Wahrscheinlichkeit

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Kommen wir nun zum wohl wichtigsten Begriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Die Wahrscheinlichkeit !

Inhaltsverzeichnis

Was sind Wahrscheinlichkeiten?

Definition-Icon.png Unter Wahrscheinlichkeit versteht man die Chance, dass bei einem Zufallsexperiment ein bestimmtes Ereignis auftritt.

Wahrscheinlichkeiten werden Werte zwischen 0 und 1 zugeordnet. Dabei entspricht die 0, dass das Ereignis mit Sicherheit nicht eintreten kann (unmögliches Ereignis). Bei der Wahrscheinlichkeit 1 trifft das Ereignis mit Sicherheit ein (sicheres Ereignis).

Schreibweise:

P(A) = 0,5 (sprich: Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A ist 0,5)


Zur Veranschaulichung einer Wahrscheinlichkeit kann man sich folgenden Maßstab vorstellen:

Ein Maßstab für Wahrscheinlichkeiten


Hier sind einige Beispiele von Ereignissen, die auf dem Maßstab eingeordnet sind:

Beispiele für Ereignisse am Wahrscheinlichkeitsmaßstab


Multipliziert man die ausgerechnete Wahrscheinlichkeit mit dem Faktor 100, so erhält man das Prozentmaß der Wahrscheinlichkeit:

Eine Wahrscheinlichkeit von 0,12 entspricht also eine Wahrscheinlichkeit von 0,12*100 = 12%.

Wie bestimmt man Wahrscheinlichkeiten?

Um Wahrscheinlichkeiten bei einem Zufallsexperiment zu bestimmen, gibt es verschiedene Strategien. Zwei werdet ihr in diesem Lernpfad kennenlernen.

Die erste Strategie habt ihr im Einstiegsbeispiel schon mithilfe der Applets kennengerlernt: Wenn die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse nicht bekannt oder gegeben sind, wiederholt ihr das Zufallsexperiment häufig, um die Wahrscheinlichkeit schätzen zu können.

Bei genügend großer Anzahl von Wiederholungen des Zufallsexperiments nähern sich die relativen Häufigkeiten der Ereignisse den theoretischen Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse an. Dieser Zusammenhang wird mit dem Gesetz der großen Zahlen bezeichnet.


Eine Frage bleibt euch dabei sicherlich:

Wie oft muss man das Zufallsexperiment wiederholen, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten?

Dies kann man nicht eindeutig beantworten. Das Gesetz der großen Zahlen besagt nur, dass die realtiven Häufigkeiten bei ein größerer Anzahl von Wiederholungen näher an den theoretischen Wahrscheinlichkeiten liegen.

Oder anders gesagt: Je öfter wir das Zufallsexperiment wiederholen, desto mehr nähern sich die realtiven Häufigkeiten den theoretischen Wahrscheinlichkeiten an.

ACHTUNG: Das Gesetz der großen Zahlen sagt nichts darüber aus, wie die absoluten Verteilungen einer Zufallsversuchsreihe aussehen muss. Das heißt, dass wenn man relativ gesehen in einem Spiel sehr wenig 6en gewürfelt hat, nicht automatisch in den nächsten Runden viele 6en fallen müssen, um den Rückstand auszugleichen.

Ein Rückstand eines Ergebnisses wird also in zukünftigen Durchführungen eines Zufallsexperiments nicht ausgeglichen, dies ist leider ein weitverbreiteter Irrtum!

Die andere Strategie ist auf Laplace-Experimenten anwendbar. Was das sind erfahrt ihr auf der nächsten Seite !

Beispiel für das Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten

Ein Achter-Legostein wird wiefolgt mit Zahlen von 1 bis 6 beschriftet, damit er als Würfel dienen kann:

Lego Würfel Ansicht 1 Lego Würfel Ansicht 2

Die Augenzahl 2 ist auf der Unterseite des Legosteins.

Da die Form und die Flächen des Lego-Würfels sehr unregelmäßig sind, kann man die Wahrscheinlichkeit der Augenzahlen am besten durch die häufige Durchführung des Zufallsexperiments bestimmen.

