ZUM-Unterrichten - Logo.png
Viele Inhalte sind umgezogen ins neue ZUM-Unterrichten.

Differenzialgleichungen

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

Inhaltsverzeichnis

Vorbemerkungen

Dieser Beitrag richtet sich an Lehrende;

für Lernende steht ein Lernpfad zur Verfügung:

Differenzialgleichungen werden i.d.R. als Wahlthema unterrichtet. Vor der Behandlung des Themas empfiehlt sich eine gründliche Wiederholung der Differenzial- und Integralrechnung; mit den Schülern sollten insbesondere die Fertigkeiten bei der Kettenregel und der Integration durch Substitution abgesichert werden.

Integrale der Form\int f(g(x)) g'(x)\,dx sollten also umgeschrieben werden können. Im Lehrgang wird häufig speziell die logarithmische Integration benötigt; es ist sinnvoll, wenn dazu mehrere Beispiele behandelt werden, damit später keine Problemhäufung entsteht; also: .\int\frac{f'(x)}{f(x)}  \,dx = ln|f(x)| + C

Zur Verdeutlichung der Lösung von Differenzialgleichungen können sog. Richtungsfelder eingesetzt werden; diese werden zunächst an der Tafel entwickelt, sodann aber mit Computerunterstützung erzeugt. Als Software steht zur Verfügung: Mathematik Interaktiv von Schroedel (liegt i.d.R. der Lehrwerkreihe "Elemente der Mathematik" (EdM) bei).

Aktuell hat W. Fendt ein geeignetes Java-Applet zum Richtungsfeld erzeugt.

Hinführung der Schüler zum Thema oder "Wo kommt so was vor?"

Falls die Lerngruppe über die Physik motivierbar ist, bietet sich das Schraubenfederpendel an:

Mit dem Hooke'schen Gesetz und der Newton'schen Bewegungsgleichung kann man ansetzen:

-D \cdot s(t)=m \cdot \ddot s(t)

oder

 \ddot s(t) = \frac{-D \cdot s(t)}{m}

Versucht man diese Differenzialgleichung zu lösen mit

 \!\ s(t)=e^{kt} , stößt man auf einen Widerspruch!

Hoffentlich kommt man dann auf s(t) = sin(kt)...

Wenn man diese Funktion in obige Differenzialgleichung einsetzt, kommt man auf sinnvolle Ergebnisse; insbesondere auf

k=\sqrt{\frac{D}{m} }

und schließlich auf die Schwingungsdauer

T=2\pi \sqrt \frac{m}{D}

was durch die Messung bestätigt wird.

Pdf20.gif ausführliche Darstellung

Ein anderes Beispiel wäre die Wachstumsgeschwindigkeit eines Kapitals bei einer Verzinsung von z.B. 3%. Dies liefert bekanntlich die Differenzialgleichung K'(t)=K(t) \cdot \ln(1{,}03),

wobei sich als Lösung K (t)= 1{,}03^t ergibt.

Entsprechend ist die Wachstumsgeschwindigkeit eines Tierbestandes proportional zum Bestand, also N'(t) = k \cdot N(t)

Oder die Zerfallsrate von radioaktiven Kernen ist proportional zur Zahl der vorhandenen Kerne: N'(t)= -k \cdot N(t)

Maehnrot.jpg
Merke:

Wichtige Erkenntnis für diese Unterrichtsphase:

Wenn wir in der Algebra die Lösung z.B. der Gleichung 3x^2 +5=17 suchen, dann wollen wir Zahlen finden; beim Lösen einer Differenzialgleichung bestimmen wir Funktionen, welche diese Gleichung lösen.

Einstieg in das Thema

Es hat sich bewährt, anfangs zu einer Differenzialgleichung die Lösung anzugeben und durch Probe festzustellen, ob die Lösungsfunktion die richtige ist:

Beispiel:

zu f '(x) = x + f(x) wird angeboten:

f (x)= ex − x − 1

Beim Einsetzen ergibt sich für die linke Seite LS: ex − 1

und für die rechte Seite RS: ex − x − 1 + x= ex − 1

q.e.d.

Separation der Variablen (algebraischer Lösungsansatz)

Lösungsstrategie

Als systematische Lösungsstrategie wird den Schülern mitgeteilt:

Maehnrot.jpg
Merke:

Ordne die Differenzialgleichung, indem Du alle Terme mit f auf eine Seite bringst und alle Terme mit x auf die andere.

