Übungen mit Ableitungen II - Kurvendiskussion

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Im ersten Lernpfad haben wir die Zusammenhänge zwischen Funktionen und ihren Ableitungsfunktionen betrachtet. Mit Hilfe dieser Erkenntnisse und weiterer bisher behandelter Techniken wollen wir uns nun systematisch die Eigenschaften einfacher Funktionen bzw. ihrer Graphen veranschaulichen.


Eine Zusammenfassung der zu betrachtenden Aspekte findest Du unter anderen an den folgenden Stellen:


Grundsätzliches zu ganzrationalen Funktionen steht bei:


Aufgaben

Alle Arbeitsergebnisse sind schriftlich zu dokumentieren!


Nuvola Stift.png   Aufgabe 1


Eine kleine Vorübung, die das graphische Ableiten in schöner Weise wiederholt, kannst Du hier aufrufen:


Nuvola Stift.png   Aufgabe 2

Grenzverhalten / Verhalten am Rande

Betrachten wir die ganzrationale Funktion f(x)=x^3-x^2-8x+12.

Ihr Definitionsbereich sind für uns die reellen Zahlen \R. Wie verhält sich diese Funktion, wenn sie sich den Rändern dieses Definitionsbereiches nähert? Bestimme die beiden Grenzwerte \lim_{x\to\pm\infty}f(x).

Tipp: Die höchste Potenz ausklammern (f(x)=x^3\cdot(1-\frac{1}{x}...)), dann den Grenzprozess durchführen. Erinnere dich an das erste Halbjahr!

f(x)=x^3\cdot(1-\frac{1}{x}-\frac{8}{x^2}+\frac{12}{x^3})

Der Grenzwert des Klammerterms ist in beiden Fällen 1.

Der (uneigentliche) Grenzwert für x\to\infty ist somit \infty. Der (uneigentliche) Grenzwert für x\to -\infty ist -\infty.


Nuvola Stift.png   Aufgabe 3

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Der Schnittpunkt des Graphen der gegebenen Funktion f mit der y-Achse ist leicht zu finden. Wie geht das noch?

Tipp: Den x-Wert 0 einsetzen!

Der zugehörige y-Wert ist 12.


Schnittpunkte mit der x-Achse bzw. sogenannte "Nullstellen" zu bestimmen ist etwas umständlicher. Beachte, dass man die vorliegende Funktion auch folgendermaßen schreiben kann und berechne alle Nullstellen.

f(x)=(x+3)\cdot(x^2-4x+4).

Tipp: Setze den alternativen Funktionsterm "gleich 0" und beachte, dass ein Produkt zweier Faktoren zu null wird, wenn der eine oder der andere Faktor gleich 0 ist. Wann ist dies der Fall?

Die Nullstellen der Funktion sind -3 und 2.


Nuvola Stift.png   Aufgabe 4

"Besondere Punkte": Punkte mit waagerechter Tangente, Extrema

Finde alle Punkte des Graphen, die eine waagerechte Tangente aufweisen.

Maehnrot.jpg
Merke:

Tipp: Ermittle die Ableitungsfunktion und setze diese gleich 0.

f'(x)=3x^2-2x-8. Die Nullstellen dieser quadratischen Funktion sind -\frac{4}{3} und 2. Durch Einsetzen in f findest du die passenden y-Werte \frac{500}{27}=18\frac{14}{27} und 0.


Nuvola Stift.png   Aufgabe 5

Versuch einer Skizze

Erstelle aufgrund der bisher ermittelten Informationen eine Skizze sowohl der Funktion f als auch ihrer Ableitungsfunktion.


Nuvola Stift.png   Aufgabe 6

Zweites Beispiel

Untersuche in gleicher Weise die Funktion g(x)=x^3+3x^2+3x+1. Beachte hierbei: g(x)=(x+1)\cdot(x^2+2x+1).

Der (uneigentliche) Grenzwert für x\to\infty ist \infty. Der (uneigentliche) Grenzwert für x\to -\infty ist -\infty.

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0\mid1). Die einzige Nullstelle ist x=-1.

