ZUM-Unterrichten - Logo.png
Viele Inhalte sind umgezogen ins neue ZUM-Unterrichten.

Potenzgesetze

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

Dein Lerntagebuch

Das Lerntagebuch soll Dir helfen, Deine Lernergebnisse, Deine Lernerfolge, aber auch Deine Lernprobleme strukturiert und ausführlich zu dokumentieren!

Erstelle dazu:

1. Ein Deckblatt für Dein Lerntagebuch

2. Ein Inhaltsverzeichnis (Überschrift, Datum des Anfangs und des Endes der Bearbeitung)

3. Einen Reflexionsbogen am Ende eines jeden großen Themas

  • Besonders leicht gefallen ist mir bei diesem Thema ... , weil ...
  • Besonders schwer gefallen ist mir bei diesem Thema ... , weil ...
  • Am besten gefallen hat mir ..., weil ...
  • In diesem Bereich habe ich (dazu) gelernt ...
  • Leider ist mir immer noch ... unklar geblieben ...
  • Sonstige Kommentare zu Aufgaben, meinem Arbeitstempo, meiner Konzentration, ... bei der Bearbeitung:


Du allein bist verantwortlich!

Du allein musst für Dich entscheiden, wie ausführlich Du Dich mit den Themen auseinandersetzt!

Du allein entscheidest, wann, wo und wie Du Deine Arbeit einteilst!

Ich stehe Dir jederzeit in der Schule, aber auch via Email für Fragen und Tipps zur Verfügung!

Viel Erfolg und viel Spaß!


Potenzgesetze

Die Potenzgesetze helfen Dir um komplizerte Ausdrücke zu vereinfachen. Es gibt sogar Aufgaben, die Du ganz schnell lösen können wirst, während Dein Taschenrechner nicht mehr weiter weiß.

Du glaubst es nicht?

Probiere es doch einmal aus:

  •  \frac{3695814^7}{11087442^7}


  •  7894267905^{14} \cdot 7894267905^{25}

Potenzen

Potenz.jpg


Vorsicht bei den folgenden Potenzen:

 a^0 = 1 (gilt für alle a \in \mathbb{R} außer a=0.)

 a^1 = a (gilt für alle a \in \mathbb{R} )

Also:  5^0 = 1

 (-989)^0 = 1


Aufgabe

Stift.gif   Aufgabe


Potenzen kommen in vielen Teilgebieten der Mathematik vor! Schau Dir die folgenden Beispiele an und beschreibe, wo Du diese Potenzen schon einmal gesehen hast! Vielleicht kennst Du die Potenzen auch aus anderen Fächern!

  •  V = a^3
  •  d = 149,6 \cdot 10^6 km
  •  A = a^2
  •  f(x) = 3x^2 - 0,4x + {4 \over 7}
  •  1,66 \cdot 10^{-27} kg


Zuordnung
Ordne die Bilder und Begriffe unten den richtigen Oberbegriffen zu.

Volumen eines Würfels  V = a^3
mittlere Entfernung Erde - Sonne  d = 149,6 \cdot 10^6 km
Flächeninhalt eines Quadrats  A = a^2
quadratische Funktion  f(x) = 3x^2 - 0,4x + {4 \over 7}
atomare Maßeinheit  1,66 \cdot 10^{-27} kg

Das erste Potenzgesetz

a) Potenzen mit gleicher Basis werden miteinander multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.

 a^n \cdot a^m = a^{n+m}

Bsp.:  5^3 \cdot  5^{14} = 5^{3+14} = 5^{17}


b) Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert.

 a^n \div a^m = a^{n-m}

Bsp.:  0,3^7 \div  0,3^3 = 0,3^{7-3} = 0,3^{4}


Aufgaben

Memorize it!

Stift.gif   Aufgabe

Formuliere das Potenzgesetz so, dass Du es Dir merken kannst und finde 3 weitere Beispiele!! Du darfst reimen, singen, es in eine andere Sprache übersetzen, usw...!

Übung macht den Meister

Stift.gif   Aufgabe


Wende die Potenzgesetze an! (bloßes in den TR-Eintippen ist hier NICHT gefragt!)


Level 1)


Level 2)

Level 3)

Mathe am Telefon

Stift.gif   Aufgabe


Tim hat heute in der Schule gefehlt.

Du rufst ihn zuhause an und erklärst ihm, dass Ihr heute das erste Potenzgesetz besprochen habt.