Sodann werden beide Seiten integriert, da das Integrieren die Umkehroperation zum Differenzieren ist.

1. Beispiel

f '(x) = f(x) mit f(x) > 0

Separation:

\frac{f ' (x)}{f(x)} = 1

Integrieren:

\int \frac{f ' (x)}{f(x)} \,dx = x+C \quad \Rightarrow

ln (|f(x)|) = x + C \Rightarrow \quad

(da f(x) >0, kann man die Betragszeichen weglassen.)

e x + C = f(x) \Rightarrow

f(x) = K · e x (mit K = eC >0)


2. Beispiel

 \!\ f ' (x) = \frac{2f(x)}{x} \quad ( für x > 0)

\!\ \frac{f '(x)}{f(x)} =\frac{2}{x}

Nach dem Integrieren folgt:

ln (|f(x)|)= 2 ln(x) + C \Rightarrow

e 2 ln(x) + C = |f(x)| \Rightarrow

 \!\ (e^{ln x})^2 \cdot e^C = |f(x)| \quad

(mit eC = K >0. Nach Fallunterscheidung erhält man

f(x) = +K · x2 bzw. f(x) = -K · x2

CSchmitt Parabelschar.jpg


3. Beispiel

Entsprechend ergibt sich für \frac{f '(x)}{f(x)} =\frac{-1}{x} \quad mit x>0, f(x)> 0

als Lösung (vgl. ausführliche Rechnung) f(x) = \frac{K}{x}


4. Beispiel (Tangentenproblem)

Bestimme alle Funktionen f, für die gilt: Die Tangente an den Grafen von f an der Stelle x0 schneidet die x-Achse an der Stelle x0 - 4

Über die Tangentengleichung erhält man t(x0 - 4) = 0 = f '(x0).(x0-4-x0) + f(x0)

Daraus ergibt sich: f(x0) = 4 f '(x0) oder (x0 ist beliebig wählbar)

{\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{4} }

Aus beidseitigem Integrieren folgt:

ln(|f(x)|) =\frac{1}{4} x +C\quad und \quad e^{0,25x} \cdot e^C =|f(x)|

Die Fallunterscheidung weist folgende Funktionenenscharen als Lösungen aus (mit a>0):

f(x)=+a\sqrt[4]{e^x} \quad    oder\quad f(x)=-a\sqrt[4]{e^x}

CSchmitt TangenteDiffgl.jpg

In der Grafik sieht man deutlich, wie (z.B. für den Scharparameter a = +1) die Tangente an der Stelle 4 die Nullstelle 4-4=0 hat.


5. Beispiel (Tangentenproblem)

Bestimme alle Funktionen f, für die gilt: Die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x0 verläuft durch den Punkt P(0|-1)

Als Lösung ergibt sich hier die Funktionenschar f(x) = \pm ax-1



6. Beispiel (Normalenproblem)

Bestimmen Sie alle Funktionen mit f(x)\ge 0 , für die folgendes gilt:

Die Normale des Graphen der Funktion f an der Stelle x0 schneidet die x-Achse an der Stelle x0+2.

Zunächst ist die Gleichung für eine Normale an der Stelle x0 einer Funktion f zu notieren.

n(x)=-\frac{1}{f'(x_0)} \cdot \left( x-x_0 \right) + f(x_0)

An der Stelle x0+2 soll die Normale n an der Stelle x0 des Graphen der Funktion f die x-Achse schneiden, der Funktionswert der Normale n ist an der Stelle x0+2 daher Null.

Die Normale soll also durch den folgenden Punkt verlaufen.

P(x_0+2|0)

Wird dies in der Gleichung für eine Normale eigesetzt, ergibt sich folgendes (zwischen x und x0 muss hier genau unterschieden werden, da x0+2 nur für x eingesetzt wird, da dies die Variable der Normale ist).

0=-\frac{1}{f'(x_0)} \cdot \left( x_0+2-x_0 \right) + f(x_0)

0=-\frac{2}{f'(x_0)}+f(x_0)

Da der Wert für x0 beliebig ist, können wir x0 durch x ersetzten.

0=-\frac{2}{f'(x)}+f(x)

Nun wenden wir das Separationsverfahren an und formen entsprechend um.

0=-\frac{2}{f'(x)}+f(x) \qquad \qquad | +\frac{2}{f'(x)}

\frac{2}{f'(x)}=f(x) \qquad \qquad | \cdot f'(x)

2=f'(x) \cdot f(x)

Nach der Integration auf beiden Seiten folgt.