Der einzige Punkt des Graphen mit waagerechter Tangente ist der berechnete Schnittpunkt mit der x-Achse (-1\mid0).


Nuvola Stift.png   Aufgabe 7

Waagerechte Tangente gleich lokales Extremum?

Vergleiche die Graphen der beiden Funktionen f und g hinsichtlich der Punkte mit waagerechter Tangente und beschreibe die Unterschiede. Überlege: Welche Hinweise in dieser Frage kann man dem Verlauf der Ableitungsfunktion an den maßgeblichen Stellen entnehmen? Oder anders gefragt: Das Verhalten der Funktionen ist unterschiedlich, inwiefern unterscheiden sich auch die Verläufe der Ableitungsfunktionen?

Maehnrot.jpg
Merke:

Die ermittelten Punkte mit waagerechter Tangente bei Funktion f sind sogenannte lokale Extrema, d.h. in ihrer unmittelbaren "Nachbarschaft" haben diese Punkte den größten y-Wert (lokales Maximum bei H) bzw. den kleinsten (lokales Minimum bei T). Die Ableitungsfunktion weist an den entsprechenden Stellen einen sogenannten "Nulldurchgang" auf. Sind ihre Werte links von der Nullstelle positiv und rechts von der Nullstelle negativ, so steigt die Funktion selbst zum Extrempunkt an und fällt danach wieder ab. Wir erkennen ein lokales Maximum (so ist es bei Punkt H wie "Hochpunkt"). Sind ihre Werte links von der Nullstelle negativ und rechts von der Nullstelle positiv, so fällt die Funktion selbst zum Extrempunkt hin und steigt danach wieder an. Wir erkennen ein lokales Minimum (so ist es bei Punkt T wie "Tiefpunkt"). Bei der zweiten Funktion g ist dies anders. Der Punkt S mit waagerechter Tangente ist offensichtlich kein Extrempunkt. Entsprechend weist die Ableitungsfunktion an entsprechender Stelle auch keinen Nulldurchgang auf. Die von uns betrachtete Nullstelle einmal ausgenommen sind alle Ableitungswerte echt positiv. Die Funktion steigt momoton und besitzt keine lokalen Extrema. Den charakteristischen Punkt S mit seiner waagerechten Tangente nennt man einen Sattelpunkt.


Nuvola Stift.png   Aufgabe 8

Exkurs: Nullstellen finden

Sicher ist Dir aufgefallen, dass viele der bisherigen Fragestellungen zum immer gleichen rechnerischen Problem führen: Welches sind die Lösungen der Gleichung Term = 0?

Bei linearen Termen löst man dieses Problem seit spätestens der 7. Klasse durch Äquivalenzumformungen:

4x-3=0 \Leftrightarrow 4x=3 \Leftrightarrow x=\frac{3}{4}.


Bei quadratischen Termen hilft einem seit der 9. Klasse die abc-Formel (alternativ die pq-Formel):


ax^2+bx+c=0

x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}


Für Gleichungen höheren Grades werden jedoch keine Lösungsformeln bereitgestellt. Was also tun?

Polynome lassen sich mit Hilfe ihrer Nullstellen "knacken", das Verfahren nennt sich Polynomdivision. Beachte: An dieser Stelle soll nur das konkrete Vorgehen vorgestellt werden!


Beispiel: Von der Gleichung x^3-x^2-8x+12=0 wissen wir, dass eine ihrer Lösungen die Zahl -3 ist (durch Raten, Geogebra, GTR...). Somit können wir den Ausgangsterm mit Hilfe des Terms (x-(-3))=(x+3) faktorisieren:


x^3-x^2-8x+12=(x+3)\cdot(Restterm)


Dieser "Restterm" ist nur noch quadratisch. Seine Nullstellen können bestimmt werden. Und die Menge der Nullstellen aller Faktoren liefert uns die Menge der Nullstellen des Produkt- bzw. Ausgangsterms (vgl. oben Aufgabe 3).

