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Varignon Parallelogramm

Dieser Artikel ist ein Beitrag zum Didaktiseminar „MMS/Computer im MU der Sekundarstufe II“.

→ MMS/Computer_im_MU_der_Sekundarstufe_II

Ziel ist es, den Schülern zu helfen, einen mathematischen Beweis für den Satz von Varignon zu entwickeln, indem sie die Aussage geometrisch darstellen und bereits während der Konstruktion intuitiv die daran gebundenen Gesetzmäßigkeiten erfahren. Die Möglichkeit, mittels Softwareeinsatz laufende Übergänge zu sehen, ermöglicht es, ein Verständnis für das geometrische verhalten zu entwickeln und daraus Überlegungen anzustellen, die den Beweis schaffen.

Ein großer Vorteil besteht in dynamischer 3D-Software: während ein beliebiges Viereck (ohne Koordinatenangabe – also nur als Bild) im Raum noch keine eindeutige Aussage über seine Lage und Seitenverhältnisse hergibt, versteht das Gehirn, sobald das Gebilde im Raum gedreht wird, welche Lagebeziehungen bestehen, weil es die vielen Bilder des „Films“ zu einer Gesamtinformation verschmelzt und eine räumliche Vorstellung des Körpers erzeugt, die auf einer zweidimensionalen 3D-Zeichnung nicht – oder zumindest nicht unmißverständlich entsteht.

Möglicher Einsatz als Unterrichtsaufgabe:

  • Geometrische Darstellung des Satzes von Varignon.
  • gemeinsames Auffinden eines Beweises (z.B. geometrisch, vektoriell, physikalisch)
  • Geometrische Darstellung des Beweises
  • Besprechung der Tragweite der Beweise: Kraft eines Beweises, historische Entwicklung etc.


Satz zum Varignon Parallelogramm

"Jedes Viereck bildet mit seinen Seitenmitten ein Parallelogramm."


TH varignon paralleogramm.png Geogebra.svg Datei



Geometrischer Beweis:

Das Teilen der Strecken AD und CD zu jeweils gleichen Verhältnissen (hier 1/1) durch die Punkte I und L, erzeugt gemäß Strahlensatz eine zur Diagonalen AB parallel verlaufenden Strecke IL. Dasselbe gilt für die Strecke JK, die wiederum parallel zu IL verlaufen muss. Analog erhält man die Strecken IJ und KL. Da die Strecken durch Halbieren der Viereckseiten entstanden sind, bilden sie ebenfalls ein geschlossenes Viereck, das aufgrund der gegenüberliegend parallelen Seiten stets ein Parallelogramm bildet.

(Ohne den Strahlensatz bewiesen zu haben, kann man den Beweis ebenfalls führen. Betrachte das Dreieck ACD und die Höhe m. Durch Parallelverschieben der Geraden durch AC, auf halbe Höhe von m, erhält man die Schnittpunkte I und L, welche aufgrund der konstanten Steigungsverhältnisse der Strecken AD und CD dieselben halbieren. Damit ist der Beweis wie oben fortzuführen.)


TH Varignon Parallelogramm geometrischerbeweis.png Geogebra.svg Datei


Vektorieller Beweis:

Fasst man die Seiten des inneren Vierecks als Vektoren auf, so ist zu zeigen, dass zwei gegenüberliegende gleich gerichtet und gleich lang sind.

Für die Ortsvektoren der Eckpunkte des inneren Vierecks erbibt sich:

\vec{I}=\frac{\vec{A}+\vec{D}}{2},\quad\vec{J}=\frac{\vec{A}+\vec{B}}{2},\quad\vec{K}=\frac{\vec{B}+\vec{C}}{2},\quad\vec{L}=\frac{\vec{C}+\vec{D}}{2}.

Daraus ergeben sich die dazugehörigen Seiten:

\vec{L}-\vec{I}=\frac{\vec{A}+\vec{B}}{2}-\frac{\vec{A}+\vec{D}}{2}=\frac{\vec{B}-\vec{D}}{2},\quad\vec{K}-\vec{J}=\frac{\vec{B}+\vec{C}}{2}-\frac{\vec{C}+\vec{D}}{2}=\frac{\vec{B}-\vec{D}}{2}.

Es ist also die Seite \vec{L}-\vec{I}=\vec{K}-\vec{J}. Demnach ist IJKL ein Parallelogramm.


