A11

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Inhaltsverzeichnis

1. Aufgabe von --Alex99OB (Diskussion) 13:19, 9. Jul. 2016 (CEST) bearbeitet

1.1

(1)

s\left ( x \right )=\frac{1}{2}\left ( e^{x} -e^{-x}\right )


c\left ( x \right )=\frac{1}{2}\left ( e^{x}+e^{-x} \right )


s'\left ( x \right )=\frac{1}{2}\left ( e^{x}+e^{-x} \right )=c\left ( x \right )


c'\left ( x \right )=\frac{1}{2}\left ( e^{x} -e^{-x}\right )=s\left ( x \right )

(2)

s\left ( -x \right )=\frac{1}{2}\left ( e^{x}-e^{-x} \right )=-s\left ( x \right )


c\left ( -x \right )=\frac{1}{2}\left ( e^{-x}+e^{x} \right )=c\left ( x \right )

(3)

\left ( c\left ( x \right ) \right )^{2}-\left ( s\left ( x \right ) \right )^{2}=\left ( \frac{1}{2}\left ( e^{x}+e^{-x} \right ) \right )^{2}-\left ( \frac{1}{2}\left ( e^{x}-e^{-x} \right ) \right )^{2}=\frac{1}{4}\left ( e^{2x}+e^{-2x}+2 \right )-\frac{1}{4}\left ( e^{2x}+e^{-2x}-2 \right )

=\frac{1}{4}\left ( e^{2x}+e^{-2x}+2-e^{2x}-e^{-2x}+2 \right )=\frac{1}{4}\cdot 4=1

1.2

\left ( sin\left ( x \right ) \right )^{2}+\left ( cos\left ( x \right ) \right )^{2}=1

sin'\left ( x \right )=cos\left ( x \right )

Diese Gleichung zeigt das die Ableitung des sin der cos ist.

cos'\left ( x \right )=-sin\left ( x \right )

sin\left (- x \right )=-sin\left ( x \right )

cos\left (- x \right )=cos\left ( x \right )

2. Aufgabe von --Alex99OB (Diskussion) 13:39, 9. Jul. 2016 (CEST) bearbeitet

p=c(2)

c\left ( 2 \right )=3,76

Extremen:

c'\left ( x \right )=\frac{1}{2}\left ( e^{x}-e^{-x} \right )=0

e^{x}-e^{-x}=0 / \cdot e^{x}

e^{2x}-e^{0}=0 / +1

e^{2x}=1

x=0

Ein Extrema liegt an der Stelle x=0 vor.

c''\left ( x \right )=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})> 0

c''\left ( 0\right )=\frac{1}{2}(e^{0}+e^{0})=\frac{1}{2}\cdot 2=1> 0

Da c''(0)>0 ist, ist das Extremum ein Tiefpunkt.

Wendestellen:

c''\left ( x \right )=\frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x})= 0

e^{x}+e^{-x}=0/ \cdot e^{x}

e^{2x}+e^{0}=0 /  -1

e^{2x}=-1

Dies ist nicht Lösbar also gibt es keine Wendestellen.

Abitur A11 Nr 2





























3. Aufgabe von --Alex99OB (Diskussion) 13:54, 9. Jul. 2016 (CEST) bearbeitet

1.

g\left ( x \right )=ax^{2}+1

g\left ( 2 \right )=p=3,76

Diesen wert muss man in die Gleichung einsetzten um a herauszufinden.

g\left ( 2 \right )=a2^{2}+1=3,76/-1

4a=2,76/:4

a=0,69

Da man a herausgefunden hat gibt man diesen in die Formel an und man hat die Gleichung der quadratischen Näherungsparabel g.

g\left ( x \right )=0,69x^{2}+1

2.

g\left ( x \right )-c\left ( x \right )=f\left ( x \right )

f(x)=0,69x^{2}+1-\frac{1}{2}\left ( e^{x}+e^{-x} \right )

Damit amn das Intervall ausrechnen kann muss man die Stammfunktion bilden.

F\left ( x \right )=0,69\frac{x^{3}}{3}+x-\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x}

Man integriert diese Funktion, wodurch man herausfindet wie nah diese Funktionen zueinander verlaufen.

\int_{-2}^{2}f\left ( x \right )dx=\left [ 0,23x^{3}+x-\frac{1}{2}e^{x}+\frac{1}{2}e^{-x} \right ]_{-2}^{2}=0,43

Der Wert des Intervalls beträgt 0,43. Da das Ergebnis sehr klein ist verlaufen beide Funktionen sehr nah beieinander.


Abitur A11 nr 3


































4. Aufgabe von--Alex99OB (Diskussion) 17:14, 9. Jul. 2016 (CEST) bearbeitet

1.

A\left ( x \right )=2x\left ( 3,76-\frac{1}{2}\left ( e^{x}+e^{-x} \right ) \right )

=7,52x-x\left ( e^{x}+e^{-x} \right )

Diese Gleichung muss man ableiten, damit man das Extremum bestimmen kann.

A'\left ( x \right )=7,52-\left [ 1\left ( e^{x}+e^{-x} \right )+x\left ( e^{x}-e^{-x} \right ) \right ]

=7,52-e^{x}-e^{-x}-xe^{x}+xe^{-x}

Wenn man diese Gleichung umformt kommt man auf die gegeben Gleichung.

=7,52+e^{-x}\left ( x-1 \right )-e^{x}\left ( x+1 \right )

2.

A\left ( x \right )=2x\left ( 3,76-\left ( 0,69\cdot x^{2}+1 \right ) \right )

Diese muss abgeleitet werden damit man das Extremum bestimmen kann.

A'\left ( x \right )=7,52-4,12x^{2}-2

A'(x)=0

x=1,15

A''(x)<0

Da die zweite Ableitung kleiner 0 ist, ist das Extremum ein Maximum, wodurch man durch das Einsetzten in die Gleichung den maximalen Flächeninhalt ermitteln kann.

A\left ( 1,15 \right )=4,25

Der maximale Flächeninhalt beträgt 4,25. Die obere Schranke der Funktion im Integral von -2 bis 2 liegt bei 4,25 und die untere Schranke liegt bei -4,25.