Nun also dividieren wir schriftlich (fast) wie in der Grundschule:


(x^3-x^2-8x+12):(x+3)=x^2-4x+4

x^3+3x^2 (Produkt aus x2 und (x+3))

-4x^2-8x+12 (Differenz der obigen Terme)
-4x^2-12x (Produkt aus -4x und (x+3))
4x+12 (Differenz der obigen Terme etc.)
4x+12
0


Die Lösungen der Gleichung x^3-x^2-8x+12=0 sind somit -3 (geraten oder anderweitig ermittelt) und 2 (ermittelt durch die Gleichung Restterm = 0).


Hand.gif   Übung

Löse die folgenden Gleichungen.

a) x^3-6,5x^2-3,5x=0

b) x^3+7x^2+7x-15=0

zu a): Eine Lösung der Gleichung ist offensichtlich 0. Eine Polynomdivision, wie sie oben beschrieben wurde, ist in diesem Fall überflüssig: Teilen durch (x - 0) entspricht einfach dem Ausklammern von x.

x^3-6,5x^2-3,5x=x\cdot(x^2-6,5x-3,5)

Lösungen der Gleichung x^2-6,5x-3,5=0 sind die Zahlen 7 und -\frac{1}{2}. Die gesuchte Lösungsmenge ist also \mathbb{L}=\{-\frac{1}{2};0;7\}.

zu b): Die Lösung x = 1 erhält man durch Ausprobieren. Polynomdivision: (x^3+7x^2+7x-15):(x-1)=x^2+8x+15. Hieraus ergibt sich insgesamt: \mathbb{L}=\{-5;-3;1\}.


Nuvola Stift.png   Aufgabe 9

Extremum oder Sattelpunkt? Die Steigung der Steigung

Zurück zur Baustelle aus Aufgabe 7: Wie kann ich auf einfache Weise entscheiden, ob die Ableitungsfunktion bei einer ihrer Nullstellen tatsächlich das Vorzeichen wechselt (lokales Extremum) oder ob ihr Graph die x-Achse nur kurz berührt, ansonsten aber oberhalb bzw. unterhalb dieser Achse verbleibt (Sattelpunkt)? Auch Ableitungsfunktionen f' besitzen Ableitungsfunktionen, die ihre Steigung angeben, gewissermaßen die "Steigung der Steigung". Diese "zweiten" Ableitungen bezeichnen wir mit f''.

Betrachte die Graphen der zuvor analysierten Beispielfunktionen f und g sowie ihrer Ableitungen und fülle die folgende Tabelle aus, indem du die fehlenden Werte rechnerisch bestimmst:


Funktion
Nullstelle der Ableitung
„Punkt-Kategorie“
Wert der zweiten Ableitung an dieser Stelle
f\left(x\right)={x}^{3}-{x}^{2}-8x+12
x=-\frac{4}{3}
Hochpunkt
f\left(x\right)={x}^{3}-{x}^{2}-8x+12
x=2
Tiefpunkt
g\left(x\right)={x}^{3}+3{x}^{2}+3x+1
x=-1
Sattelpunkt


Nuvola Stift.png   Aufgabe 9 (Fortsetzung)

f''(x)=6x-2

f''(-\frac{4}{3})=-10 und f''(2)=10

g''(x)=6x+6

g''(-1)=0


Ergänze den Lückentext:

Ein negativer Wert der zweiten Ableitung bedeutet nichts anderes, als dass die Ableitungsfunktion in dem Moment, in dem sie aktuell den Wert 0 hat, _____.

Das heißt, dass die Werte der Ableitung für kleinere x-Werte "nahe" der betrachteten Nullstelle _____ waren und für größere x-Werte "nahe" der betrachteten Nullstelle _____ werden.

Für den Verlauf der Funktion in diesem Bereich bedeutet das, dass sie zuerst _____, dann eine waagerechte Tangente aufweist und danach _____: Sie weist somit ein lokales Exremum auf, einen _____.


Ein positiver Wert der zweiten Ableitung bedeutet nichts anderes, als dass die Ableitungsfunktion in dem Moment, in dem sie aktuell den Wert 0 hat, _____.

Das heißt, dass die Werte der Ableitung für kleinere x-Werte "nahe" der betrachteten Nullstelle _____ waren und für größere x-Werte "nahe" der betrachteten Nullstelle _____ werden.