2x+C = \frac{ \left( f(x) \right) ^2 }{2}

Nun wird nach f(x) umgeformt und wir erhalten folgenden Term für die Funktion f.

f(x)=\sqrt{ 4x+K}

Zur Illustration der Graph von f und die Normale an der Stelle 2:

Liberté Bildschirmfoto 2013-05-01 um 17.47.09.png


7. Beispiel (Normalenproblem)

Bestimme alle Funktionen mit f(x)>0, für die gilt:

Die Normale des Grafen von f an der Stelle x0 schneidet die y-Achse im Punkt P(0|f(x0)+4).

Richtungsfelder (grafischer Lösungsansatz)

1. Beispiel

f '(x) = f(x)

Wähle zunächst: f '(x) = f(x) = 1

In allen Punkten, für die der Funktionswert 1 ist, muss die Steigung 1 sein ("Tangentenstücke" im Tafelbild einzeichnen).

Entsprechend für f '(x) = f(x) = 2.

Das nachfolgende Blatt austeilen und erkennen lassen: Dieses Richtungsfeld wird von f (x) = ex gelöst;
(genauer: f(x)=K \cdot e^{x}; \quad K \epsilon \Re )


AngelaG Exponentailfunktion.png

Welche Funktionen gehören zu den anderen "Tangentenstücken"? (letztere sind im zweiten Bild noch teilweise eingetragen).

Richtungsfeld.jpg


f(x)=K * e x ; für -1\le K\le 10



2. Beispiel

f ' (x) = \frac{2f(x)}{x}

Zunächst wieder Tafelbild mit f(x) = 1.

Für alle Punkte mit f(x) = 1 gilt

f ' (x) = \frac{2}{x}

Entsprechend zeichnet man die "Tangentenstücke" und studiert das 3. Bild:

Richtungsfeld2.jpg

Eine Parabel ist eingezeichnet; die ganze Schar von Grafen entnimmt man dem Richtungsfeld.


3. Beispiel

Analoges Vorgehen für:


Richtungsfeld3.jpg


4. Beispiel

f'(x)=-\frac{1}{2} \cdot f(x) +1

Liberté Bildschirmfoto 2013-04-11 um 19.53.59.png

Zum Vergleich: Über Separation findet man folgende Darstellung für die Funktionenschar: f(x) =2 \pm 2ke^{\frac{-x}{2} } \quad mit k>0


5. Beispiel

Auch kompliziertere Differenzialgleichungen lassen sich übersichtlich darstellen:

f '(x) = xef(x) = 0


CSchmitt Richtungsfeld komplex.jpg

Zum Vergleich: Durch Separation findet man für die Funktionenschar

f(x)= ln\left( \frac{-2}{x^2+k}\right)  \quad mit k<0

Dabei hat z.B. die zweite Scharkurve von oben den Parameter k= -4



vgl. dazu auch

Java-Applet zum Richtungsfeld



Das Euler-Verfahren zum numerischen Lösen einer Differenzialgleichung

Die Lösung einer Differenzialgleichung durch Separation ist nicht immer einfach und nicht immer überhaupt möglich;
vgl. z.B. f '(x) = f(x) + x

In solchen Fällen bietet es sich an, die Funktionswerte der gesuchten Funktion f durch ein geeignetes Approximationsverfahren zu bestimmen: Im folgenden Beispiel sehen wir wie der Versuch gemacht wird, den Funktionswert an der Stelle 3 über die Tangente an der Stelle 2 anzunähern. Natürlich werden die Funktionswerte dieser Tangente und der Funktion f an der Stelle 3 abweichen (vgl. den roten Balken); aber dieser Fehler würde geringer, wenn man die Schrittweite h ab 2 verkleinern würde.

