \over 1}$ = ${q*(p-a+x) \over p}$

Auflösen nach dem benötigtem y-Wert:

$\Rightarrow$ $\mathbf{y(x)}$ = ${-xq \over p} + b - q + {aq \over p}$

$\Rightarrow$ $\mathbf{A(x) = x * y(x)}$ = ${-x^2q \over p} + bx - qx + {aqx \over p}$ für alle x in $\mathbf{D_A}$$\mathbf{= [0  ; 100]}$

$\Rightarrow$ Flächeninhalt ist nun nur noch von der Variablen x abhängig.

Bestimmung der 1.Ableitung zur Berechnung des Maximums:

$\mathbf{A'(x)}$ = ${-2xq \over p} + b - q + {aq \over p}$

$\Longrightarrow$ $\mathbf{A'(x) = 0}$ für $x = {p \over 2q} * ( b - q + {aq \over p})$

Einsetzten der Längeneinheiten:

$x = {10 \over 2*4} * ( 60 - 4 + {100*4 \over 10} ) = 120$

Da die 2. Ableitung kleiner als Null ist handelt es sich hierbei um ein Maximum! $A''(x) = {-2q \over p}$ $\mathbf{< 0 }$

$\Rightarrow$ Maximum des Graphen bei Max( 120 / 5760 )

$\Rightarrow$ Maximum des Graphen liegt außerhalb des Definitionsbereiches der der Länge der Glasplatte entspricht (100cm).

$\mathbf{Aber:}$

$\mathbf{A'(x)}$$\mathbf{> 0 }$ für alle x in $\mathbf{D_A}$$\mathbf{= [0  ; 100]}$

$\Rightarrow$Der Graph ist im Definitionsbereich streng monoton steigend, deshalb liegt das Maximum am Rande des Definitionsbereiches bei x = 100 !

$\Rightarrow$ Max( 100 / 5600 )

Zu 2.

Wie im Applet ersichtlich lässt sich durch die beiden Punkte D und E eine Gerade $h(x) = -0,4x + 96$ legen. Mit Hilfe dieser Geraden lässt sich ebenfalls der maximale Flächeninhalt des auszuschneidenden Rechteckes berechnen. Dazu gehen wir wieder von der allgemeinen Grundgleicheung $A = x*y$ aus.

Aufstellen der Funktion für den Flächeninhalt:

$\Rightarrow$ $\mathbf{A = x*y = x*h(x)}$ da h(x) den nötigen y-Wert liefert

$\mathbf{A(x) = x * h(x) = -0,4x^2 + 96x}$

Bestimmung der 1.Ableitung zur Berechnung des Maximums:

$\Rightarrow$ $\mathbf{A'(x)}$ $\mathbf{= -0,8x + 96}$

$\mathbf{A'(x)}$ $\mathbf{= 0 => x = 120 }$

$\Rightarrow$ Maximum des Graphen bei Max( 120 / 5760 )

$\Rightarrow$ Da die 2. Ableitung kleiner als Null ist: $\mathbf{A''(x) = -0,8}$ $\mathbf{< 0 }$

$\Rightarrow$ Maximum des Graphen liegt außerhalb des Definitionsbereiches der der Länge der Glasplatte entspricht (100cm).

$\mathbf{Aber:}$

$\mathbf{A'(x)}$ $\mathbf{= -0,8x + 96}$ $\mathbf{> 0 }$ für alle x in $\mathbf{D_A}$$\mathbf{= [0  ; 100]}$

$\Rightarrow$ Der Graph ist im Definitionsbereich streng monoton steigend, deshalb liegt das Maximum am Rande des Definitionsbereiches bei x = 100 ! $\Rightarrow$ Max( 100 / 5600 )

Den Graphen $\mathbf{A(x) = x * h(x) = -0,4x^2 + 96x}$ hab ich im Applet um die Konstante c = -5760 verschoben, damit dessen Scheitel auf der x - Achse liegt. Dadurch is der Zusammenhang zwischen dem Graphen und dem Flächeninhalt deutlicher. Der entstehende Graph lautet somit nun $\mathbf{A(x) = -0,4x^2 + 96x - 5760}$.