Für den Verlauf der Funktion in diesem Bereich bedeutet das, dass sie zuerst _____, dann eine waagerechte Tangente aufweist und danach _____: Sie weist somit ein lokales Exremum auf, einen _____.

Maehnrot.jpg
Merke:

Ein negativer Wert der zweiten Ableitung bedeutet nichts anderes, als dass die Ableitungsfunktion in dem Moment, in dem sie aktuell den Wert 0 hat, fällt.

Das heißt, dass die Werte der Ableitung für kleinere x-Werte "nahe" der betrachteten Nullstelle positiv waren und für größere x-Werte "nahe" der betrachteten Nullstelle negativ werden.

Für den Verlauf der Funktion in diesem Bereich bedeutet das, dass sie zuerst steigt, dann eine waagerechte Tangente aufweist und danach fällt: Sie weist somit ein lokales Exremum auf, einen Hochpunkt.


Ein positiver Wert der zweiten Ableitung bedeutet nichts anderes, als dass die Ableitungsfunktion in dem Moment, in dem sie aktuell den Wert 0 hat, steigt.

Das heißt, dass die Werte der Ableitung für kleinere x-Werte "nahe" der betrachteten Nullstelle negativ waren und für größere x-Werte "nahe" der betrachteten Nullstelle positiv werden.

Für den Verlauf der Funktion in diesem Bereich bedeutet das, dass sie zuerst fällt, dann eine waagerechte Tangente aufweist und danach steigt: Sie weist somit ein lokales Exremum auf, einen Tiefpunkt.


Was aber kann man aus dem Umstand schließen, dass die zweite Ableitung an einer Nullstelle der ersten Ableitung weder positiv noch negativ ist, sondern wie im obigen Fall gilt: g''=0? Hat man es in diesem Fall immer mit einem Sattelpunkt zu tun (vgl. oben!)?

Beantworte hierzu die folgende Frage:

Gegeben sei die Funktion h(x)=x^4. Bestimme die ersten beiden Ableitungen und überprüfe, von welcher Art der charakteristische Punkt (0\mid0) des Graphen der Funktion h ist.

h'(x)=4x^3

h''(x)=12x^2

Es gilt sowohl h'(0)=0 als auch h''(0)=0. Jedoch wissen wir (bzw. können es durch Einsetzen von Beispielwerten ermitteln oder aus der Kenntnis des Verlaufs der zweiten Ableitung schließen), dass die erste Ableitungsfunktion streng monoton steigend ist und an der Stelle x = 0 tatsächlich einen Nulldurchgang hat. Die Funktion h weist im Punkt (0\mid0) ein lokales Minimum auf, einen Tiefpunkt. Hier geht es zur Abbildung.


Vervollständige den Satz:

Maehnrot.jpg
Merke:

Ergo: Wenn für einen x-Wert neben der ersten auch die zweite Ableitung zu null wird, kann man...

... aufgrund dieser Informationen allein keine eindeutige Aussage über die Art des Punktes treffen.


Nuvola Stift.png   Aufgabe 10

Symmetrien

Kannst du beim Betrachten der Funktionsgraphen von f und g Symmetrien erkennen (Achsensymmetrie, Punktsymmetrie)?

Bestimme in diesem Fall näherungsweise Symmetriepunkte bzw. Symmetrieachsen (Schätzung!). Stelle zudem rechnerisch fest, dass die Graphen beider Funktionen weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur y-Achse sind (Anleitung unter dem Link Kurvendiskussion).

