Integralrechnung

Lernpfad Dies ist ein Lernpfad zur Einführung der Integralrechnung. Es handelt sich dabei um eine abgewandelte Kopie des Lernpfads Integralrechnung. Es wird das Buch Elemente der Mathematik aus dem Schroedel-Veralg verwendet.

Sie können sich jederzeit die Lösungen der Aufgaben zeigen lassen, die Sie gerade bearbeiten, obwohl ich selbstverständlich erst nach eigenständiger Bearbeitung dazu rate!
Zusätzlich enthalten einige Aufgaben Tipps zur Lösung. Sie können sie benutzen, falls Sie an einem Punkt nicht weiterkommen.
Sie sollten in jedem Fall die Lösungen der Aufgaben im Heft schriftlich notieren sowie alle Definitionen, Ideen, etc. ebenfalls schriftlich übernehmen!

Einführungsbeispiel

So, jetzt geht's aber los! Zunächst etwas zum Aufwärmen, Fokussieren und Eingewöhnen:

Aufgabe 1 Ein Hund rennt im Garten am Zaun hin und her und jagt die Passanten. Das Diagramm zeigt die Geschwindigkeit $v$ des Hundes, wobei positives $v$ die Bewegung nach rechts, negatives $v$ die Bewegung nach links bedeutet. Die Geschwindigkeit $v$ wird dabei in Meter pro Sekunde (m/s), die Zeit $t$ in Sekunden (s) gemessen.

Der Hund startet zur Zeit t = 0 in der Mitte des Zauns.



Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben und begründen Sie Ihre Antworten anhand des Graphen:

a) In welchen Zeitabschnitten bewegt sich der Hund nach rechts bzw. nach links?
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Lösung Bewegung nach rechts wenn der Graph oberhalb der x-Achse liegt für   $0 \leq t \leq 8$   und   $13 \leq t \leq 16.$ Bewegung nach links wenn der Graph unterhalb der x-Achse liegt für   $9 \leq t \leq 13$   und   $16 \leq t \leq 28.$

b) Wann hat der Hund die größte Geschwindigkeit nach rechts bzw. nach links erreicht?
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Lösung Größte Geschwindigkeit nach rechts am Hochpunkt des Graphen für $t = 5.$ Größte Geschwindigkeit nach links am Tiefpunkt des Graphen für $t = 25.$

c) Wann wird der Hund schneller, wann wird er langsamer?
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Lösung Bewegung nach rechts: Hund wird schneller bei positiver Steigung des Graphen: $0 \leq t \leq 5 \ ; \ 13 \leq t \leq 15$ Hund wird langsamer bei negativer Steigung des Graphen: $5 \leq t \leq 8 \ ; \ 15 \leq t \leq 16$ Bewegung nach links: Hund wird schneller bei negativer Steigung des Graphen: $9 \leq t \leq 12 \ ; \ 16 \leq t \leq 25$ Hund wird langsamer bei positiver Steigung des Graphen: $12 \leq t \leq 13 \ ; \ 25 \leq t \leq 28$

d) Geben Sie eine Schätzung für die Breite des Grundstücks an unter der Voraussetzung, dass der Hund zum Zeitpunkt t = 8 die Grundstücksgrenze erreicht hat.
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Lösung Strecke von der Zaunmitte bis zu den beiden Rändern jeweils ca. 27m. Somit ergibt sich eine Grundstücksbreite von ca. 54m.

e) Im letzten Aufgabenteil haben Sie ausgehend von der vom Hund zurückgelegten Strecke die Grundstücksbreite geschätzt. Woran kann man die zurückgelegte Strecke in obigem Diagramm erkennen?
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Lösung Die zurückgelegte Strecke zeigt sich im Diagramm als Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse. Dabei ist die zurückgelegte Strecke nach rechts die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse oberhalb der x-Achse und die zurückgelegte Strecke nach links ist die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse unterhalb der x-Achse!

f) Befindet sich der Hund nach 28 Sekunden rechts oder links von der Mitte des Zauns?
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Lösung Da der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse oberhalb der x-Achse etwas größer ist als derjenige unterhalb der x-Achse, befindet sich der Hund rechts von der Zaunmitte.

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