Übungen zur Integralrechnung

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Folge findest du eine Zusammenstellung von Aufgaben zur Flächenberechnung mit Hilfe bestimmter Integrale.

Grundlegendes zur Integralrechnung kann zudem unter folgenden Links noch einmal nachgelesen werden:


Weitere Aspekte unter:


Inhaltsverzeichnis

Aufgaben

Alle Arbeitsergebnisse sind schriftlich zu dokumentieren!


Aufgabe 1:


Grundaufgaben

Bestimme den Inhalt der Fläche, welche die jeweiligen Funktionsgraphen mit der x-Achse einschließen.

a) f(x)=x^2-6x+5

Zuerst ermittelt man die Nullstellen x1=1 und x2=5 (abc-Formel). Danach berechnet man das bestimmte Integral \int_{1}^{5} f (x)\,dx (bzw. gleich den Betrag des Wertes).
\int_{1}^{5} x^2-6x+5\,dx=\left[\frac{1}{3}x^3-3x^2+5x\right]_1^5=F(5)-F(1)=-8\frac{1}{3}-2\frac{1}{3}=-10\frac{2}{3}
Der Inhalt der Fläche beträgt 10\frac{2}{3} Flächeneinheiten.

Bestätige das Ergebnis anhand der Darstellung. (Passe die Integrationsgrenzen an!)



b) g(x)=x^3-3x^2-6x+8
Zusatzfrage: Bei der Lösung dieser Aufgabe eröffnet sich die Möglichkeit einer "Abkürzung". Welcher? Warum?

Nullstellen: x1=-2, x2=1 und x3=4 (Ausprobieren, Polynomdivision, abc-Formel). Danach berechnet man die bestimmten Integrale \int_{-2}^{1} g (x)\,dx sowie \int_{1}^{4} g (x)\,dx und addiert deren Beträge.
Der Inhalt der Fläche beträgt 40\frac{1}{2} Flächeneinheiten.
Bestätige das Ergebnis anhand der Darstellung. (Passe die Integrationsgrenzen an!)

Zur Zusatzfrage: Aufgrund der Punktsymmetrie des Graphen genügt die Berechnung eines Integrals.



c) h(x)=-\frac{1}{2}x^4+4\frac{1}{2}x^2
Zusatzfrage: Bei der Lösung dieser Aufgabe eröffnet sich die Möglichkeit einer "Abkürzung". Welcher? Warum?

Nullstellen: x1=-3, x2=0 und x3=3 (Ausklammern von x2, abc-Formel oder 3. binomische Formel). Danach berechnet man die bestimmten Integrale \int_{-3}^{0} h (x)\,dx sowie \int_{0}^{3} h (x)\,dx und addiert deren Beträge.
Der Inhalt der Fläche beträgt 32,4 Flächeneinheiten.
Bestätige das Ergebnis anhand der Darstellung. (Passe die Integrationsgrenzen an!)

Zur Zusatzfrage: Aufgrund der doppelten Nullstelle bei x=0 (Extremwert und kein Nulldurchgang!) genügt die Berechnung eines Integrals über dem Intervall [-3;3]. Bzw. aufgrund der Achsensymmetrie des Graphen genügt die Berechnung eines Integrals über beispielsweise dem Intervall [0;3].



d) Bestimme den Inhalt der Fläche, welche der Funktionsgraph mit den beiden Koordinatenachsen einschließt: i(x)=\sqrt{x+5}

Nullstelle: x1=-5 (Wann ist der Radikand gleich 0?). Danach berechnet man das bestimmte Integral \int_{-5}^{0} i (x)\,dx.
Der Inhalt der Fläche beträgt \frac{10\sqrt{5}}{3}\approx7,45 Flächeneinheiten.

Bestätige das Ergebnis anhand der Darstellung. (Passe die Integrationsgrenzen an!)


Aufgabe 2:


Sachbezug und Zusammenhang

a) Die Menge an Wasser w [Liter pro Sekunde], die zu einem bestimmten Zeitpunkt t [Sekunden] in einen zuvor leeren Behälter fließt, lässt sich mit Hilfe der Gleichung w(t)=3t+1 ermitteln.

Wie viel Wasser befindet sich nach 5 Sekunden im Behälter?

Zum Zeitpunkt t=0 läuft ein Liter Wasser pro Sekunde aus dem Zulaufventil. Der "Wasserhahn" ist also bereits geöffnet, wenn der Behälter daruntergeschoben wird. Und er wird in der Folge immer weiter aufgedreht.
Graphisch stellt sich der Zusammenhang zwischen Zeit und "Zulaufgeschwindigkeit" folgendermaßen dar.

