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Lernpfad

Einführung in den Begriff "Abstand"

Anhand von einigen interaktiven Zeichnungen sollen die Schüler sich mti dem Thema Abstand beschäftigen. Es wird erarbeitet, was Abstand ist, wie man ihn bestimmt und wo Punkte liegen, die zu einem geometrischen Objekt einen bestimmte Abstand haben.

  • Zeitbedarf: 1-2 Schulstunde(n)
  • Material: Heft(?) zum Notieren von Beobachtungen entsprechend der Fragen und zum Abschluss ausgedrucktes pdf-Arbeitsblatt (siehe (unten)
Kurzinfo
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Hinweis: Jeder der Zeichnungen ist interaktiv, d.h. du kannst einige Objekte darin bewegen. Zu jeder Zeichnung, direkt nach der Überschrift, gibt es Dinge, die du dir in der Zeichnungen anschauen sollst, indem du die Objekte bewegest. WICHTIG ist ... es gibt meist keine eindeutige Lösungen sondern es geht vielmehr darum, dass du deine Beobachtungen in Worten festhälst.

Abstand zwischen zwei Punkten

Was bezeichnet man als Abstand?

Es sind mehrere Wege zu sehen, die vom Punkt A zum Punkt B führen. Bei den Wegen findest du jeweils deren Längen.

Aufgaben: Bewege die Punkte langsam und betrachte und vergleiche die Längen der verschiedenen Wege.
  • Beschreibe alle drei Wege (gelber Weg, grüner Weg, grauer Weg): Aussehen, Länge der Wege, ...
  • Überlege, warum man wohl die Länge des grünen Wegs als Abstand von A und B bezeichnet. Kurzschreibweise: \overline{AB}


Wo liegen alle Punkte im Abstand von ...?

Wo könnte ein Punkt liegen, der von P den Abstand 2,5 Einheiten hat?

Aufgabe: In der Mitte ist der Punkt P gegeben. Die Entfernung von Punkt P zu Punkt A beträgt 2,5 Längeneinheiten.
  • Ordne die anderen Punkte so um P an, dass sie den gleichen Abstand zu P haben wie A.
  • Stelle dir vor, du könntest noch mehr Punkte zeichnen, die alle von dem Punkt P den Abstand 2,5 haben. Wie würde das Bild aussehen? Wo würden die ganzen Punkte liegen?


Der Punkt A wurde an die "Leine" gelegt.

Aufgabe: In dieser Zeichnung ist der Punkt A beweglich, allerdings bleibt er immer im Abstand von 2,5 zum Punkt P. Bei der Bewegung hinterlässt A eine Spur. Die anderen Punkte sind schon im Abstand von 2,5 angeordnet.
  • Bewege den Punkt A herum.
  • Beschreibe, wie die Spur von Punkt A aussieht.
  • Was sagst du über den Ort der anderen Punkte?

Gleiches Bild mit Kreis

Aufgabe: Bei dieser Zeichnung wurde ein Kreis hinzugefügt, der durch den Mittelpunkt bei P hat und durch Punkt A geht.
  • Kannst du - ohne zu probieren - ganz schnell diese Punkte auf eine Entfernung von 2,5 Längeneinheiten einstellen?
  • Wo liegen also alle Punkte, die von P einen Abstand von 2,5 Längeneinheiten haben.

Wie groß ist der Abstand des Punktes A von der Geraden g?

Nachdem du dich schon ein wenig mit dem Abstand zwischen zwei Punkten beschäftigt hast, sollst du nun herausfinden, wie man den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden bestimmen kann. Das Problem ist, dass kein zweiter Punkt vorhanden ist, so dass man nicht einfach den Abstand messen kann.


Bestimme den Abstand eines Punktes von einer Geraden

Bestimme den Abstand durch Probieren

Aufgabe:Um den Abstand zu bestimmen braucht man zwei Punkte. Zu jedem Punkt wurde deshalb ein zweiter auf der Geraden gezeichnet, und der Abstand zwischen diesen beiden gemessen. Nun muss der Abstand aber immer der möglichst kürzeste sein.
  • Bewege jeweils die Endpunkte der Strecken und finde den kürzesten Abstand zwischen Gerade und Punkten.
  • Könntest du anderen schon einen Tipp geben, wie man recht schnell den richtigen Endpunkt fr die Abstandsmessung findet?

Nimm ein Geodreieck zu Hilfe

Aufgabe:Hier wurden jetzt die richtigen Abstandslinien eingezeichnet. Außerdem hast du ein vereinfachtes Geodreieck. Du kannst das Geodreieck mit dem roten Punkt bewegen. Mit dem gelben Punkt lässt es sich drehen.
  • Probiere den Umgang mit dem Geodreieck aus.
  • Erinnerst du dich noch daran, für was das Geodreieck verwendet werden kann?
  • "Lege" das Geodreieck an die vorhandenen Linien an.
  • Kannst du eine Vorschrift zur Messung des Abstandes eines Punktes zu einer Geraden aufstellen? Was muss man alles einzeichnen und was muss dann gemessen werden?

ÜBUNG 1: Bestimme den Abstand des Punktes A zu der Geraden g

Bestimme den Abstand

  • Dazu musst du die Werkzeuge oben verwenden, die dir GeoGebra zur Verfügung stellt.
  • Zuerst musst du die Senkrechte mit dem Werkzeug einzeichnen. Erst auf die Gerade und dann auf den Punkt klicken (oder umgekehrt).
  • Dann musst du den zweiten Punkt bestimmen. Zeichne den Schnittpunkt zwischen g und der Senkrechten ein, indem du das Werkzeug auswählst und dann erst die eine und dann die andere Gerade anklickst.
  • Fehlt noch der Abstand. Wähle das Abstandswerkzeug aus und klicke auf die beiden Punkte. Achtung: Falls GeoGebra unsicher ist, welches Objekt du meinst, musst du aus der Liste auswählen.
  • Falls du dich verzeichnest hast, kannst du auf klicken.

Wo liegen alle Punkte im Abstand von ...?

Wo könnte ein Punkte liegen, der von der Geraden g den Abstand 2 hat?

Aufgabe: Zu einer Geraden sind mehrere Punkte mit dem Abstand zur Gerade eingezeichnet. Der Punkt A hat einen Abstand von 2 zur Geraden.
  • Bewege die anderen Punkte und ordne sie so an, dass sie den gleichen Abstand zur Gerade wie der Punkt A haben.
  • Stell dir vor, du könntest weitere Punkte einzeichnen, die einen Abstand von 2 zur Geraden haben. Wo würden diese Punkte liegen?

A liegt mal wieder an der Leine

Aufgabe: Alle Punkte sind jetzt im gleichen Abstand zur Geraden angeordnet. Der Punkt A ist beweglich, allerdings bleibt der Abstand immer gleich. Bei der Bewegung von A wird eine Spur gezeichnet.
  • Bewege den Punkt A hin und her.
  • Beschreibe, wie die Spur von Punkt A aussieht.
  • Was sagst du ber den Ort der anderen Punkte?
  • Fällt dir zu der Spur noch ein mathematischer Fachbegriff ein?


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