Schreibe einen Telefondialog und beschreibe ihm alles so, dass er am Telefon mitschreiben kann und danach in der Lage ist die obigen Aufgaben zu lösen!


Gut gemacht ???

Stift.gif   Aufgabe


Um sicher zu gehen, dass er das erste Potenzgesetz wirklich verstanden hat, schreibt Tim Dir eine kurze Email mit 2 seiner Aufgaben, die er sich ausgedacht hat:


Hi!

Hier die Aufgaben. Guck doch bitte mal, ob die richtig sind!

 3^8 \div 3^4 = 3^{8 \div 4} = 3^2 = 6

 0,6^5 \cdot 0,6^6 = 0,6^{5 \cdot 6} = 0,6^{30} = 0,6 \cdot 30 = 18

Schreib mir doch bitte kurz zurück, dann kann ich mir sicher sein, dass ich es verstanden hab!


Antworte Tim! Hat er wirklich alles richtig gemacht, oder haben sich hier ganz typische Schülerfehler eingeschlichen?

Das zweite Potenzgesetz

a) Potenzen mit gleichen Exponenten werden miteinander multipliziert, indem man ihre Basen multipliziert.

 a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n

Bsp.:  (-6)^3 \cdot 0,2^3 = ((-6) \cdot 0,2)^3 = (-1,2)^3


b) Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen dividiert.

 a^n \div b^n = (a \div b)^n = \left ( \frac{a}{b} \right)^n

Bsp.:  15^8 \div 3^8 = (15 \div 3)^8 = \left ( \frac{15}{3} \right)^8 = 5^8


Aufgaben

Memorize it!

Stift.gif   Aufgabe

Formuliere das Potenzgesetz so, dass Du es Dir merken kannst und finde 3 weitere Beispiele!! Du darfst reimen, singen, es in eine andere Sprache übersetzen, usw...!

Übung macht den Meister

Stift.gif   Aufgabe


Wende die Potenzgesetze an! (bloßes in den TR-Eintippen ist hier NICHT gefragt!)

Level 1)

Level 2)


Level 3)




Eine Stunde in 4 Sms

Stift.gif   Aufgabe

Tim ist immer noch krank, aber wenn Du ehrlich bist, hast Du keine Lust mehr, ihm alles stundenlang am Telefon zu erklären. Aber er nervt Dich schon die ganze Zeit und bimmelt auf Deinem Handy an.

Damit er endlich Ruhe gibt, schreibst Du ihm eine Sms, dass Du nicht genug Guthaben und Akkulaufzeit hast, um mit ihm zu telefonieren.

Schließlich überkommt Dich doch das schlechte Gewissen und Du entscheidest Dich Dein letztes Handy-Guthaben ( € 0,70) zu opfern, und schreibst in 4 Sms à 160 Zeichen, was ihr über das zweite Potenzgesetz gelernt habt.


Schreibe Deine 4 Sms auf. Reagiere auch auf mögliche Fragen, die Tim Dir per Sms senden könnte!

Potenzgesetze andersherum

Stift.gif   Aufgabe

Erfinde mindestens 5 Aufgaben, deren Ergebnis  8^{13} (für Level 1) oder  a^3 (für Level 2 + 3) lautet. Variiere dabei den Schwierigkeitsgrad. Schreibe auch einen kleinschrittigen Lösungsweg!

Das dritte Potenzgesetz

Potenzen werden potenziert, indem man ihre Exponenten multipliziert.

 (a^n)^m = a^{n \cdot m} = a^{nm}

Bsp.:  (3,57^4)^5 = 3,57^{4 \cdot 5} = 3,57^{20}


Aufgaben

Memorize it!

Stift.gif   Aufgabe

Formuliere das Potenzgesetz so, dass Du es Dir merken kannst und finde 3 weitere Beispiele!! Du darfst reimen, singen, es in eine andere Sprache übersetzen, usw...!


Übung macht den Meister

Stift.gif   Aufgabe

Wende die Potenzgesetze an! (bloßes in den TR-Eintippen ist hier NICHT gefragt!)

Level 1)


Level 2)

Level 3)



Fehler finden, erkennen und vermeiden

Stift.gif   Aufgabe

Die Bearbeitungen sehen sehr ähnlich aus! Allerdings sind nicht alle mathematisch korrekt! Aber wo genau steckt der Fehler?

Finde die falsche Version, markiere den Fehler in Deinem Lerntagebuch und beschreibe in einem Text, worin genau der Fehler besteht so, dass der Schüler mit der falschen Lösung den Fehler NIE wieder begeht!