Beweis per Schwerpunktsatz (physikalische Deutung):

Gewichtet man jede Ecke eines Vierecks gleich (z.B. ein Kg Punktmasse), so liegt der Schwerpunkt des Systems AD mittig zwischen A und D. Der für das System BC mittig zwischen B und C (rotes System). Die so gewonnenen Schwerpunkte haben den für das gesamte System ABCD gemeinsamen Schwerpunkt mittig auf ihrer Verbingungsstrecke. Selbiges muss für das blaue System gelten, mit den Schwerpunkten für AB und CD. Die Verbindungsgeraden der Schwerpunkte AD/BC und AB/CD sind die Diagonalen des inneren Vierecks Da sie sich halbieren, ist das Viereck punktsymmetrisch, also ein Parallelogramm.[1]


TH varignon paralleogramm Schwerpunktbeweis.png Geogebra.svg Datei


Dieses Phänomen tritt nicht nur bei ebenen Vierecken auf, sondern ganz allgemein im Raum.

Der Beweis dafür liegt bereits vor, denn weder beim Vektoriellen, noch beim Geometrischen Beweis, geht an irgendeiner Stelle die Zweidimensionalität ein.

Bei der Vektorenrechnung ist das sofort sichtbar.

Beim Geometrischen Beweis ist das auch schnell einzusehen, sobald man ihn (z.B. unterstützt durch eine dynamische 3-D-Software, oder noch schneller per Hand gezeichnet) vor Augen hat und sieht, dass die parallele Verschiebung im Raum nichts an der Parallelität ändert. Das Viereck lässt sich auch im Raum in je zwei ebene Dreiecke teilen. Verbindet man die gegenüberliegenden Ecken des äußeren Vierecks, so erhält man zwei Strecken, zu denen die gegenüberliegenden Seiten des inneren Vierecks parallel verlaufen: ein Parallelogramm bilden.

Da beim Schwerpunktbeweis das innere Viereck durch nur zwei Verbindungsstrecken AB/CD und AD/BC definiert wird und diese aufgrund des selben Gesamtschwerpunktes einen Schnittpunkt besitzen, der die Geraden zusätzlich halbiert, kann das Viereck nur ineiner Ebene liegen und punktsymmetrisch sein, was es zu einem Parallelogramm macht.

Der Beweis ist auch mittels Kreuzprodukt zu führen. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist der Normalermalenvektor, der das von den Vektoren aufgespannte Parallelogramm in seiner Größe (= Länge des Vektors) und dessen Lage im Raum (orthogonal zum Vektor) beschreibt. Sind die Normalenvektoren \vec{pq}\mathrm{x}\vec{ps,}\,\vec{ps}\mathrm{x}\vec{pr\,}und\,\vec{pq}\mathrm{x}\vec{pr} gleich, so können die drei Parallelogramme nur in einer Ebene liegen, gleich groß sein und aufgrund der halbierenden Eigenschaft der Parallelogrammdiagonalen nur ein Parallelogramm ergeben. Der Beweis ist unübersichtlich, lang und bietet keine weiteren Erkenntnisse, so dass er für den Unterricht unangemessen ist. Interessant ist daran jedoch, dass er eine weitere Herangehensweise bietet, die mir vor Bearbeiten der einfachen Beweisvariante intuitiv als notwendige Forderung an die Figur in den Sinn kam, was mittels dynamischer Geometriesoftware auch leicht zu konstruieren und überprüfen war (was natürlich noch keinen Beweis darstellt).


TH varignon paralleogramm 3D.png

Zum Lehrplan der Sek II

Gemäß den Richtlinien für die gymnasiale Sek II in NRW soll der Mathematikunterricht ,,als Mittel zur Aufklärung komplexer Sachverhalte erfahren werden und dabei die ,,kulturelle und zivilisatorische Bedeutung der Mathematik aufzeigen. Die Abstraktion eines Physikalilschen Kräfteproblems auf ein mathematisches Modell, das seine Berechnung ermöglicht, erfüllt sowohl die Forderung nach der Elementarsierung komplexer Umstände, als auch nach der kulturellen Einindung, wenn man bedenkt, dass der Beweis historisch gewachsen von der Beschreibung über das mathematische Modell zur Schwerpunktsanalyse, oder die geometrische Beschreibung mittels Strahlensatz, bis hin zur Vektorgeometrie im euklidischen Raum geführt werden kann. Die Vektorrechnung, die ja erst sehr spät in der Mathematikgeschichte entdeckt wurde und immensen Einfluss auf die Berechnungsmöglichkeiten in den Wissenschaften hatte, öffnete damit ein Tor zur Mathematik und Wissenschaft, die unsere Zivilisation ganz gründlich beeinflusst.