Lernpfad Integral 5-1.png

Aber wo findet sich in der Graphik der aktuelle Inhalt des Behälters? Tatsächlich wird die Wassermenge, die sich zu einem bestimmten Zeitpunkt im Behälter angesammelt hat, durch die Fläche unter dem Graphen repräsentiert. Wir können sie also mit Hilfe eines bestimmten Integrals berechnen. Aber wie kann man sich das erklären?
Ein Hinweis: Innerhalb der ersten Sekunde fließen durchschnittlich 2,5 Liter Wasser pro Sekunde und folgerichtig auch als absolute Menge 2,5 Liter Wasser in das Behältnis. Dieser Wert entspricht auch dem Inhalt der Fläche unter dem Graphen über dem Intervall [0;1]. Sogar die Einheiten passen zu diesem Befund: 2,5\frac{l}{s}\cdot1s=2,5l!

Lernpfad Integral 5-2.png

Lösung der Aufgabe:
\int_{0}^{5} 3t+1\,dx=\left[\frac{3}{2}t^2+t\right]_0^5=42,5
Nach 5 Sekunden befinden sich somit 42,5 Liter Wasser im Behälter (vgl. die Graphik!)

Die "Stammfunktion" W(t)=\frac{3}{2}t^2+t ordnet also einem Zeitpunkt die Wassermenge im Behälter zu (Sekunden → Litern), ihre Ableitung gibt - wie gehabt - die "lokale Steigung" dieses Vorgangs an, d.h. die jeweils aktuelle Geschwindigkeit, mit der dies geschieht (Sekunden → Litern pro Sekunde (l/s: "Differenzen-Quotient"!): Zulaufgeschwindigkeit w(t)=3t+1.

Die folgende Graphik soll dies zusammenfassend (und dynamisch für alle Zeitpunkte des Füllvorgangs) veranschaulichen.



b) Eine ganz andere Aufgabe (?): Wasser fließt in einen Behälter. Nach t Sekunden sind es 3t+1 Liter. War der Behälter zu Beginn des Füllvorgangs leer? Wie hoch ist die Zulaufrate (in Litern pro Sekunde)? Wie ändert sich die Zulaufrate im Verlauf des Füllvorgangs?

Natürlich war der Behälter nicht leer, zu Beginn des Füllvorgangs (t=0) enthielt er bereits einen Liter Wasser (0 in t einsetzen...). Die Zulaufrate entspricht der Steigung des linearen Graphen. Und sie bleibt konstant bei drei Litern pro Sekunde. Graphisch gestaltet sich das folgendermaßen:
Hier wird vielleicht der Zusammenhang zwischen der Fläche unter dem Graphen der konstanten Zulaufrate und der einfließenden Wassermenge noch einmal besonders deutlich.

Und noch etwas wird klar: Über die Wassermenge, die vor dem Füllvorgang im Behälter war, sagt die Zulaufrate nichts aus. Überhaupt nichts! Es gibt eben unendlich viele Stammfunktionen. Hier begegnet uns zufällig die mit dem konstanten Anhängsel "+1".



Aufgabe 3:


Betrachte noch einmal die Funktion aus Aufgabe 1d): f(x)=\sqrt{x+5}. Durch welche Gerade x=b muss man die Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse am rechten Rand begrenzen, dass man einen Flächeninhalt von 40 Flächeneinheiten erhält?
Löse graphisch und rechnerisch.

Um die Aufgabe rechnerisch zu lösen, bestimmen wir das Integral mit variabler oberer Grenze b. Weiter müssen wir uns um nichts kümmern, die Funktion hat keine negativen Werte.
\int_{-5}^{b} \sqrt{x+5}\,dx=\left[\frac{2}{3}\sqrt{(x+5)^3}\right]^b_{-5}=F(b)-F(-5)=\frac{2}{3}\sqrt{(b+5)^3}-0=\frac{2}{3}\sqrt{(b+5)^3}
Diesen Term muss man mit 40 gleichsetzen und dann die Gleichung Lösen.

\frac{2}{3}\sqrt{(b+5)^3}=40\Leftrightarrow\sqrt{(b+5)^3}=60\Leftrightarrow (b+5)^3=3600\Leftrightarrow b+5=\sqrt[3]{3600}\Leftrightarrow b=\sqrt[3]{3600}-5\approx 10,33



Aufgabe 4:


Eine ganzrationale Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat ein lokales Maximum bei x = 1. Ihr Graph teilt das Rechteck ABCD mit A (0|0), B (1|0), C (1|4) und D (0|4) im Verhältnis 5:3 in eine untere und eine obere Teilfläche. Um welche Funktion handelt es sich?