Eulertangente.jpg

Im Zentrum eines entsprechenden Ansatzes steht die "Gleichung für eine Tangente zur Funktion f an der Stelle x0"

t(x) = f '(x0)(x-x0)+f(x0)

Mit Hilfe der obigen Tangentengleichung erhält man für den Funktionswert der Tangente

an der Stelle x0 +h:

t(x0 +h) = f '(x0)h+f(x0)

Wichtig dabei ist:

  • t(x0 +h) ist aus den o.g. Gründen nur ein Näherungswert für f(x0 +h)
  • für die gesuchte Funkion f benötigen wir wenigstens als Stützpunkt einen Funktionswert f(x0) an einer Stelle x0
  • Wenn man mit Hilfe von f(x0) einen Näherungswert für f(x0+h) berechnet hat, kann man damit einen Näherungwert für f(x0+2h) ermitteln; etc. Das allgemeine Eulerverfahren ist also erklärt durch
f(xk+1 ) \approx f(xk)+f '(xk) h


1. Beispiel

Als erstes Beispiel

wählen wir unsere einfachste Differenzialgleichung

 \!\ f'(x)=f(x)

mit f(0)=1 (also Stützpunkt ist P(0|1))

und der Schrittweite h=1

Schritt xk f(xk) f ' (xk)=f(xk) f(xk+1)= f ' (xk) h+f(xk)
0 0 1 1 2
1 1 2 2 4
2 2 4 4 8
3 3 8 8 16
4 4 16 16 32

Die genauere Prüfung der Tabelle ergibt, dass wir die falsche Funktion in der Wertetabelle haben: f(x)= 2x statt f(x)= ex

Schritt xk f(x_k)=2^{x_k} f ' (xk)=f(xk) f(xk+1)= f ' (xk) h+f(xk)
0 0 1 1 2
1 1 2=2^1 2 4
2 2 4=2^2 4 8
3 3 8=2^3 8 16
4 4 16=2^4 16 32

Der Funktionswert an der Stelle 2 sollte e2 \approx 7,39 sein; der Fehler ist also noch sehr groß bei der Schrittweite h=1.

Wir testen mit Schrittweite h=0,5

Schritt xk f(xk) f ' (xk)=f(xk) f(xk+1)= 0,5 f ' (xk) +f(xk)
0 0 1 1 1,5
1 0,5 1,5 1,5 2,25
2 1 2,25 2,25 3,38
3 1,5 3,38 3,38 5,07
4 2 5,07 5,07 7,61

und erhalten als Funktionswert an der Stelle 2 immerhin schon 5,07 (statt 7,39); somit sind die SuS zwangsläufig motiviert, die Schrittweite weiter zu verkleinern und die Unterstützung eines Computerprogrammes in Anspruch zunehmen.

Allerdings lässt sich auch ohne Programmierkenntnisse und mit Hilfe einer EXCEL-Tabelle für die Schrittweite h=0,1 der Funktionswert f(2)\approx 6,73 darstellen.

Für die Schrittweite h = 0,01 ergibt sich f(2)\approx 7,32.


2. Beispiel

Als zweites Beispiel

wählen wir die Differenzialgleichung f '(x) = f(x) + x

Diese ist- wie schon festgestellt - durch Separation nur schwer bzw. über Umwege zu lösen; jedenfalls ergibt sich auf algebraischem Wege als Lösung:

f(x) = aex - x - 1

Wir testen das Eulerverfahren

f(xk+1 ) \approx f(xk)+f '(xk) h

mit dem Startwert f(1) = 1 und der Schrittweite h = 0,1

Schritt xk f(xk) f ' (xk)=f(xk) + xk f(xk+1)= 0,1 f ' (xk) +f(xk)
0 1 1 2 1,2
1 1,1 1,2 2,3 1,43
2 1,2 1,43 2,63 1,693
3 1,3 1,693 2,993 1,9923
4 1,4 1,9923 3,3923 2,33153
5 1,5 2,3315 3,83153 2,71463

Vergleichen wir dies mit der algebraischen Lösung

f(x) = aex - x - 1 ,

wobei wegen f(1) = 1 gilt

a = \frac{3}{e} ,

so erhalten wir

f(1,5) = 2,446

bzw. 2,332 mit der Euler-Näherung bei Schrittweite h=0,1; (nachfolgend die Original-Excel-Ausgabe)


Excelbild Euler.jpg


Bei Schrittweite h = 0,01 liefert Euler sogar 2,418 an der Stelle 1,5

(Vergleicht man die Ergebnisse z.B. an der Stelle 3, so gilt f(3)=18,166 wohingegen Euler bei h=0,01 den Wert 17,876 errechnet)


Weitere Beschreibung

Eine weitere Beschreibung des Verfahrens finden Sie bei Ulrich Streit, Skript zur Übung "Werkzeuge zur numerischen Modellierung", 1999

Die Runge-Kutta Methode

Die Runge-Kutta Methode ist ein verfeinertes Eulerverfahren; die Idee ist folgende:

Zu einer zunächst gegebenen Schrittweite h wird ein Eulerschritt durchgeführt und
f(xk +h ) = f(xk)+f '(xk) h berechnet.

