Parabeln

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Koordinatengeometrie: Parabeln

In diesem Lernpfad sollst du etwas über Parabeln im Koordinatensystem lernen. Bearbeite dazu nach und nach die angegebenen Aufgaben. Sieh dir die Lösungen der Aufgaben erst an, nachdem du schon einen eigenen Lösungsversuch aufgestellt hast. Öffne die Hinweise zu den Aufgaben, falls du nicht weiter kommst.

Normalform der Parabel

Eine Parabel ist in der Mathematik der Graph einer quadratischen Funktion. In Normalform ist die Funktionsvorschrift einer solchen quadratischen Funktion gegeben durch


 y=ax^2+bx+c


Eine spezielle Parabel ist die sogenannte Normalparabel. Man erhält sie, wenn man in der Funktionsvorschrift in Normalform  a=1 ,  b=0 und  c=0 setzt. Ihre Funktionsvorschrift lautet:


 y=x^2


Ein besonderer Punkt auf der Parabel ist der Scheitelpunkt:

Maehnrot.jpg
Merke:

Der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Parabel ist der Punkt mit dem niedrigsten y-Wert auf der Parabel.
Der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel ist der Punkt mit dem höchsten y-Wert auf der Parabel.



Im Bild unten siehst du den Scheitelpunkt für einige Beispiele für Parabeln eingezeichnet. Die gelbe Parabel ist die Normalparabel mit Scheitelpunkt  S(0/0) .
Sie geht durch die Punkte  P(1/1) und  Q(-1/1) .





Scheitelpunktsform der Parabel

Da die Normalform der Parabel eine wenig anschauliche Darstellung ist, wollen wir uns zunächst mit einer äquivalenten Darstellung der Parabel beschäftigen, und zwar mit der Scheitelpunktsform. Die Funktionsvorschrift der Parabel ist in der Scheitelpunktsform gegeben durch:

 y =a(x-s)^2+t


In der GeoGebra-Anwendung, die du hier siehst kannst du den Einfluß der verschiedenen Parameter auf das Aussehen der zugehörigen Parabel untersuchen.


Stift.gif   Aufgabe

Verändere mit Hilfe der Regler die Parameter a, s und t der Funktionsgleichung in Scheitelpunktsform. Welche Auswirkungen haben die einzelnen Parameter auf den Scheitelpunkt und die Form der Parabel im Vergleich zur eingezeichneten Normalparabel? Notiere deine Ergebnisse in deinem Heft.


Lösung:

Betrachte zunächst den Betrag von a:

Falls der Betrag von a größer als eins ist, ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt.
Falls der Betrag von a kleiner als ein ist, ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestaucht.

Betrachte jetzt das Vorzeichen von a:

Für a>0 ist die Parabel nach oben geöffnet.
Für a<0 ist die Parabel nach unten geöffnet.

Für s>0 ist der Scheitelpunkt der Parabel um s nach rechts verschoben.
Für s<0 ist der Scheitelpunkt der Parabel um -s nach links verschoben.

Für t> 0 ist der Scheitelpunkt der Parabel um t nach oben verschoben.
Für t<0 ist der Scheitelpunkt der Parabel um -t nach unten verschoben.




Stift.gif   Aufgabe

Kannst du die allgemeinen Koordinaten des Scheitelpunktes S einer Parabel angeben, die durch die Funktionsvorschrift

 y=a(x-s)^2+t

gegeben ist?


Lösung:

Der Scheitelpunkt ist gegeben durch S(s/t).


Stift.gif   Aufgabe

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabeln, die durch die folgenden Funktionsvorschriften gegeben sind. Überprüfe dein Ergebnis, indem du die jeweilige Funktionsvorschrift auf der linken Seite der GeoGebra-Anwendung unten eingibst.

 y=(x-2)^2+3
 y=3(x-2)^2-1
 y=-2(x+3)^2+2
 y=2(x+3)^2-2
 y=0.5(x-2)^2+1
 y=-0.2(x+1)^2-1




Bestimmung des Scheitelpunktes aus der Normalform

An der Normalform

 y=ax^2+bx+c


lässt sich der Scheitelpunkt nicht direkt ablesen. Wenn man ihn dennoch bestimmen möchte, muß man die Funktionsvorschrift zunächst in die Scheitelpunktsform umformen. Das macht man mit Hilfe der quadratischen Ergänzung. Lies dir dazu zunächst das Beispiel durch und versuche dann selber einige Aufgaben dazu zu lösen.

Anleitung:

1.) Klammere so aus, dass x² in der Klammer alleine steht.
2.) Addiere geschickt Null, so dass eine binomische Formel entsteht.
3.) Multipliziere die Klammer aus und lies den Scheitelpunkt ab.

Beispiel:

 y=2x^2-4x+4
 =2(x^2-2x+2)
 =2(x^2-2x+1-1+2)
 =2((x-1)^2-1+2)
 =2((x-1)^2+1)
 =2(x-1)^2+2


Der Scheitelpunkt ist in diesem Fall also S(1/2)

Stift.gif   Aufgabe

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel, die durch die folgende Funktionsvorschrift gegeben ist:

 y=4x^2-24x+52


Lösung:

 y=4(x-3)^2+16

S(3/16))

Stift.gif   Aufgabe

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel, die durch die folgende Funktionsvorschrift gegeben ist:

 y=-2x^2+4x+1


Lösung:

 y=-2(x-1)^2+3

S(1/3))

Stift.gif   Aufgabe

Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel, die durch die folgende Funktionsvorschrift gegeben ist:

 y=3x^2+6x+10


Lösung:

 y=3(x+1)^2+7

S(-1/7))