--Michael baunacher 15:18, 26. Feb 2007 (CET)

Kreuzung

Zur Entlastung einer Kreuzung sollen zwei sich rechtwinklig schneidende Straßen durch ein Straßenstück verbunden werden. Das neue Straßenstück zweigt im Punkt Z ab und darf dabei nicht durch das rot eingezeichnete Grundstück führen.

a) Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks in Abhängigkeit von z

I) $A_\mathrm{Gesamt}=\frac{1}{2}*z*w$
Da wir für die Aufgabenstellung den Flächeninhalt und die Länge z benötigen, lösen wir nach w auf, um es später eliminieren zu können.
$w=\frac{A_\mathrm{Gesamt}*2}{z}$

II) Erneutes Aufstellen des Flächeninhaltes über die Summe der Teilflächen:
$\begin{matrix}A_\mathrm{Gesamt}&=& A_\mathrm{1}+A_\mathrm{2}+A_\mathrm{Rechteck} \\ \ &=& (\frac{1}{2}*200*(w-100))+(\frac{1}{2}*100*(z-200))+(200*100) \\ \ &=& 100w-10000+50z-10000+20000\\ \ &=& 100w+50z\end{matrix}$
Auch diesen Term lösen wir nach w auf:
$w=\frac{A_\mathrm{Gesamt}-50z}{100}$

III) Jetzt können die Gleichungen aus I) und II) gleich gesetzt werden:
$\begin{matrix}\frac{A_\mathrm{Gesamt}*2}{z}&=& \frac{A_\mathrm{Gesamt}-50z}{100} \\ A_\mathrm{Gesamt}*2*100 &=& A_\mathrm{Gesamt}*z-50z^2 \\ 200A_\mathrm{Gesamt}-zA_\mathrm{Gesamt} &=& -50z^2 \\ A_\mathrm{Gesamt}*(200-z) &=& -50z^2 \\ A_\mathrm{Gesamt} &=& \frac{50z^2}{z-200}\end{matrix}$

Dabei ist zu beachten, dass für $z < 200$ der Flächeninhalt negativ würde. Für $\lim_{z\rightarrow 200} A_\mathrm{Gesamt}(z)$ wird er unendlich (Nullstelle des Nenners > Polstelle). In beiden Fällen würde das Straßenstück keine Verbindung darstellen. Es gilt also $z > 200$.

Funktion für den Flächeninhalt

Hier ist der Zusammenhang noch einmal in einem Applet ersichtlich.

b) Bei welcher Länge von Z wird der Flächeninhalt minimal?

I) Hierfür benötigen wir zunächst die erste Ableitung:
$\begin{matrix}A^\prime_\mathrm{Gesamt}(z) &=& \frac{(z-200)*100z-50z^2}{(z-200)^2} \\ \ &=& \frac{50z^2-20000z}{(z-200)^2} \\ \ &=& \frac{50z(z-400)}{(z-200)^2}\end{matrix}$

II) Den Zähler setzen wir mit 0 gleich: $\begin{matrix}50z*(z-400) = 0 \end{matrix}$

$\begin{matrix}50z = 0 \end{matrix}$

$\rightarrow z_1 = 0$

$\begin{matrix}z-400 = 0 \end{matrix}$

$\rightarrow z_2 = 400$

Da Z > 200 ist nur $z_2$ gültig: Für z = 400 wird also der Flächeninhalt minimal.

Hängebrücke

Aufgabenstellung

Das Seil einer Hängebrücke einer Breite von 200m kann durch eine leicht abgeänderte Kettenlinie beschrieben werden. Diese ist das Schaubild einer Funktion $f_{c}(x)$ mit $f_{c}(x)=\frac{a}{2c}\cdot(e^{cx}+e^{-cx})$ mit a,c>0, x in Meter, y in Meter.

Aufgabe a)

Zeigen Sie, dass das Schaubild von $f_{c}$ symmetrisch zur y-Achse liegt.

z.z. $\ f_{c}(x)=f_{c}(-x)$

$f_{c}(x)=\frac{a}{2c}\cdot(e^{cx}+e^{-cx})=\frac{a}{2c}\cdot(e^{-cx}+e^{cx})=f_{c}(-x)$

$\Rightarrow f_{c}$ symmetrisch zur y-Achse

Aufgabe b)

Berechnen sie das Minimum der Funktion $f_{c}$.

$f'_{c}(x)=\frac{a}{2c}\cdot e^{cx}\cdot c+\frac{a}{2c}\cdot e^{-cx}\cdot(-c)$

$f'_{c}(x)=\frac{a}{2}\cdot(e^{cx}-e^{-cx})$

$\frac{a}{2}>0$

$\Rightarrow f'_{c}(x)>0$ für $(e^{cx}-e^{-cx})>0$

$\Rightarrow f'_{c}(x)<0$ für $(e^{cx}-e^{-cx})<0$

$/$

$\ (e^{cx}-e^{-cx}=0$

$\ 1=e^{2cx}$

$\ ln{(1)}=ln{(e^{2cx})}$

$\ 0=2cx$ c>0

$\ x=0$

$/$

$\Rightarrow f'_{c}(x)>0$ für x>0 $\rightarrow f_{c}(x)$ streng monoton steigend für $x\in[0;o\!o[$

$\Rightarrow f'_{c}(x)<0$ für x<0 $\rightarrow f_{c}(x)$ streng monoton fallend für $x\in]-o\!o$;0]

$\Rightarrow$ Minimum in x=0 $\rightarrow T(0/\frac{a}{b})$

Aufgabe c)

Bestimmen sie a und c so, dass das Seil den tiefsten Punkt mit 5m erreicht und die beiden Aufhängepunkte einen Abstand von 200m haben und je 30m hoch sind.