Tipp 1: Die Information bezüglich der Punktsymmetrie beinhaltet die Angabe sowohl eines Punktes als auch eines Wendepunktes!
Tipp 2: Die Tangentensteigung beim Hochpunkt ist bekanntlich 0.
Tipp 3: Die Auswertung der Informationen "Punktsymmetrie" und "Hochpunkt" bringt uns der Zielfunktion bereits sehr nahe. Lediglich ein Parameter bleibt noch stehen und muss mit Hilfe der gegebenen Flächen bestimmt werden.

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Nullstelle x = 0 → d = 0
Wendepunkt bei x = 0 → b = 0
Maximum bei x = 1 → 3a + c = 0 bzw. c = -3a

Daraus ergibt sich bereits: f(x)=ax^3-3ax

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 4 Flächeneinheiten. Der Flächeninhalt seiner unteren Teilfläche beträgt folglich 2,5 Flächeneinheiten.

\int_{0}^{1}ax^3-3ax\,dx=\left[\frac{1}{4}ax^4-\frac{3}{2}ax^2\right]^1_{0}=F(1)-F(0)=-\frac{5}{4}a-0=-\frac{5}{4}a

Diesen Term muss man mit 2,5 gleichsetzen und dann die Gleichung Lösen.
-\frac{5}{4}a=2,5\Leftrightarrow a=-2

Folglich gilt: c = 6. Die gesuchte Funktion ist f(x)=-2x^3+6x.

Die folgende Darstellung. soll das Ergebnis veranschaulichen. (Passe die Integrationsgrenzen an!)



Aufgabe 5:


Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

Lernpfad Integral 10-1 Bild.png

Gegeben seien die Funktionen f(x)=-0,5x^2+5 und g(x)=0,5x^2-2x+2. Bestimme den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionsgraphen eingeschlossen wird (vgl. Skizze rechts).

Tipp 1: Die Fläche wird links und rechts durch die Schnittpunkte der Graphen begrenzt.
Tipp 2: Welche Parabel den oberen bzw. unteren Rand der Fläche darstellt, ist leicht aus den Funktionstermen zu ersehen.
Tipp 3: Die Aufgabe kann mit Hilfe der Berechnung zweier Integrale gelöst werden. Man kommt aber auch gut mit einem Integral aus. Wie?

Um die Schnittpunkte der Graphen zu berechnen, muss man die Funktionsterme von f und g gleichsetzen und die entstehende quadratische Gleichung lösen (Formel!).
Die Funktionsgraphen schneiden sich in den Punkten S_1 (-1\mid 4,5) und S_2 (3\mid 0,5).

Mit den hierbei ermittelten Integrationsgrenzen -1 und 3 kann man sowohl die Fläche unter der "oberen" Funktion f als auch die Fläche unter der "unteren" Funktion g bestimmen. Aus der Differenz dieser Flächen ergibt sich die zwischen den Graphen eingeschlossene Fläche.
Da beide Funktionen im fraglichen Bereich positive (bzw. nicht-negative) Werte aufweisen, müssen wir uns keine weiteren Gedanken um Integrationsgrenzen oder Betragsstriche machen.

\int_{-1}^{3}-0,5x^2+5\,dx=\left[-\frac{1}{6}x^3+5x\right]^3_{-1}=F(3)-F(-1)=10\frac{1}{2}+4\frac{5}{6}=15\frac{1}{3}
\int_{-1}^{3}0,5x^2-2x+2\,dx=\left[\frac{1}{6}x^3-x^2+2x\right]^3_{-1}=G(3)-G(-1)=1\frac{1}{2}+3\frac{1}{6}=4\frac{2}{3}

Der Inhalt der gesuchten Fläche beträgt somit 15\frac{1}{3}-4\frac{2}{3}=10\frac{2}{3} Flächeneinheiten.

Zusatzfrage: Muss man bei dieser Aufgabe eigentlich unbedingt vorher wissen, welcher Funktionsgraph der obere und welcher der untere ist?

Vertauscht man aus Unkenntnis die "Rollen" der Funktionen f und g, erhält man als Ergebnis der Differenz die negative Zahl -10\frac{2}{3}. Dies ist weiter nicht dramatisch, man muss den Wert nur sinnvoll interpretieren.


Man kann also die gesuchte Fläche mit Hilfe der Differenz zweier Integrale bestimmen. Die Rechenregeln für Integrale ermöglichen es uns jedoch, die Rechenschritte Integration und Differenzbildung zu vertauschen.