Beide Funktionen sind zwar nicht achsensymmetrisch, aber punktsymmetrisch zu den markierten Punkten (vgl. Abbildung):
Rechnerisch widerlegt man für f und g die Achsensymmetrie zur y-Achse durch folgende Rechnungen:

Frage: Gilt f(-x)=f(x)?

f(-x)=(-x)^3-(-x)^2-8(-x)+12=-x^3-x^2+8x+12 \ne x^3-x^2-8x+12=f(x)

g(-x)=(-x)^3+3(-x)^2+3(-x)+1=-x^3+3x^2-3x+1 \ne x^3+3x^2+3x+1=g(x)


Analog geht man bezüglich der Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

Frage: Gilt f(-x)=-f(x)?

f(-x)=(-x)^3-(-x)^2-8(-x)+12=-x^3-x^2+8x+12 \ne -x^3+x^2+8x-12=-f(x)

g(-x)=(-x)^3+3(-x)^2+3(-x)+1=-x^3+3x^2-3x+1 \ne -x^3-3x^2-3x-1=-g(x)


Nuvola Stift.png   Aufgabe 11

Wendepunkte (Hinführung)

Die in Aufgabe 10 ermittelten Symmetriepunkte sind auch in anderer Hinsicht von Bedeutung.

Stelle dir einmal vor, die Graphen der Funktionen f und g seien Straßen auf einer Landkarte (bzw. dem Navigationsgerät...), die du mit einem Fahrzeug deiner Wahl abfährst. Überlege, welche Lenkbewegungen vonnöten sind, wenn du nicht von der Straße abkommen willst. Welche Lenkerstellung bzw. welcher Lenkradeinschlag ergibt sich an den Symmetriepunkten der Graphen?

Die Graphen von f und g stellen bis zum Symmetriepunkt eine einzige "Rechtskurve", danach dann eine lange "Linkskurve" dar. Am Symmetriepunkt selbst muss das Steuer folgerichtig für einen Moment in Nullstellung sein.


Konkreter: Der Graph der hier agbebildeten Funktion steigt immer stärker an (x<0) bzw. fällt in abnehmendem Maße (x>0). Im obigen Sinn vollziehen beide Hyperbeläste eine "Linkskurve".

Hier fällt ein Ast der Hyperbel zunehmend rasant ab (x<0), der andere (x>0) steigt immer gemächlicher an. Beide können als "Rechtskurve" beschrieben werden.

Wie aber ist dies mathematisch zu erfassen?


Du siehst in der folgenden Abbildung den Graphen von f sowie die Graphen der ersten beiden Ableitungen. Beschreibe den Zusammenhang zwischen der Krümmung des Funktionsgraphen (Links- oder Rechtskurve) und dem Verlauf der Graphen der Ableitungsfunktionen. Was geschieht diesbezüglich am Symmetriepunkt?

Ergänze:

Während der Graph von f eine Rechtskurve beschreibt (abnehmende positive Steigung, dann zunehmende negative Steigung), _____ der der ersten Ableitung streng monoton. Folglich sind in diesem Bereich die Werte der zweiten Ableitung ("Steigung der Steigung") _____.

Während der Graph von f eine Linkskurve beschreibt (abnehmende negative Steigung, dann zunehmende positive Steigung), _____ der der ersten Ableitung streng monoton. Folglich sind in diesem Bereich die Werte der zweiten Ableitung _____.

Der Symmetriepunkt der Funktion f, an dem eine Rechtskrümmung des Graphen in eine Linkskrümmung übergeht, korrespondiert mit einem _____ der ersten Ableitung sowie - konsequenterweise - einer _____ der zweiten Ableitung, die mit einem Vorzeichenwechsel einhergeht (Nulldurchgang).

Während der Graph von f eine Rechtskurve beschreibt (abnehmende positive Steigung, dann zunehmende negative Steigung), fällt der der ersten Ableitung streng monoton. Folglich sind in diesem Bereich die Werte der zweiten Ableitung ("Steigung der Steigung") negativ.

Während der Graph von f eine Linkskurve beschreibt (abnehmende negative Steigung, dann zunehmende positive Steigung), steigt der der ersten Ableitung streng monoton. Folglich sind in diesem Bereich die Werte der zweiten Ableitung positiv.

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Symmetriepunkt der Funktion f, an dem eine Rechtskrümmung des Graphen in eine Linkskrümmung übergeht (solche Punkte nennt man "Wendepunkte"), korrespondiert mit einem lokalen Extremum der ersten Ableitung sowie - konsequenterweise - einer Nullstelle der zweiten Ableitung, die mit einem Vorzeichenwechsel einhergeht (Nulldurchgang).


