Berührungsprobleme bei quadratischen Funktionen

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Tangenten an Parabeln

Gegeben ist ein Punkt A(px,py) und die Parabel y = 0,5 x^2 + 2. Durch den Punkt A wird eine Gerad mit der variablen Steigung m gelegt.


In der 8. Klasse hast Du gelernt durch den Punkt A die Gerade mit der Steigung m aufzustellen.


Note with paperclip nicu 01.svg
Arbeitsaufgaben
  • Stelle die Geradengleichung für den gegebenen Punkt A und die gegebene Steigung m auf und vergleiche mit der Geradengleichung im Algebrafenster.
  • Stelle nun eine die Gleichung aller Geraden auf, die durch A gehen und eine beliebige Steigung besitzen.

Falls Du nicht mehr weißt wie das geht, so kannst Du Dir in dem Video ein Beispiel vorrechnen lassen:>


  • Ändere nun die Steigung mit dem Schieberegler für m und beschreibe wieviele Schnittpunkte es mit der Parabel in Abhängigkeit von m gibt.
  • Wie lautet die algebraische Bedingung für den Schnitt von zwei Graphen? Setze diese Bedingung in eine quadratische Gleichung die Gerade mit der beliebigen Steigung m durch A um.
  • Eine Gerade heißt Tangente an einen Graphen einer anderen Funktion, wenn sie (in einer beliebig kleinen) Umgebung nur 1 Schnittpunkt besitzt.
  • Kläre mit Deinem Nachbarn, wann eine quadratische Gleichung nur eine Lösung besitzt und bestimme dann das m so, dass dies der Fall ist. (Hier findet ihr die Erklärung:[1]für den Teil 1 der Frage.)
  • Warum gibt es zwei Lösungen Vergleicht Eure Lösungen, indem Ihr den Schieberegler mit dem Parameter m verändert.
  • Stelle m nun auf 0,5 und verschiebe A Bestimme rechnerisch und anhand den des Graphen die Gleichung einer Geraden mit der Steigung 0.5, die Tangente an die Parabel ist.


Zur Lösung Berührungsprobleme bei quadratischen Funktionen

Sich berührende Parabeln


SeiMutig.jpg
Hausaufgabe

Gegeben ist die Parabel y =0,5 x^2 - x + 2

  • Bestimme den Scheitel der Parabel und zeichne die Parabel in einem geeigneten Intervall!

Falls Du nicht mehr weißt wie das geht, so kannst Du Dir in dem Video ein Beispiel vorrechnen lassen:>


  • Unter der Parabel y =- x^2 + bx sind diejenigen Parabeln gesucht, die die oben gegebene Parabel berühren. Bestimme die Gleichung(en) rechnerisch und zeichne sie in das Koordinatensystem ein.
  • Überprüfe Dein Ergebnis mittels Geogebra.



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Tangenten an andere Funktionen, die mit Methoden der 9. Klasse möglich sind

SeiMutig.jpg
Hausaufgabe

Gegeben ist die Funktion y = 1 /x

  • Wie nennt man so eine Funktion /den Graphen
  • Bestimme unter allen Geraden, die durch den Punkt P(1/1) verlaufen rechnerisch alle Tangenten an den Graph der Funktion!
  • Überprüfe Dein Ergebnis mittels Geogebra.



Gegeben ist die Funktion y = 1/x

  • Wie nennt man so eine Funktion /den Graphen
  • Bestimme unter allen Geraden, die durch den Punkt P(1/0.5) verlaufen rechnerisch alle Tangenten an den Graph der Funktion!
  • Überprüfe Dein Ergebnis mittels Geogebra.

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