Sodann führt man - mit gleichem Startwert - zwei Eulerschritte durch mit jeweils Schrittweite \frac{h}{2} und vergleicht das Ergebnis mit f(xk +h ).

Ist die absolute Differenz größer als eine vorgegebene \epsilon -Schranke, wird die ursprüngliche Schrittweite halbiert, ist die absolute Differenz kleiner als eine vorgegebene \delta -Schranke, wird die ursprüngliche Schrittweite verdoppelt, und das Verfahren beginnt von vorn;

in allen anderen Fällen läuft das Verfahren weiter, es folgt also der nächste Euler-Schritt.


Beispiel zum klassischen Runge-Kutta-Verfahren

Weitere Information unter

Ulrich Streit, Skript zur Übung "Werkzeuge zur numerischen Modellierung", 1999

G.Engeln-Müllges / Formelsammlung zur Numerischen Mathematik / ISBN 3-411-03111-5


Differenzialgleichungen für exponentielle Prozesse

Exponentielles Wachstum

Beim exponentiellen Wachstum ist die momentane Änderungsrate proportional zum jeweiligen Bestand; also:

f'(t) = k \cdot f(t)

Wie oben vorgeführt, findet man über Separation die Lösung:

|f(t)| = aekt mit a>0,

wobei sich für positive Funktionswerte ergibt:

f(t) = aekt

ansonsten gilt:

f(t) = -aekt

Wenn man umgekehrt diese Lösungsfunktion ableitet, ergibt sich:

f'(t) = k \cdot f(t)

Also:

Maehnrot.jpg
Merke:
Exponentielles Wachstum

Die momentane Änderungsrate ist proportional zum jeweiligen Bestand. \Leftrightarrow Das Wachstum wird durch eine Exponentialfunktion mit f(t) = bekt beschrieben; (b und k sind bel. reelle Zahlen).

Begrenztes Wachstum

Folgendes Problem weckt auch in der Oberstufe maximales Interesse:

In einer (kleinen) Schule mit 100 Schülern wird zum Unterrichtsbeginn das Gerücht gestreut: "Die Sommerferien sind in diesem Jahr eine Woche länger!"

Welche Funktion beschreibt die Ausbreitung des Gerüchtes?

Wenn f(t) die Anzahl der Schüler angibt, welche das Gerücht bereits kennen, dann ist die Änderungsrate proportional zu 100 - f(t), oder, wenn sich allgemein f(t) einer Grenze G nähert:

\!\ f'(t) = k \cdot (G-f(t))

Separation auch für diese Differenzialgleichung:

\frac{f'(t)}{G-f(t)} = k \quad \Leftrightarrow \quad
\frac{f'(t)}{f(t)-G} = -k \quad \Leftrightarrow \quad
\ln(|f(t)-G|)=-kt + C

Fallunterscheidung:

1.Begrenzte Zunahme, also f(t) < G

\ln(G - f(t)) = -kt + C \quad \Leftrightarrow \quad a \cdot e^{-kt} = G - f(t) \quad \Leftrightarrow

f(t) = G − a · e−kt mit a = eC > 0

Grenze1.jpg


2.Begrenzte Abnahme, also f(t) > G (z.B. Abkühlung Kaffee auf Raumtemperatur)

\ln(f(t)-G) = -kt + C \quad \Leftrightarrow \quad a \cdot e^{-kt} = f(t)-G \quad \Leftrightarrow

f(t) = G + a · e−kt

Grenze2.jpg


Begrenztes Wachstum: Die momentane Änderungsrate ist proportional zu G − f(t) \Leftrightarrow Das Wachstum wird durch eine Exponentialfunktion mit f(t) = G + b · e−kt beschrieben; (b und k sind beliebige reelle Zahlen)

1.Beispiel

G = 100; f(0) = 2; f(10) = 90; f(15) = ?; f(t) = 98

f(0) = 100+b = 2\quad\Rightarrow \quad b = -98 \quad \Rightarrow \quad f(t) = 100 - 98 \cdot e^{-kt}

f(10) = 100 - 98 \cdot e^{-10k} = 90 \quad \Rightarrow \quad \frac{10}{98} = e^{-10k} \quad \Rightarrow \quad k = 0{,}23

f(t) = 100 − 98 · e−0,23t

Grenze3.jpg

f(15) = 96,89

f(t) = 98 \Rightarrow t=16,92


2.Beispiel

Abkühlung von Kaffee

Der Kaffee habe die Starttemperatur von 80°C; die Umgebungstemperatur sei 20°C. Die Abkühlung pro Minute betrage 15 % der noch vorhandenen Temperaturdifferenz.

a) Welche Funktion f beschreibt den Temperaturverlauf?

b) Spätestens bei 40°C ist der Kaffee trinkbar; nach wie viel Minuten ist das der Fall?