Das Ministerium für Schule (NRW) fasst die Forderungen zum gymnasialen Unterricht in einigen Stickhworten zusammen. Der Beweis zum Varignon-Parallelogramm im Unterricht vollzogen, entspricht dem in den Punkten:

  • Aneignung grundlegender
  • Modelle der Geometrie/Linearen Algebra,
  • exemplarische Einblicke in historische Genese der Mathematik,
  • Verbindungen mathematischer- und außermathematischer Kultur herstellen,
  • Verstehen der Elementarisierung komplexer Sachverhalte,
  • heuristisches Arbeiten durch die Dynamisierung per Software.

Im folgenden wird durch die Bearbeitung dieses Themas insbesondere auf zwei der Zentralen Ideen des Mathematikunterrichts eingegangen. Die sieben Zentralen Ideen des Mathematikunterrichts zeichnen sich durch die Eigenschaft aus, zweifache Funktion zu erfüllen, nämlich sowohl das Ineinandergreifen der ,,Disziplinen der Mathematik sichtbar zu machen, als auch die Verbindung zu außermathematischen Disziplinen. Erst durch letztere verliert die Mathematik die ihr oft anhängende Vorstellung unnötig viel Selbstzweck zu besitzen. Der Schüler begreift sie dann eher als Instrument, sowohl zur Beschreibung bestehender Probleme, als auch zu Entwicklung neuer Probleme, oder besser, neuer Möglichkeiten.


Idee des räumliche Strukturierens

Deutet man den mathematischen Satz physikalisch, so ist es notwendig, Begriffe wie Masse, Ausdehnung , Meßbarkeit zu idealisieren und mit Begriffen wie Strecke, Punkt und Gewichtung zu verbinden. Die Lage der Massen, oder die Ausrichtung von Kräften kann allgemein zueinander in Beziehung gesetzt werden, womit ein räumliches Vorstellungsvermögen gefördert wird. Dieses Vorstellungsvermögen durch eine euklidische Geometrie mit Vektoren zu erweitern, ist auch Ziel des Mathematikunterrichts und zeigt auf, dass es durchaus noch weitere Beschreibungen des Raum geben kann - und gibt. Demenstprechend wird durch den geometrischen und den vektoriellen Beweis eine gewisse Äquivalenz zwischen mathematischen Verfahren gezeigt, was zur grundlegenden Einsicht führt, dass Mathematik als Instrument dient, dessen man sich bedienen kann: man selbst legt den Rahmen, z.B. die Art des Koordinatensystems, den Gang des Beweises etc. fest, um ans Ziel zu gelangen..., anstatt als "Knecht" vorgegebener Kalküle zu arbeiten, wie es einem Schüler leicht vorkommen kann.


Idee des mathematischen Modellierens

Diese Idee ist eng mit der des Strukturierens verknüpft. Die Statik wurde von Varignon in bemerkenswerter Weise durch die Modellierung statischer Gegebenheiten in ein mathematisches Modell vorangetrieben. Der Satz ist ein Beispiel aus dem Bereich des Modellierens, von gegebenen Kräften, Massen und deren Bewegungen. Auf diese Weise wird die geforderte Beziehung zwischen Phänomenen der Welt und der Mathematik als Übersetzung derselben geleistet. ,,Um einen Zugang zur Idee des mathematischen Modellierens zu gewinnen, ist es notwendig, dass man mathematische Modelle kennen lernt. Der einfache, vor der Beweisführung erstaunliche Satz, vermittelt dem Schüler den Vorgang und auch die Reichweite mathematischer Modelle. Den Beweis aus dem zweidimensionalen ins dreidimensionale zu heben, scheint anfangs kompliziert, solange man den allgemeingültigen Charakter des Strahlensatzes, oder auch der Vektorrechnung nicht sieht. Ist die Allgemeingültigkeit erkannt, so wird die Möglichkeit, den Satz allgemein, in n-dimensionalen Räumen mit nicht kartesischen Koordinatensystemen zu nutzen, klarer und die große Reichweite der Mathematik aufgezeigt.


Idee des funktionalen Zusammenhangs

Diese Idee tritt hier nicht sehr stark in den Vordegrund. Dennoch handelt es sich bei der Konstrukion eines Parrallelogramms durch ein beliegibes Viereck natürlich um eine Abbildung. Ein definiertes Viereck bildet mit seinen Seitenmitten stets genau ein Parallelogramm ab. Umgekehrt ist das interessanterweise nicht der Fall, denn ein Parallelogramm mit seinen Eckpunkten als Seitenmitten eines Vierecks besitzt unendlich viele dazugehörige Vierecke. Der Begriff des funktionalen Zusammenhangs wird durch den Beweis auf diese Weise ebenfalls gestreift.