$\ f_{c}(0)=5$

$5=\frac{a}{2c}\cdot(e^{0}+e^{0})$

$5=\frac{a}{2c}\cdot(1+1)$

$5=\frac{a}{c}\rightarrow I:a=5c$

$\ f_{c}(100)=f_{c}(-100)=30$

$II:30=\frac{a}{2c}\cdot(e^{100c}+e^{-100c})$

$IinII: 30=\frac{5}{2}\cdot(e^{100c}+e^{-100c})$

$\ 0=e^{100c}+e^{-100c}-12$

Substitution $\ e^{100c}=u$

$\ 0=u+u^{-1}-12$ oder

$\ 0=u^{2}-12u+1$

$\rightarrow u_{1}=6+\sqrt{35}$

$\rightarrow u_{2}=6-\sqrt{35}$

$\ u_{1}$ und $\ u_{2}$ in $\ e^{100c}=u$ einsetzen und logarithmieren.

$ln{e^{100c}}=ln{(6+\sqrt{35})}$

$\rightarrow c=\frac{ln{(6+\sqrt{35})}}{100}\approx0.0248$

für $\ u_{2}$ ist $c\approx-0.0248$ Lösung entfällt, da c>0

$\rightarrow a=5\cdot\frac{ln{(6+\sqrt{35})}}{100}\approx0.1239$

$\Rightarrow f(x)=\frac{5}{2}\cdot(e^{0.0248x}+e^{-0.0248x})$

Im Folgenden ist die in c) berechnete Funktion zu verwenden.

Aufgabe d)

Welches Gefälle in Prozent haben die Seile an den Aufhängepunkten?

$f'(x)=\frac{0.1239}{2}\cdot(e^{0.0248x}-e^{-0.0248x})$

$f'(100)=-f'(-100)=\frac{0.1239}{2}\cdot(6+\sqrt{35}-\frac{1}{6+\sqrt{35}})\approx0.7330$

$f'(100)=m\approx0.7330$ und entspricht einer Steigung von 73.3%

Aufgabe e)

An welchen Stellen ist das Seil ca. 15m über dem Boden?

$\ f(x)=15$

$15=\frac{5}{2}\cdot(e^{0.0248x}+e^{-0.0248x})$

Substitution $\ e^{0.0248x}=q$

$\ 0=q+q^{-1}-6$ oder

$\ 0=q^{2}-6q+1$

$\rightarrow q_{1}=3+\frac{\sqrt{32}}{2}$

$\rightarrow q_{2}=3-\frac{\sqrt{32}}{2}<0\rightarrow$ keine Lösung, da Logarithmus nur für x > 0 deffiniert.

$\ q_{1}$ in $\ e^{0.0248x}=q$ einsetzen und logarithmieren.

$ln{e^{0.0248x}}=ln{(3+\frac{\sqrt{32}}{2})}$

$\rightarrow x=\frac{ln{(3+\frac{\sqrt{32}}{2})}}{0.0248}\approx71.1$

Aufgabe f)

Auf welcher Strecke könnte ein Stuntman das Seil mit einem Motorad befahren, wenn er noch eine Steigung von 20% bewältigen kann?

d.h.$\ f'(x)=0.2$

$\frac{a}{2}\cdot{(e^{cx}-e^{-cx})}=0.2$

$e^{cx}-e^{-cx}-0.2\cdot{\frac{2}{a}}=0$

Substitution $\ e^{cx}=p$

$p-p^{-1}-\frac{0.4}{a}=0$

$p^{2}-\frac{0.4}{a}p-1=0$

$\rightarrow p_{1}=\frac{\frac{0.4}{a}+\sqrt{\frac{0.16}{a^{2}}+4}}{2}$

$\rightarrow p_{2}=\frac{\frac{0.4}{a}-\sqrt{\frac{0.16}{a^{2}}+4}}{2}<0\rightarrow$keine Lösung, da Logarithmus nur für x > 0 deffiniert.

$\ p_{1}$ in $\ e^{0.0248x}=p$ einsetzen und logarithmieren.

$ln{e^{0.0248x}}=\frac{\frac{0.4}{a}+\sqrt{\frac{0.16}{a^{2}}+4}}{2}$

$\rightarrow x=\frac{\frac{0.4}{a}+\sqrt{\frac{0.16}{a^{2}}+4}}{2\cdot0.0248}\approx50.71$

Arbeitszeitentwicklung

Bei einer Klausur steht Schülern eine Arbeitszeit von t = 2h zur Verfügung.