Nun wurde 2000-mal der Legowürfel geworfen und es kam folgendes Ergebnis raus:

Augenzahl Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs
abs. Häufigkeit 24 980 18 176 160 642
rel. Häufigkeit 0,012 0,49 0,009 0,088 0,08 0,321

Durch das Gesetz der großen Zahlen können wir nun annehmen, dass die Wahrscheinlicheiten in etwa mit den relativen Häufigkeiten übereinstimmen. Das heißt:

Die Augenzahl 1 fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,012, also etwa 1,2%.

Die Augenzahl 2 fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,49, also etwa 49%.

Die Augenzahl 3 fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,009, also etwa 0,9%.

Die Augenzahl 4 fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,088, also etwa 8,8%.

Die Augenzahl 5 fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,08, also etwa 8%.

Die Augenzahl 6 fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,321, also etwa 32,1%.

Aufgaben

Aufgabe 1: Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten

Ihr führt folgende Zufallsexperimente 100-mal durch:

a) Ihr werft einen normalen Würfel und betrachtet die Augenzahl als Ergebnis.
Wie oft schätzt ihr, dass die Augenzahl 4 fällt? Begründe deine Antwort und tausche dich mit deinem Übungspartner aus!
b) Ihr dreht folgendes Glücksrad und betrachtet die Farbe auf dem es stehen bleibt:
Gluecksrad8.png
Wie oft kommt das Glücksrad auf die Farbe rot zum stehen? Begründe deine Antwort und tausche dich mit deinem Übunsgpartner aus!

Aufgabe 2: Schwarzfahrer in der Bahn

Kontrolleure in der Bahn haben in der letzten Zeit 1235 Fahrgäste auf einen gültigen Fahrschein kontrolliert. Darunter waren 87 Schwarzfahrer.

a) Wie wahrscheinlich ist, dass ein Kontrolleur einen Schwarzfahrer bei der nächsten Kontrolle erwischt?
b) Mit wie viel Verlust muss der Verkehrsbetrieb jährlich rechnen, wenn er monatlich 45.000 Fahrgäste befördert und ein Fahrschein 2,70€ kostet?


Aufgabe 3: Alles durcheinander

Chaos beim Würfelexperiment

Gegeben ist folgendes Zufallsexperiment:

Ein zwölfseitiger Würfel wird geworfen und es wird die geworfene Augenzahl betrachtet. Man möchte wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Zahl fällt, die durch 4 teilbar ist.

Ordne den Fachbegriffen den konkreten Angaben zu diesem Würfelexperiment zu.

Ergebnismenge {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Ereignis "Es fällt eine Zahl, die durch 4 teilbar ist"
Ereignismenge {4, 8, 12}
Wahrscheinlichkeit P(E) = 0,25
Wahrscheinlichkeit in Prozent 25%

Aufgabe 4: Würfelexperiment

Ihr seht hier Würfelnetze dreier verschiedener Würfel:

1) Wuerfelnetz1.png
2) Wuerfelnetz2.png
3) Wuerfelnetz3.png


Johann hat mit einem der Würfel 125 Würfe gemacht und die Augenzahl bei jedem Wurf notiert. Hier ist seine Tabelle mit den Häufigkeiten:

Augenzahl Eins Zwei Drei
Häufigkeit 36 69 20

Mit welchem Würfel hat Johann wohl geworfen? Begründe deine Antwort!


Aufgabe 5: Musik-Dienste

Im Jahr 2017 gibt es 136,3 Mio. zahlende Nutzer von Musik-Streamingdiensten

Folgende Nutzerzahlen wurden dabei ermittelt:

Spotify Apple Music Amazon Music Andere
54,52 Mio 25,897 Mio 16,356 Mio 39,527 Mio

Auf der Straße wird zufällig ein zahlender Nutzer von einem Streamindienst getroffen. Wie wahrscheinlich ist es...

a) dass er Kunde von Amazon Music ist?
b) dass er nicht Kunde von Apple Music ist?
c) dass er Kunde von Spotify oder einem anderen (Andere) Dienst ist?



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