Kleiner Zusatz:

Einen rechtsgekrümmten Funktionsgraphen nennt man auch konkav, einen linksgekrümmten konvex.


Nuvola Stift.png   Aufgabe 12

Wendepunkte (Bestimmung)

Der Verlauf der zweiten Ableitungsfunktion f'' gibt somit Aufschluss über die Krümmung des Funktionsgraphen. Von primärem Interesse für uns sind (wieder einmal) für die zu betrachtende Funktion charakteristische Punkte des Übergangs (von einer Rechtskrümmung des Graphen hin zu einer Linkskrümmung bzw. umgekehrt), sogenannte Wendepunkte.

Um diese bestimmen zu können, benötigen wir bequemerweise kein neues rechnerisches Kalkül: Wendepunkte finden sich an den Stellen, an denen die erste Ableitungsfunktion f' lokale Extrema aufweist (vgl. Aufgabe 11!).

Bestimme auf der Grundlage dieser Information die exakten Werte der Wendepunkte von f und g.

Wie lokale Extrema der Funktion selbst rechnerisch verortet werden, wurde bereits ausführlich behandelt. Hier rutschen wir ledigliche "eine Ebene tiefer" und analysieren ganz analog f'(x).


Zur Funktion f(x)=x^3-x^2-8x+12:

f'(x)=3x^2-2x-8

f''(x)=6x-2

f'''(x)=6

Die einzige Nullstelle der zweiten Ableitung ist x=\frac{1}{3}. Der Wert der dritten Ableitung an dieser Stelle (wie auch an allen anderen Stellen) ist 6 und somit positiv.

Dies bedeutet: Wir haben es mit einem lokalen Minimum der ersten Ableitung zu tun, einem Tiefpunkt. Folgerung: Die Ausgangsfunktion besitzt einen (Rechts-Links-)Wendepunkt bei \left(\frac{1}{3}\mid f(\frac{1}{3})\right)=\left(\frac{1}{3}\mid\frac{250}{27}\right).


Zur Funktion g(x)=x^3+3x^2+3x+1:

g'(x)=3x^2+6x+3

g''(x)=6x+6

g'''(x)=6


Die einzige Nullstelle der zweiten Ableitung ist x=-1. Der Wert der dritten Ableitung an dieser Stelle (wie auch an allen anderen Stellen) ist 6 und somit positiv.

Dies bedeutet: Wir haben es mit einem lokalen Minimum der ersten Ableitung zu tun, einem Tiefpunkt. Folgerung: Die Ausgangsfunktion besitzt einen (Rechts-Links-)Wendepunkt bei (-1\mid g(-1))=(-1\mid0).


Das Ergebnis bei g ist direkt aus dem Graphen ersichtlich (s.o.), die genaue Lage des Wendepunktes von f nicht unbedingt!


Nuvola Stift.png   Aufgabe 13

Übungsaufgaben

Analysiere auf der Grundlage des bisher Erarbeiteten den Verlauf der folgenden Funktionen und fasse deine Ergebnisse abschließend in einer Skizze des jeweiligen Graphen zusammen.

a) f_1(x)=3x^4+4x^3

Verhalten am Rand: vgl. Graph!


Faktorisierung zur Nullstellenbestimmung:

Durch Ausklammern: f_1(x)=x^3\cdot(3x+4)


Nullstellen:

x_1=-\frac{4}{3}; x_2=0


Schnittpunkt mit y-Achse:

Ursprung (0\mid0)


Ableitungen:

f_1'(x)=12x^3+12x^2

f_1''(x)=36x^2+24x

f_1'''(x)=72x+24


Markante Punkte:

Tiefpunkt (-1\mid-1)

Sattelpunkt (0\mid0)

Wendepunkte \left(-\frac{2}{3}\mid-\frac{16}{27}\right) ("Links-Rechts") und (0\mid0) ("Rechts-Links")


Graph (Funktion und Ableitungen):

Welche Informationen können in die Skizze übernommen werden?

Fertige Graphik zur Kontrolle:


b) f_2(x)=-x^3-3x^2+9x-5

Verhalten am Rand: vgl. Graph!