Der Anteil a(t) der Schüler, die zur Zeit t (in h) mit $0\le t \le2$ die Klausur beenden, kann durch die Funktion a(t) =$\frac{1}{4}t^3$ beschrieben werden.

a.) Wie viel Prozent der Schüler arbeiten zwischen 100 und 120 Minuten?

b.) Wie groß ist die mittlere Arbeitszeit der Schüler?

c.) Warum gilt: $\int\limits_{0}^{2} \left ( \frac{1}{4}t^3 \right )\, \mathrm{d}t=0$

___________________________________________________________________________

---Zu a.)---

Bevor ihr weiterlest, schaut euch erst einmal dieses Applet an und prüft, ob ihr die Aufgabe selber hättet lösen können:

Überlegung:

Im Intervall $0\le t \le2$ ist die Funktion $\frac{1}{4}t^3$ ein nach oben geöffneter Parabelast; sein Scheitel S liegt bei (0/0).

$\rightarrow$ Wie berechnet man den Anteil a(t) der Schüler, die ihre Klausur zwischen 100 und 120 Minuten beenden?

Überlegung:

Aus der Physik wissen wir, dass die Fläche unter dem t-v-Diagramm ein Maß für den Weg ist; analog gilt hier: Die Fläche unter dem t-a(t)-Diagramm ist ein Maß für den Anteil der Schüler.

$\rightarrow$ Man muss also die Fläche unter dem Parabelast zwischen $\frac{5}{3}\le t \le2$ berechnen (100 min = $\frac{5}{3}h$ ); dann erhält man einen Wert. Diesen Wert teilt man durch die Fläche unter dem Ast zwischen $0\le t \le2$ und man erhält den prozentualen Anteil der Schüler, die ihre Klausur

zwischen 100 und 120 Minuten beenden.

Lösung:

Die Fläche berechnet man mit dem Integral, also

  $\int\limits_{	\frac{5}{3}}^{2} a(t)\, \mathrm{d}t$=  $\int\limits_{	\frac{5}{3}}^{2} 		 \left( \frac{1}{4}t^3 \right)\, \mathrm{d}t$   =  $\left [ \frac{t^4}{16} \right ]^2_\frac{5}{3}$    =   $\left | \frac{2^4}{16}-\left ( \frac{\left ( \frac{5}{3} \right )^4}{16} \right ) \right \vert$    =    $\left | 1-\frac{\frac{625}{81}}{16} \right \vert
\approx 0,52$    

Nun teilt man dies durch die Gesamtfläche.

Berechnung der Gesamtfläche:

   $\int\limits_{0}^{2} \left ( \frac{1}{4}t^3 \right )\, \mathrm{d}t$   =    	$\left [ \frac{t^4}{16} \right ]^2_0 \quad$   =   $\left | \frac{2^4}{16}-0 \right \vert=1$ 

$\frac{0,52}{1}= 0,52 = 52%$

$\rightarrow$ Es geben also 52% der Schüler ihre Klausur zwischen 100 und 120 Minuten ab.

---

---zu b.)---

Auch hier prüft erst wieder, ob ihr es alleine lösen könntet: Applet2

Überlegung:

Zwischen t=0 und welchem Zeitpunkt t ist die Fläche unter dem Diagramm genau 50% der Gesamtfläche? Wir suchen also das bestimmte Integral mit der unteren Grenze 0 und der oberen Grenze x, mit dem Wert 0,5.

Lösung:

   $\int\limits_{0}^{x} \left ( \frac{1}{4}t^3 \right )\, \mathrm{d}t=0,5$ 

   $\left [ \frac{t^4}{16} \right ]^x_0 \quad=0,5$ 

   $\left | \frac{x^4}{16}-0 \right \vert=0,5$ 

   $\frac{1}{16}x^4=0,5 //*16$ 

   $x^4=8         //       \sqrt[4]{x}$ 

   $x=\sqrt[4]{8}$ 

   $x\approx1,68$

$\rightarrow$ Die mittlere Arbeitszeit beträgt also ca 1,68h (101 min).

---Zu c.)---

Recherisch haben wir diese Aufgabe bereits gelöst, als wir die Gesamtfläche berechnet haben.

Doch man kann auch nur duch Überlegen daruf kommen, denn da im gegebenen Zeitraum 100% der Schüler ihre Klausur beendet haben müssen, liegt es nahe, dass das Integral zwischen 0 und 2 gleich 1 ist.