Ansatz für a):
\!\ f'(t) = -0{,}15 (f(t)-20)

\frac{f'(t)}{f(t)-20} = -0{,}15 \quad \Rightarrow \quad 
\ln(f(t)-20) = -0{,}15t + C \quad \Rightarrow

a e^{-0{,}15t} = f(t) - 20 \quad \Rightarrow

f(t) = 20 + a e−0,15t

Am Anfang gilt:

f(0) = 20 + a \Rightarrow a = 60 \Rightarrow

f(t) = 20 + 60 e−0,15t

AbkuehlungKaffee.jpg

b) 20 + 60 e−0,15t = 40 \Rightarrow 60 e−0,15t = 20 \Rightarrow e^{-0{,}15t} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad t = 7{,}32

Man müsste also gut 7 Minuten warten.

Logistisches Wachstum

In einer großen Stadt wird sich ein Gerücht zunächst ungehindert, d.h exponentiell ausbreiten; die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist also proportional zu der Zahl derer, welche das Gerücht schon kennen; sobald schon sehr viele Einwohner informiert sind, wird die Ausbreitungsgeshwindigkeit proportional zur Zahl der Personen sein, welche das Gerücht noch nicht kennen.

Welche Funktion beschreibt die Ausbreitung des Gerüchtes?

Es gilt hier, zwei Proportionalitäten zu verwalten:

  1. f'(t) proportional f(t), falls f(t) "klein" im Vergleich zur Zahl G der Einwohner ist
  2. f'(t) proportional G − f(t), falls f(t) sich G nähert.

f'(t) = k · f(t) · (G − f(t))

Separation und Partialbruchzerlegung liefern folgende Lösung für die Funktion f:

Logistisches Wachstum: Das Wachstum wird durch eine Exponentialfunktion mit f(t) = \frac{G}{1+b \cdot e^{-Gkt}} beschrieben; (b und k sind beliebige reelle Zahlen)

Logistisches Wachstum.jpg

Das Wachstum ist also am Anfang exponentiell, am Ende begrenzt.


Zum Parameter b:

f(0) = \frac{G}{1+b} \quad \Rightarrow \quad 1+b = \frac{G}{f(0)} \quad \Rightarrow \quad b = \frac{G}{f(0)} - 1

Also:

f(t) = \frac{G}{1+b \cdot e^{-Gkt}} = \frac{G}{1+\frac{G-f(0)}{f(0)}e^{-Gkt} }


Überlegung zur Wendestelle beim logistischen Wachstum:


1.Beispiel:

f(0) = 1; G = 100; f(3) = 10; f(10) = ?; f(t) = 99

f(3) = \frac{100}{1+99\cdot e^{-300k} } = 10\quad\Rightarrow\quad 1+99 \cdot e^{-300k} = 10 \quad \Rightarrow \quad 99 \cdot e^{-300k} = 9 \quad \Rightarrow \quad e^{-300k} = \frac{1}{11} \quad \Rightarrow \quad 
-300k = \ln\frac{1}{11} \quad \Rightarrow \quad k = 7{,}99 \cdot 10^{-3} \quad \Rightarrow

f(t) = \frac{100}{1+99 \cdot e^{-0,799t}}

Logistisches Wachstum2.jpg

f(10) \approx 96,75

f(t) = 99 \Rightarrow t\approx 11,5


2.Beispiel:

Pdf20.gif Motivierende Anwendung; vorgeschaltet ist eine alternative Herleitung der Funktion des logistischen Wachstums (u.a. ohne Partialbruchzerlegung).