Faktorisierung zur Nullstellenbestimmung:

Durch Polynomdivision: f_2(x)=(x-1)\cdot(-x^2-4x+5)


Nullstellen:

x_1=1 (durch Ausprobieren); x_2=-5


Schnittpunkt mit y-Achse:

(0\mid-5)


Ableitungen:

f_2'(x)=-3x^2-6x+9

f_2''(x)=-6x-6

f_2'''(x)=-6


Markante Punkte:

Tiefpunkt (-3\mid-32)

Hochpunkt (1\mid0)

Wendepunkt (-1\mid-16) ("Links-Rechts")


Graph (Funktion und Ableitungen):
Hier geht es zur Abbildung.


c) f_3(x)=\frac{1}{4}x^3-x^2-\frac{5}{4}x (Vorsicht: teilweise "krumme" Ergebnisse!)

Verhalten am Rand: vgl. Graph!


Faktorisierung zur Nullstellenbestimmung:

Durch Ausklammern: f_3(x)=\frac{1}{4}x\cdot(x^2-4x-5)


Nullstellen:

x_1=-1; x_2=0; x_3=5


Schnittpunkt mit y-Achse:

Ursprung (0\mid0)


Ableitungen:

f_3'(x)=\frac{3}{4}x^2-2x-\frac{5}{4}

f_3''(x)=\frac{3}{2}x-2

f_3'''(x)=\frac{3}{2}


Markante Punkte:

Hochpunkt \left(\frac{4-\sqrt{31}}{3}\mid\approx0,34\right)

Tiefpunkt \left(\frac{4+\sqrt{31}}{3}\mid\approx-6,05\right)

Wendepunkt \left(\frac{4}{3}\mid-\frac{77}{27}\right) ("Rechts-Links")


Graph (Funktion und Ableitungen):
Hier geht es zur Abbildung.


d) f_4(x)=2x^3-9x^2-24x

Verhalten am Rand: vgl. Graph!


Faktorisierung zur Nullstellenbestimmung:

Durch Ausklammern: f_4(x)=x\cdot(2x^2-9x-24)


Nullstellen:

x_1=\frac{9-\sqrt{273}}{4}; x_2=0; x_3=\frac{9+\sqrt{273}}{4}


Schnittpunkt mit y-Achse:

Ursprung (0\mid0)


Ableitungen:

f_4'(x)=6x^2-18x-24=6\cdot(x^2-3x-4)

f_4''(x)=12x-18

f_4'''(x)=12


Markante Punkte:

Hochpunkt (-1\mid13)

Tiefpunkt (4\mid-112)

Wendepunkt \left(\frac{3}{2}\mid\frac{-99}{2}\right) ("Rechts-Links")


Graph (Funktion und Ableitungen):
Hier geht es zur Abbildung.


e) f_5(x)=\frac{1}{3}x^3-5x+6

Verhalten am Rand: vgl. Graph!


Faktorisierung zur Nullstellenbestimmung:

Durch Polynomdivision: f_5(x)=(x-3)\cdot(\frac{1}{3}x^2+x-2)


Nullstellen:

x_1=\frac{-3-\sqrt{33}}{2}; x_2=\frac{-3+\sqrt{33}}{2}; x_3=3


Schnittpunkt mit y-Achse:

Ursprung (0\mid6)


Ableitungen:

f_5'(x)=x^2-5

f_5''(x)=2x

f_5'''(x)=2


Markante Punkte:

Hochpunkt \left(-\sqrt{5}\mid6+\frac{10}{3}\sqrt{5}\right)

Tiefpunkt \left(\sqrt{5}\mid6-\frac{10}{3}\sqrt{5}\right)

Wendepunkt (0\mid6) ("Rechts-Links")


Graph (Funktion und Ableitungen):
Hier geht es zur Abbildung.



Nuvola Stift.png   Aufgabe 14

Nachtrag: Links zum weiteren Üben

  • Nicht ganz einfach, aber zum Vertiefen ideal: ein Mutiple-Choice-Test zum Thema Kurvendiskussion