Geschichtliches

Werdegang Varignons

Pierre Varignon wurde 1654 in Frankreich geboren und war Zeitgenosse von Newton, Leipnitz, Rolle, Bernoulli, L'Hospital und anderen Größen in der Mathematik. Er wurde in eine ärmliche Arbeiterfamilie geboren. Sein Vater verdiente als Maurer so wenig, das er Pierre finanzielle Unterstützung nicht zukommen lassen konnte. Offensichtlich undankbar in dieser Situation klagt er darüber, von seiner Familie nichts mitbekommen zu haben, als nur einen Sinn für Technik. Dieser aber, sollte sich später als eine Quelle seines Lebenswerks herausstellen. Nach einer theologischen Laufbahn als Priester stieß er zufällig auf Euklid's „Elemente“, worin er interessiert zu lesen begann. Diese mathematische Einführung brachte ihn zu Descartes' „Geometrié“, woraufhin er sich dadurch angetan der Wissenschaft widmete. Varignon zog 1686 mit einem Freund nach Paris, wo er den Kontakt zu den ansässigen Wissenschaftlern suchte. Bereits ein Jahr später veröffentlichte er eine Projektarbeit zur Mechanik, bei der er sich mit einer neuartigen Verbindung von Mechanik und Leibnizscher Infinitesimalrechnung auseinandersetzte. An der Akademie der Wissenschaften wurde er hoch angesehen und erhielt einen Lehrstuhl. Er war stets ein Verfechter der Leibnitz'schen infinitesimalrechnung und begriff früh ihren immensen Wert für die Wissenschaft. Er hat zwar selbst keine bahnbrechenden mathematischen Erkenntnisse hervorgebracht, dennoch gehörte er zu den wichtigen Mathematikern jener Zeit. Er entwickelte die analytische Dynamik mithilfe der leibnitzschen Diffentialrechnung, die er auf Newtons Mechanik in Inertialsystemen anwandte. Während Größen wie Huygens, die Newton zwar sehr schätzten, die physikalische Theorie der Fernwirkung von Kräften ablehnten, hielt er sich von Zweifeln unbefangen und drang so immer weiter in die Materie hinein. Mit Rolle lieferte er sich brieflich über mehrere Jahre hinweg einen energischen Schlagabtausch über die Infinitesimalrechnung, der erst auf Geheiß der Akademie hin ein Ende fand. Er leistete viel auf dem Gebiet der Mechanik und Statik und veröffentlichte 1724 seine „Neue Mechanik“, die für die folgenden 75 Jahre wegweisend wurde.[2]


Geometrie

Zur Zeit Varignons existierte der Vektorbegriff noch nicht. Varignon spielte damals eine wichtige Rolle in der Entdeckung der Komposition von Kräften. Er entwickelt den allgemeinen Begriff des Kräfteparallelogramms und zeigt die völlige Kompensation von Kräften, deren „Vektorsumme“ Null ergibt. Dabei entwickelt er ein Gerät, das es ermöglicht, für n auftretende Kräfte den gemeinsamen Gleichgewichtspunkt aufzufinden. In seiner Arbeit zu Kräften in der Mechanik und Statik fandd er die Gesetzmäßigkeit der allgemeinen Parallelogrammbildung im Inneren es beliebigen Vierecks: Die Mittelpunkte der nebeneinanderliegenden Eckpunkte eines Vierecks, bilden stets ein Parallelogramm.

Zum Beweis

„Am klarsten treten die Analogien zwischen dem anschaulich Vorstellbaren und dem Höherdimensionalen bei linearen Begriffen und Aufgaben zutage. Daher ist der tatsächliche Übergang zur n-dimensionalen Geometrie aufs engste mit der Entwicklung der linearen Algebra und der Entstehung des Vektorbegriffs verbunden.“ Es scheint mir daher angebracht zu sein, den kurzen Beweis in der Schule sowohl vektoriell, als auch physikalisch (anhand des mathematischen Schwerpunktsatzes) durchzuführen. Das kann anschaulich mithilfe von Geometriesoftware geleistet werden. Die Reichweite dieses Satzes wird durch dynamische Geometriesoftware besonders deutlich, weil nach Anfertigung der Konstruktion jede beliebige Form (auch verschränkte Vierecke) im Handumdrehen erzeugt werden und auf ihre Auswirkung hin überprüft werden kann. Das liefert zwar noch nicht den Beweis, schafft aber ein tiefgehendes Verständnis für das Verhalten eines Vierecks im Raum und öffnet so den Weg zur Beweissuche.[3]


[1] School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland, O'Connor und Robertson July 2007

[2] Scriba, Christoph J.; Schreiber, Peter (2010): 5000 Jahre Geometrie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Seite 432

[3] Wittmann, Erich Ch. Elementargeometrie und Wirklichkeit

http://www.uni-flensburg.de/mathe/zero/veranst/elemgeom/varignon/varignon.html#2.1
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