Die PDF-Datei entstammt aus einem Projekt der Stormarnschule (in Ahrensburg / Schleswig-Holstein)


vgl. auch Medienvielfalt-Wiki (Abschnitt Logistisches Wachstum und folgende)

Einsatz eines Simulationsprogrammes (hier Dynasys)

Der Autor (Walter Hupfeld) schreibt über sein Programm: "Dynasys - Modellbildung und Simulation dynamischer Systeme Dynasys ist ein Werkzeug zur Modellierung und Simulation dynamischer Systeme.

Mit ihm lassen sich Simulationsmodelle mit Hilfe der Modellbildungsmethoden der System Dynamics auf einfache Weise realisieren. Das Programm wurde für die Anforderungen des Unterrichts konzipiert und ermöglicht eine einfache Umsetzung der Modelle in eine ausführbare Form. Die Ergebnisse der Simulation können sofort graphisch dargestellt und ausgedruckt werden." (Download des Programmes Dynasys).

A. Anwendungsbeispiel: Lineares Wachstum

Aus "didaktischen Gründen" trauen wir den Hasen zunächst nur lineares Wachstum zu und geben dies und die Anfangsbedingungen entsprechend in das Flussdiagramm ein.

DynasysLinear.jpg

Aus den Startbedingungen erzeugt das Programm dann den Grafen der gesuchten Funktion..


Der rechnerische Ansdatz wäre:

f(0)=50 (Bestand am Anfang)

f '(t)= 2 (Änderungsrate des Bestandes; wird integriert)

f(t)=2t+C \quad \Rightarrow

f(t)=2t+50

B. Anwendungsbeispiel: Exponentielles Wachstum

Jetzt ist die Änderungsrate abhängig vom Bestand; im einfachsten Fall gehen wir von einer Proportionalität aus; z.B. f '(t) = 0,1\cdot f(t)

Durch Separation würde man - wie oben beschrieben - f(t)= a\cdot e^{0,1t} erhalten;


Die Anfangsbedingungen und die "Differenzialgleichung" arbeitet man wieder in das Flussdiagramm ein, der "Programmtext" von Dynasys steht rechts, und das unten erzeugte Schaubild passt zur algebraischen Lösung.

DynasysExpo.jpg

C. Anwendungsbeispiel: Exponentieller Zerfall

Bei der Abnahme (hier Abfluss) wird die Änderungsrate automatische negativ gerechnet; vgl. "Dynasys-Programm";

Der Benutzer hat keinerlei algebraischen Aufwand mit der Lösung der Differenzialgleichung \!\ f '(t)=-0,1f(t) und erhält unten den passenden Grafen:

DynasysExpoZerfall.jpg

D. Anwendungsbeispiel: Freies Wachstum (Zunahme *und* Zerfall; jeweils abhängig vom Bestand)

Hier gilt es, Zunahme und Abnahme der Hasen zu berücksichtigen; exponentiell ergibt sich hier ein Wachstum, da der Geburtsfaktor größer als die Sterberate ist. Dynasysfrei.jpg

E. Anwendungsbeispiel: Begrenztes Wachstum

Annahme: Die Wiese bietet Klee und Lebensraum für höchstens 1000 Hasen. Für die Wachstumsgeschwindigkeit ergibt sich - wie oben ausgeführt - der Ansatz

\!\ f'(t) = k \cdot (1000-f(t))

Wenn man die Differenzialgleichung und die Anfangsbedingungen wieder in das Flussdiagramm überträgt, erzeugt Dynasys den entsprechenden Grafen der Funktion:


DynasysBegrenzt.jpg

F. Anwendungsbeispiel: Logistisches Wachstum

Wie oben dargelegt, verläuft das begrenzte Wachstum hier anfangs exponentiell:


LogistischesWachstum.jpg

G. Anwendungsbeispiel: Räuber-Beute Modell

Die dynamischen Zusammenhänge sind hier sehr komplex; so ist das Anwachsen der Zahl der Füchse vom Sterben der Hasen durch Jagd abhängig. Der Programmautor (Walter Hupfeld) selbst hat das nachfolgende Flussdiagramm entwickelt; dabei hat er auch biologische Daten zugrunde gelegt; (also z.B. wieviel Überlebensenergie liefert ein erlegter Hase dem Fuchs? vgl.dazu auch das Handbuch zu Dynasys ab Seite 22). Entsprechend sind die Differenzialgleichungen und die biologischen Parameter nachfolgend eingearbeitet:

RaeuberBeute.jpg RaeuberBeuteGraf.jpg



ausführliches Handbuch zu Dynasys


→ Dynasys