Aufgabenstellung

Ein Verlag bringt ein neues Buch auf den Markt und erzielt im ersten Monat (t=0) einen Absatz von 5000 Exemplaren. Im 10. Monat wird der größte Absatz von 20000 Exemplaren erreicht. Erfahrungsgemäß genügen die Absatzzahlen einer Funktion der Form

$f (x) = \frac{a}{b+(c-t)^2}$ (t in Monaten)

a) Bestimmen Sie die Parameter a, b und c für die gegebenen Absatzzahlen und ermitteln Sie, wie viele Bücher nach dieser Funktion innerhalb eines Jahres abgesetzt werden. In welchem Monat unterschreitet nach diesem Modell die Zahl der abgesetzten Bücher erstmals die Rentabilitätsgrenze von 200 Exemplaren? In welchem Monat ist die stärkste Abnahme des Absatzes zu erwarten?

b)Bestimmen Sie einen näherungswert für die Anzahl von Büchern, die bis zum Erreichen der Rentabilitätsgrenze insgesamt abgesetzt werden können!

Lösung zu a)

Zunächst müssen a, b und c bestimmt werden. Dazu benötigt man 3 Gleichungen.

1. Gleichung: t = 0 (1. Monat); f (0) = 5000

$\frac{a}{b+c^2}=5000$ (I)

2. Gleichung: t = 9 (10. Monat); f (9) = 20000

$\frac{a}{b+(c-9)^2}= 20000$ (II)

3. Gleichung: f' (9) = 0 ("größte Absatz" → Maximum)

$\frac{2ac-18a}{(b+(c-9)^2)^2}= 0$ (III)

Diese Gleichungen löst man nun nach a, b und c auf.

(III)

$2ac-18a = 0 \Rightarrow c=9$

in (II)

(II)

$\begin{matrix}\frac{a}{b+(9-9)^2}&=& 20000 \\ \frac{a}{b}&=& 20000 \\ \ a&=&20000b\end{matrix}$

in (I)

(I)

$\begin{matrix}\\ \frac{20000b}{b+9^2}&=& 20000 \\ \ 20000b&=&5000(b+81)\\ \ 3b&=&81 \\ \ b&=&27 \end{matrix}$

Mit Hilfe von (II) erhält man a

$\begin{matrix}\\ a&=&20000b\\ \ a&=&27\cdot20000\\ \ a&=&540000\end{matrix}$

Nun setzt man die Werte für a, b und c in den Term ein und man erhält den Funktionsterm:

      $f(t)=\frac{540000}{27+(9-t)^2}$

Zum Überprüfen eignet es sich den Graph zu zeichnen.

• Absatz von Büchern innerhalb eines Jahres

$\begin{matrix}f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+...+f(11)\end{matrix}$

$=5000+5934,07+7105,26+8571,43+10384,62+12558,14+15000+17419,35\cdot2+19285,71\cdot2+20000$

$\begin{matrix}=157963,64\end{matrix}$

Es werden innerhalb eines Jahres 157 963 Bücher verkauft.

• Monat, bei dem die Rentabilitätsgrenze von 200 abgesetzten Büchern unterschritten wird

Man schaut zunächst in welchem Monat 200 Bücher abgesetzt werden.

$\frac{540000}{27+(9-t)^2}=200$

Nach weiteren Umformungen der Gleichung erhält man:

$\begin{matrix}t^2-18x-2592=0\end{matrix}$

Diese Gleichung lässt sich nun mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen lösen.

$t_{1/2}=\frac{-(-18)\pm\sqrt{(-18)^2-(4\cdot1\cdot2592)}}{2}$

$\begin{matrix}t_1\approx60,70\end{matrix}$

$\begin{matrix}t_2\approx-42,7\end{matrix}$ (geht nicht, da es keine negativen Monate gibt)

Es muss beachtet werden, dass im 61 Monat (t=60) noch 200 Bücher abgesetzt werden können. Nach dieser Funktion unterschreitet der Absatz von Büchern erstmals die Rentabilitätsgrenze von 200 Stück im 62. Monat (t=61), was sich auch leicht durch das Einsetzen von t=61 überprüfen lässt.

• Stärkste Abnahme des Absatzes

Hierzu benötigt man zunächst die erste Ableitung der Funktion. Abgeleitet ergibt f(t):

     $f'(t)=\frac{9720000-1080000t}{[27-(9-t)^2]^2}$
     f'(t) gibt an, ob der Graph steigt oder fällt und wie stark er dies tut.

Da man nun wissen will, wo der Graph am stärksten fällt, sucht man mit Hilfe der 2. Ableitung von f(t), die zugleich die 1. Ableitung von f'(t) ist, das Minimum von f'(t).