\int_{-1}^{3}f(x)\,dx-\int_{-1}^{3}g(x)\,dx=\int_{-1}^{3}(f-g)(x)\,dx

Die Differenzfunktion h=f-g lautet: h(x)=-x^2+2x+3

\int_{-1}^{3}-x^2+2x+3\,dx=\left[-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x\right]^3_{-1}=H(3)-H(-1)=9+1\frac{2}{3}=10\frac{2}{3}

Der Weg über die Differenzfunktion erscheint rechnerisch sogar als der weniger aufwändige!

Alle Ergebnisse finden sich in der folgenden Graphik zusammenfassend veranschaulicht.



Aufgabe 6:


Integration der Differenzfunktion: weitere Vorteile
Aus der folgenden Graphik kann man ersehen, dass es auch kein größeres Problem darstellen muss, wenn die zu bestimmende Fläche ganz oder teilweise unter der x-Achse zu liegen kommt.

a) Betätige den Schieberegler in der folgenden Graphik und verschiebe die begrenzenden Funktionsgraphen (und mit ihnen die eingeschlossene Fläche) um einen konstanten Wert 0 ≤ a ≤ 5. Was kann man hierbei deutlich erkennen?

Es wird deutlich, dass die Differenzfunktion (g-f)(x) (g ist hier die "obere" Funktion) durch die Verschiebung nicht tangiert wird. Ebenso unverändert bleibt selbstverständlich der Wert des Integrals, welches den Inhalt der eingschlossenen Fläche angibt. Hierbei spielt es keine Rolle, ob diese ganz oder nur teilweise über der x-Achse liegt.


b) Bestätige nun durch geeignete Rechnungen, dass der Flächeninhalt der von den Funktionen f und g eingeschlossenen Fläche 28\frac{7}{12} Flächeneinheiten beträgt.

\int_{-5}^{2}-0,5x^2-1,5x+5\,dx=\left[-\frac{1}{6}x^3-\frac{3}{4}x+5x\right]^2_{-5}=5\frac{2}{3}+22\frac{11}{12}=28\frac{7}{12}



Aufgabe 7:


Flächen aus mehreren Teilflächen
a) Bestätige rechnerisch, dass die Graphen der Funktionen f(x)=2x^3+4x^2 und g(x)=0,5x+1 drei Schnittpunkte haben. Ein erster Schnittpunkt ist S_1 (-2\mid 0). Wie lauten die Koordinaten der anderen beiden Schnittpunkte?

Folgende Gleichung ist zu lösen: 2x^3+4x^2-0,5x-1=0
Eine Lösung ist x1 = -2.

Durch eine Polynomdivision reduzieren wir das anfängliche Problem auf die Lösung der folgenden quadratischen Gleichung: 2x^2-0,5=0.

Hieraus ergeben sich als weitere Schnittpunkte S_2 (-0,5\mid 0,75) und S_3 (0,5\mid 1,25).


b) Aus Teilaufgabe a) darf man schlussfolgern, dass die Graphen der beiden Funktionen zwei unzusammenhängende Flächen einschließen. Berechne den Inhalt dieser beiden Teilflächen sowie die zwischen den Graphen eingeschlossene Gesamtfläche.

\int_{-2}^{-0,5}2x^3+4x^3-0,5x-1\,dx=\left[\frac{1}{2}x^4+\frac{4}{3}x^3-\frac{1}{4}x^2-x\right]^{-0,5}_{-2}=\frac{29}{96}+1\frac{2}{3}=1\frac{31}{32}
\int_{-0,5}^{0,5}-2x^3-4x^3+0,5x+1\,dx=\left[-\frac{1}{2}x^4-\frac{4}{3}x^3+\frac{1}{4}x^2+x\right]^{0,5}_{-0,5}=\frac{35}{96}+\frac{29}{96}=\frac{2}{3}

Die Gesamtfläche beträgt somit 2\frac{61}{96} Flächeneinheiten.


c) Begründe mithilfe der folgenden Graphik, warum die in Teilaufgabe b) berechnete Gesamtfläche nicht durch ein einziges Integral \int_{Nullstelle_{min}}^{Nullstelle_{max}}(f-g)(x)\,dx bestimmt werden kann.

Die beiden Funktionen f und g nehmen abschnittsweise einmal die Rolle der "oberen" und dann wieder die der "unteren" Funktion ein. Integriert man über die Grenzen dieser Abschnitte (Schnittpunkte!) und zieht hierfür stets die gleiche Differenzfunktion heran, so nehmen diese Integrale positive und negative Werte an. Das in der Aufgabenstellung beschriebene Integral gibt somit lediglich eine Bilanz der Integralwerte an, nicht die tatsächliche Gesamtfläche.