Suche dir aus, ob Du Aufgabe a) (Level 1) , die allgemeine Aufgabe b) (Level 2 + 3) oder beide bearbeitest!

a) Ausgangsaufgabe:

Berechne  (2^3)^4 , indem Du zunächst durch Potenzgesetze vereinfachst!

Anton:  (2^3)^4= 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} = 4096

Babsi:  (2^3)^4 = 2^{3^4} = 2^{81} = 2417851639229258349412352

Carlos:  (2^3)^4 = 2^{(3^4)} = 2^{81} = 2417851639229258349412352


b) Ausgangsaufgabe:

Berechne  [(a^{10})^3]^2 , indem Du zunächst durch Potenzgesetze vereinfachst!

Daniel:  [(a^{10})^3]^2  = a^{(10^3)^2} = a^{1000}

Ebru:  [(a^{10})^3]^2  = a^{10 \cdot 3 \cdot 2} = a^{60}

Fabio:  [(a^{10})^3]^2 =  (a^{ 10 \cdot 3 })^2 = (a^{ 30 })^2 = a^{ 30 \cdot 2} = a^{60}


Wurzeln und Potenzen

Auch Wurzelterme können als Potenzen dargestellt werden! Dabei entspricht der Grad der Wurzel, dem Nenner des Exponenten der Potenz!

 \sqrt[n]{a} = a^{1 \over n}

Bsp.:  \sqrt{81} = 81^{1 \over 2} = +- 9

 \sqrt[3]{8} = 8^{1 \over 3} = 2


 \sqrt[n]{a^m} = (a^m)^{1 \over n} = a^{ m \cdot {1 \over n}} = a^{m \over n}

Bsp.: (Achtung! Hier wird gleich gekürzt!)  \sqrt[8]{0.09^4} = (0,09^4)^{1 \over 8} = 0,09^{ 4 \cdot {1 \over 8}} = 0,09^{4 \over 8} = 0,09^{1 \over 2} = \sqrt{0,09} = 0,3



Aufgaben

Memorize it!

Stift.gif   Aufgabe

Formuliere das Potenzgesetz so, dass Du es Dir merken kannst und finde 3 weitere Beispiele!! Du darfst reimen, singen, es in eine andere Sprache übersetzen, usw...!


Übung macht den Meister!!

Stift.gif   Aufgabe

Löse die folgenden Aufgaben. Starte bei Deinem Level!

Level 1)

Level 2)

Level 3)


Teste Dein Wissen

Stift.gif   Aufgabe

Achtung, hier können mehrere Antworten richtig sein! Dokumentiere Rechenschritte und Deinen Erfolg in Deinem Lerntagebuch!

Erfinde mindestens 3 zusätzliche Multiple-Choice-Aufgaben!

Pluspunkt für eine richtige Antwort:  
Minuspunkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere den Fragen-Koeffizienten:

1. Was entspricht  \sqrt[7]{2} ?

 \sqrt[2]{7}
 2^{1 \over 7}
 7^{1 \over 2}

2. Was entspricht  \sqrt[4]{4} ?

 4^{1 \over 4}
 4^4
1

3. Was entspricht  \sqrt[2]{0,25} ?

 0,25^{1 \over 2}
 0,5
 \sqrt{0,25}
 \sqrt[4]{0,25^2}

Punkte: 0 / 0


Spicken erlaubt?!

Stift.gif   Aufgabe


Deine Sitznachbarin schaut Dich in der Mathearbeit völlig verzweifelt an und fleht um Hilfe bei der folgenden Aufgabe!

Berechne kleinschrittig und dokumentiere welches Potenzgesetz Du verwendest!

  •  \sqrt[3]{ \sqrt [2] { \sqrt [3] { \sqrt [2] {(j^{18})^2} }}} =

Von einem mathematisch sehr zuverlässigen Nachbarn hat sie schon das Ergebnis abgeschrieben, weiß also, dass das Ergebnis j sein soll! Aber der Mathelehrer möchte eine Erklärung und einen Rechenweg sehen...! Den kann sie allerdings bei ihrem Nachbarn nicht entziffern! Schreibe den Rechenweg so auf einen kleinen Zettel, dass Du ihn unbemerkt zu Deiner Nachbarin herüber "schmuggeln" kannst, auf dem Du den Rechenweg, wie gefordert, kleinschrittig dokumentierst!


negative Exponenten

Ist der Exponent einer Potenz negativ, so kann die Potenz mithilfe eines Bruchs mit positivem Exponenten geschrieben werden!

 a^{-1} = {1 \over a}

Bsp.:  7^{-1} = {1 \over 7}


 a^{-n} = {1 \over a^{n}}

Bsp.:  6^{-4} = {1 \over 6^{4}}


Aufgaben

Memorize it!