     $f''(t)=\frac{3240000t^2-58320000t+233280000}{[27-(9-t)^2]^4}$

Nun schaut man, an welchen Stellen $f''(x) = 0$ erfüllt ist. Indem man die Lösungsformel nach einigen Umformungen verwendet, erhält man folgendes:

$t_{1/2}=\frac{5832\pm\sqrt{(-5832)^2-(4\cdot324\cdot23328}}{2\cdot324}$

$\begin{matrix}t_1 = 12\end{matrix}$

$\begin{matrix}t_2 = 6\end{matrix}$

Mit Hilfe des Graphen sieht man, dass die stärkste Abnahme bei t=12 sein muss, da er bei t=6 noch steigt. Um es rechnerisch zu überprüfen eignet sich das Monotoniekriterium:

Lösung zu b)

Nun soll noch der Absatz bis zum Erreichen der Rentabilitätsrate bestimmt werden. Um diesen Absatz auszurechnen, integriert man von 0 bis 60,7. Dies ist vergleichbar mit dem t-v-Diagramm aus der Physik, denn wenn man in diesem Diagramm integriert, erhält man den zurückgelegten Weg (= Fläche unter dem Graphen). Das Integral rechnet man mit Hilfe von Geogebra aus.

Als Wert für das bestimmte Integral mit der unteren Grenze 0 und der oberen Grenze 60,7, liefert uns Geogebra den Zahlenwert 261 660. Es werden also 261 660 Bücher bis zum Erreichen der Rentabilitätsrate abgesetzt.

Wenn es dich jetzt noch interessiert, wie sich der Graph und die Ergebnisse für unterschiedliche a, b und c verändern, dann bearbeite das folgende Applet.

Getränkeverpackungen

Aufgabenstellung

Viele Getränke werden heutzutage in quaderförmigen Verpackungen zum Kauf angeboten. Die Handelsmarke Tetrapack stellt hierfür geeignete Behältnisse her. Die Einliterverpackung besitzt dabei folgende normierte äußere Abmessungen: Briete B = 63 mm, Tiefe T = 94 mm, Höhe H = 166 mm. Der verwendete, mehrfach beschichtete Karton hat eine Dicke von ca. 0,5 mm. Zeigen Sie, dass mit den Originalabmessungen eigentlich weniger als ein Liter Flüssigkeit in den Karton passt.

Durch die Befüllung mit einer Flüssigkeit beult sich der Karton seitlich etwas aus. Bei dem hier betrachteten Modell wird davon ausgegangen, dass sich die Ausbeulung nur auf den beiden größten Seitenflächen rechts und links und wie in der Skizze dargestellt zeigt. Vorder- und Rückseite sollen nicht ausgebeult sein (Höhe und Tiefe bleiben also auch gleich). Die vier vormals senkrechten Kanten verformen sich dabei zu parabelförmig nach rechts bzw. links. Bestimmen Sie die maximale Breite $B_{max}$ des gefüllten Behälters, wenn im Karton neben genau einem Liter Flüssigkeit noch 30 $cm^3$ Luft zum besseren Öffnen und Ausgießen verbleiben sollen.

Lösung

Um das Innenvolumen des Quaders zu berechenen muss man zunächst die Maße um 1 mm (0,5 mm Kartondicke) reduzieren.

Es ergeben sich also neue Maße:$B = 62 mm;\ T = 93 mm;\ H = 165 mm$

Daraus ergibt sich dann folgedes Volumen: $V =\, B*H*T =\, 62 mm * 93 mm * 165 mm =\, 951,4 cm^3$

Um die parabelförmige Ausbeulung besser bestimmen zu können dreht man das Model um 90° und ein legt Koordinatensystem hinein, dessen Ursprung die Mitte der Vorderfläche ist. Grund für die Lage des Ursprungs ist die Symmetrie. Die Maße a, b, c, d sind jeweils die Innenmaße (Kartondicke also schon abgezogen).

Aus dem Model ergeben sich dann folgende Überlegungen für den Ansatz der oberen Parabel:

-Scheitel bei S(0|b)

-Nach unten geöffnet

$\Rightarrow \, f(x) = -kx^2 + b$

Mit den Abmessungen des Kartons lassen sich a, c und d (in mm) erschließen:

$a =\, {165 \over 2} = 82,5; \qquad c =\, {62 \over 2} = 31; \qquad d =\, 93$

Da die Parabel durch den Punkt P (a|c) läuft, gilt:

$f(a)=\,c \ \Leftrightarrow \ f(82,5)=\, 31 \ \Leftrightarrow \ -k*82,5^2+b=\,31 \ \Leftrightarrow \ k=\, {b-31 \over 82,5^2}$

Es ergibt sich also in Abhängigkeit von b folgende Gleichung für die Parabel:

$f(x)=\, - {b-31 \over 82,5^2}*x^2 + b$

Nun lässt sich der Inhalt der vorderen Fläche in Abhängigkeit von b berechnen:

$A=\,4*\int\limits_{0}^{a} f(x)\, \mathrm{d}x =\, 4*\int\limits_{0}^{82,5} (- {b-31 \over 82,5^2}*x^2 + b) \, \mathrm{d}x$

$A=\,4*\Bigg[\Big(- {b-31 \over 82,5^2}*x^2 + b\Big)* {x^3\over 3}+ b*x\Bigg] _{0}^{82,5}$

$A=\, 4*\Bigg(-{(b-31)*82,5\over3}+b*82,5\Bigg)$ $=\, {8*82,5\over3}*b+{4\over3}*31*82,5$

$A=\, 220*b + 3410$

Das Volumen des ausgebeulten Tetra-Packs lässt sich mit V=A*d berechnen.

