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Umwege

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Algebraischer Lösungsansatz für f '(x) = f(x) + x

Transformation g(x) = x + f(x)  \Rightarrow g ' (x) = 1 + f '(x) = 1+ x + f(x) = 1 + g(x)

Wir untersuchen also die Differenzialgleichung

g'(x) = 1 + g(x)

Separation: \frac{g'(x)}{1+g(x)}= 1   \Rightarrow ln(1+g(x)) = x + C  \Rightarrow ex+C = 1 + g(x)  \Rightarrow

g(x) = aex -1 = x + f(x)  \Rightarrow

f(x) = aex - x - 1


Probe: f '( x) = aex - 1 = f(x) + x