Stift.gif   Aufgabe

Formuliere das Potenzgesetz so, dass Du es Dir merken kannst und finde 3 weitere Beispiele!! Du darfst reimen, singen, es in eine andere Sprache übersetzen, usw...!


Übung macht den Meister

Stift.gif   Aufgabe

Level 1)

Level 2)

Level 3)

Viele Wege führen nach Rom

Stift.gif   Aufgabe


Tim und Susanne werden im Unterricht dazu aufgefordert ihre Hausaufgaben miteinander zu vergleichen!

Hä??? Die hat aber ganz anders gerechnet als ich! Aber das Ergebnis stimmt trotzdem! ruft Tim!

Schau Dir die Bearbeitungen an! Sind beide richtig? Wo liegt der Unterschied, oder womöglich der Fehler?

Tim:

 { a \cdot x^{-7} \cdot b^2 \over \sqrt[3]{a} \cdot b^{-5} \cdot x^{-4}} = 

{a^1 \over a^{\frac{1}{3}}} \cdot {x^{-7} \over x^{-4}} \cdot {b^2 \over b^{-5}} =

{a^1 \over a^{\frac{1}{3}}} \cdot {x^{-7} \over x^{-4}} \cdot {b^2 \over b^{-5}} =

a^1 \cdot a^{-{1 \over 3}} \cdot x^{-7} \cdot x^4 \cdot b^2 \cdot b^5 =

a^{1+ (-{1 \over 3})} \cdot x^{-7 +4} \cdot b^{2+5} = 

a^{2 \over 3} \cdot x^{-3} \cdot b^7 = 

{\sqrt[3]{a^2} \cdot b^7 \over x^3}


Susanne:

 { a \cdot x^{-7} \cdot b^2 \over \sqrt[3]{a} \cdot b^{-5} \cdot x^{-4}} = 

{a^1 \over a^{\frac{1}{3}}} \cdot {x^{-7} \over x^{-4}} \cdot {b^2 \over b^{-5}} =

({a^1 \div a^{\frac{1}{3}}}) \cdot ({x^{-7} \div x^{-4}}) \cdot ({b^2 \div b^{-5}}) =

(a^{1 - {\frac{1}{3}}}) \cdot ({x^{-7-(-4)}}) \cdot ({b^{2-(-5)}}) =

a^{2 \over 3} \cdot  x^{-3} \cdot b^7 =

{\sqrt[3]{a^2} \cdot b^7 \over x^3}


Welche der beiden Lösungsweisen sagt Dir am meisten zu? Begründe Deine Entscheidung im Lerntagebuch und löse dann die folgende Aufgabe! Beschreibe genau, wie Du vorgehst!



{\sqrt[7]{k} \cdot c^{11} \cdot e^{-14} \over e^{-7} \cdot c^2 \cdot \sqrt[14]{k} \cdot e^{2}} =

Jetzt kommt's dicke! - Teste Dich und Dein Wissen

Vokabeltest & Lückentext

Stift.gif   Aufgabe


Richtig oder Falsch??

Bearbeite das Quiz und berichtige die Falsch-Aussagen in Dein Lerntagebuch!

Pluspunkt für eine richtige Antwort:  
Minuspunkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere den Fragen-Koeffizienten:

1. In  a^7 ist "a" die Potenz!

Richtig
Falsch

2. In  9^{23} ist "23" die Basis!

Falsch
Richtig

3. In  f^z ist "z" der Exponent!

Falsch
Richtig

4.  h^{0,7} ist das gleiche wie  \sqrt[7]{h}

Richtig
Falsch

5. Die Zahl "unter der Wurzel" nennt man Radikand

Falsch
Richtig

6. In  \sqrt[5]{v} ist "v" Radikand, wenn man die Wurzel als Potenz schreibt,dann ist "v" Basis!

Richtig
Falsch

Punkte: 0 / 0


Pluspunkt für eine richtige Antwort:  
Minuspunkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere den Fragen-Koeffizienten:

1. Ergänze die fehlenden Fachbegriffe im Lückentext!

Eine Potenz besteht aus einer Grundzahl, der und einer Hochzahl, dem .
Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst wird (  a^3 = a \cdot a \cdot a ).
Die helfen mir, mit zu rechnen, wenn sie miteinander (  a^n \cdot a^m bzw.  a^n \cdot b^n ) oder (  a^n \div a^m bzw.  a^n \div b^n ) sollen.