Es soll ein Volumen von 1030 $cm^3$ = 1030000 $mm^3$ (1 Liter Flüssigkeit und 30 $cm^3$ Luft).

Somit kann man jetzt b bestimmen:

$V=\, A*d=\, (220*b+3410)*93=\, 20460*b+317130=\,1030000$

$\Leftrightarrow b=\,{(1030000-317130)\over 20460} \approx \, 34,84$

$\Longrightarrow b_{max} \approx\, 69,7$

Um die Wölbung nach außen zu erhalten muss man von $b_{max}$ die ursprüngliche Breite abziehen:

$69,7\,mm\,-\,62\,mm=\, 7,7\,mm$

Um einen Liter Flüssigkeit und 30 $cm^3$ Luft fassen zu können, muss sich der Getränkekarton also um 7,7 mm ausbeulen.

Die Rettungsschwimmerin

Aufgabenstellung

Eine Rettungsschwimmerin sieht eine bewusstlose Person 40m vom Ufer entfernt im Wasser. Um sie zu retten, läuft sie zunächst den geraden Strand entlang und wirft sich dann in die Fluten. An welcher Stelle sollte sie das tun, wenn sie fünfmal so schnell laufen wie schwimmen kann?

Skizze

Kommt noch

Aufstellen der Funktion

Ich entscheide mich dafür, dass ich eine Lösung über den gelaufenen Weg nehme! Zum erstellen der Funktion benötigt man einige Überlegungen:

• 1. Den Weg den die Schwimmerin gehen muss kann man aus zwei Wegen zusammensetzen:

• 1.1. Den Weg bis zu dem Punkt, an dem sie ins Wasser springt

• 1.2. Den Weg den sie im Wasser schwimmt

• 2. Bei dieser Zusammensetzung lässt sich auch gut die Bedingung, dass die Rettungsschwimmerin fünfmal so schnell laufen kann wie schwimmen, unterbringen. Mann nimmt einfach ein fünftel des gelaufenen Weges.

• 3. Der Standpunkt der Rettungsschwimmerin am Strand wird allgemein als 1 betrachtet

Die Funktion $f(x)$ lässt sich demnach folgendermaßen erstellen:

Funktion für den gelaufenen Weg( $f_l$ ) + Funktion für den geschwommenen Weg( $f_s$ Über Pythagoras)

$f_l(x)=\frac{1}{5}*(1-x)$

$f_s(x)=\sqrt{40^2+x^2}$

$\Rightarrow f(x)=\sqrt{40^2+x^2}+\frac{1}{5}*(1-x)$

Definitionsmenge für $f(x)$:

$D=R^+_0$, da es keine negativen Wege gibt und dadurch nur positive Werte Sinn machen!

Untersuchung der Funktion im Differentialen Bereich auf Minima:

Da wir den kürzesten Weg suchen, suchen wir nach einem Minimum

Definition eines relativen Minimums:

$f'(x_0)=0 \wedge f''(x_0)>0$

Mittels: 1. Ableitung:

Aus der Definition eines Minimums ergibt sich die Bedingung: 1. Ableitung = 0

$f^\prime(x)=\frac{2x}{2\sqrt{40^2+x^2}}-\frac{1}{5}$

$\Rightarrow f^\prime(x)=\frac{x}{\sqrt{40^2+x^2}}-\frac{1}{5}$

$\mathbf{Bedingung:} f^\prime(x)=0$

$\Rightarrow f^\prime(x)=0$

$\frac{x}{\sqrt{40^2+x^2}}-\frac{1}{5}=0$

$\frac{x}{\sqrt{40^2+x^2}}=\frac{1}{5}$

$\sqrt{40^2+x^2}=5x$

$\begin{matrix}40^2+x^2=(5x)^2\end{matrix}$

$\begin{matrix}{40^2+x^2=25x^2}\end{matrix}$

$\begin{matrix}{40^2=24x^2}\end{matrix}$

${\frac{40^2}{24}=x^2}$

$+\sqrt{\frac{40^2}{24}}=x_1$

$-\sqrt{\frac{40^2}{24}}=x_2$

$x_1\approx+8{,}16$

$x_2\approx-8{,}16$ (nicht Element der Definitionsmenge)

Mittels: 2. Ableitung:

Aus der Definition eines Minimums ergibt sich die Bedingung: 2. Ableitung > 0

$f''(x)=\frac{\sqrt{40^2+x^2}-x*\frac{1}{2\sqrt{40^2+x^2}}2x}{40^2+x^2}$

$\Rightarrow f''(x)=\frac{\sqrt{40^2+x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{40^2+x^2}}}{40^2+x^2}$

Untersuchung der 2. Ableitung an der Stelle $x_1$:

$f''(\sqrt{\frac{40^2}{24}})=\frac{\sqrt{40^2+(\sqrt{\frac{40^2}{24}})^2}-\frac{(\sqrt{\frac{40^2}{24}})^2}{\sqrt{40^2+(\sqrt{\frac{40^2}{24}})^2}}}{40^2+(\sqrt{\frac{40^2}{24}})^2}$

$f''(\sqrt{\frac{40^2}{24}})=\frac{\sqrt{40^2+{\frac{40^2}{24}}}-\frac{{\frac{40^2}{24}}}{\sqrt{40^2+{\frac{40^2}{24}}}}}{40^2+{\frac{40^2}{24}}}$

$f''(\sqrt{\frac{40^2}{24}})\approx40{,}82$

Untersuchung der 2. Ableitung an der Stelle $x_2$ (nicht Element der Definitionsmenge) :

$f''(-\sqrt{\frac{40^2}{24}})=\frac{\sqrt{40^2+(-\sqrt{\frac{40^2}{24}})^2}-\frac{(-\sqrt{\frac{40^2}{24}})^2}{\sqrt{40^2+(-\sqrt{\frac{40^2}{24}})^2}}}{40^2+(-\sqrt{\frac{40^2}{24}})^2}$

$f''(-\sqrt{\frac{40^2}{24}})=\frac{\sqrt{40^2+{\frac{40^2}{24}}}-\frac{{\frac{40^2}{24}}}{\sqrt{40^2+{\frac{40^2}{24}}}}}{40^2+{\frac{40^2}{24}}}$

$f''(-\sqrt{\frac{40^2}{24}})\approx40{,}82$

Da $x_1$ die Bedingungen erfüllt, hat $G_f$ an dieser Stelle ein Minium!

Lösung und Stelle $x_2$

Die Rettungsschwimmerin muss also bei 8,16 m ins Wasser springen!

Die Stelle $x_2$ wäre die Stelle an der die Rettungsschwimmerin ins Wasser springen müsste wenn sie von der anderen Seite kommen würde!

Fehlerhafte Siliziumplatte

Eine Siliziumplatte hat die Maße: - 70mm lang und 60mm breit

Durch einen Fehler konnte ein Sandkorn in die Platte eindringen, das sich 15mm von der linken und 24mm von der unteren Kante abgesetzt hat. Dieses muss jetzt durch einen geraden Schnitt abgetrennt werden.

Hilfsfigur

Hilfsfigur kommt noch.

Das Dreieck FAG muss also abgetrennt werden, seine Fläche lässt sich so berechnen:

$A= \frac{1}{2} f g$

Nun sollte man eine der der beiden Strecken durch die andere ausdrücken:

Dazu verwendet man den Strahlensatz mit dem Zentrum A.

Nun erhält man:

$\frac{g}{24} = \frac{f}{f-15}$

Löst man dies nun nach g auf, erhält man:

$g = \frac{24f}{f-15}$

Jetzt kann man den Flächeninhalt wie folgt ausdrücken:

$A = \frac{1}{2} f \frac{24f}{f-15}$

Fasst man diesen Zusammen, dann erhält man:

$A = \frac{12f^2}{f-15}$

Es ist nun aber nach dem kleinsten Flächeninhalt für dieses Dreieck gefragt, also gilt es, ein Extremum, genauer das Minimum, zu bestimmen; man muss den Flächeninhalt A ableiten.

$A' = \frac{12f^2 - 360f}{(f-15)^2}$

Nun will man den Extremwert, also setzt man den Wert 0 für A´ ein.

Man erhält:

$0 = \frac{12f^2-360f}{(f-15)^2}$

Hier ergeben sich 2 Werte:

1. f=0, aber dieser Wert wäre unsinnig, siehe Zeichnung.
2. f=30, sein Funktionswert beträgt: A=48

Wenn dies nun ein Minimum sein soll, so muss die 2. Ableitung an der Stelle f=30 einen größeren Wert als 0 annehmen. A>0!

$A''=\frac{5400}{(x-15)^3}$

A´´=1.6; 1.6>0; Also ist die Bestätigung für ein Minimum geliefert.

Nun braucht man nur noch den Flächeninhalt A zu bestimmen.

$A=\frac{12 \cdot 30^2}{30-15}$

$A=\frac{10800}{15}$

A=720

Jetzt lässt sich sagen, dass man bei dem Wert f=30 und g=48 den kleinsten Flächenteil herausschneidet, der beträgt 720.