Punkte: 0 / 0


Quiz

Zuordnung
Ordne die Rechnungen den richtigen Ergebnissen zu.

 2^7  2^5 \cdot 2^2  2^3 \cdot 2^4  2^8 \div 2
 2^{10}  2^5 \cdot 2^5  2^5 \cdot 2^2 \cdot 2^3  2^{12} \div 2^2  (2^5)^2  (2^2)^5
 2^9  2^3 \cdot 2^6  2^4 \cdot 2^5  (2^3)^3

Quiz

Stift.gif   Aufgabe


Achtung, hier können mehrere Antworten richtig sein!

Pluspunkt für eine richtige Antwort:  
Minuspunkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere den Fragen-Koeffizienten:

1. Was entspricht  3^6  ?

 6^3
 3^{47} \div 3^{41}
 = 3^{47-41} = 3^6
 (3^2)^3
 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6
 3^2 \cdot 3^3
 3^{2+3} = 3^5
 \sqrt[12]{3^2}
 =  (3^2)^{1 \over 12} = 3^{2 \cdot {1 \over 12}} = 3^{2 \over 12} = 3^{1 \over 6} = \sqrt[6]{3}
 \sqrt{3^{12}}
 =  (3^12)^{1 \over 2} = 3^{12 \cdot {1 \over 2}} = 3^{12 \over 2} = 3^{6 \over 1} = 3^6

2. Was entspricht 1?

 5^6 \div 5^9
1. Potenzgesetz
 5^6 \div 5^6
1. Potenzgesetz
 {1 \over 4^2} \cdot 4^2
 \sqrt[19]{1^{19}}
 0,3^6 \div 0,3^5
 3^{-8} \cdot 3^7
1. Potenzgesetz

Punkte: 0 / 0


Keine Chance dem Taschenrechner!

Stift.gif   Aufgabe


Nun, da Du die Potenzgesetze kennst:

Berechne die Aufgaben, die Deinen Taschenrechner so überfordern, dass er nur noch ERROR anzeigen kann, mit Hilfe der Potenzgesetze! Du findest sie ganz am Anfang.

Erfinde 2 weitere "unlösbare Taschenrechner-Aufgaben" und äußere in einem kleinen Text Deine Vermutungen, warum Dein Taschenrechner diese Aufgaben nicht lösen kann, Du aber schon!


Berechne und schreibe mit positivem Exponenten

Stift.gif   Aufgabe


Bearbeite die folgenden Aufgaben und schreibe sie in Dein Lerntagebuch!

  •  x^5 \cdot y^7 \cdot z^{-6}x^3y^{-7}
  •  (a^4 \div b^4) \div {b^5 \over a^5}
  • Erfinde je eine (komplexe) Aufgabe, bei der man mindestens zwei Potenzgesetze anwenden muss, und als Ergebnis

a)  (grieff)^3 hat.

b)  g \cdot r \cdot i \cdot e \cdot f^2 hat.

c)  {f^{18} \over e^{-7} \cdot \sqrt[3] {r}} hat.

d) Deinen Namen hat!

  • Erfinde noch mindestens drei weitere Aufgaben, bei denen man zwei, drei oder sogar alle Potenzgesetze miteinander anwenden muss! Beschreibe bei einer Aufgabe, wie Du vorgegangen bist!



Kreativ - Du hast die Wahl

Stift.gif   Aufgabe


Du darfst nun wählen:

a) Schreibe einen Fachaufsatz über Potenzen und ihre Gesetze für ein mathematisches Magazin. Formuliere präzise, verständlich und klar, indem Du Fachbegriffe und Beispiele verwendest!

ODER

b) Sei kreativ und schreibe eine Geschichte über den Planeten Potenzia III auf dem alle Bewohner Potenzen sind. Lass die Potenzen tolle Dinge erleben und baue heimlich das ein oder andere Potenzgesetz mit ein!



Last but not least: What's your favourite?

Stift.gif   Aufgabe


Welches Potenzgesetz ist Dein "Lieblingsgesetz"? Welches fällt Dir am leichtesten? Welches findest Du schwer? Begründe kurz in Deinem Lerntagebuch!