A13

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Bearbeitet von Addie98OB.20. Dez. 2016 (CEST).

Inhaltsverzeichnis

.Aufgabe

Den Stammumfang der Tanne zu Beginn des Beobachtungszeitraums ermitteln wir mithilfe der Funktion für t = 0.

f(0) =  \frac{4}{1+20e^{-0,05 \cdot 0}} = \frac{4}{21} = 0,19


Auch ohne Betrachtung des Graphen können wir erkennen, dass der Stammumfang der Tanne nicht mehr als 4 Meter betragen kann. Für t \rightarrow \infty laufen die Werte für f(t) gegen 4.

\lim_{t \rightarrow \infty } \frac{4}{1+20e^{-0,05 \cdot t}} = 4



f(t) =  \frac{4}{1+20e^{-0,05 \cdot t}}


Die erste Ableitung bestimmen wir mithilfe der Kettenregel:

f'(x) = h'( g(x) ) \cdot g'(x)


Die äußere Funktion ist h(x) = \frac{1}{x}

Die innere Funktion ist g(x) = 1+20e^{-0,05\cdot t}


f'(t) = -4 \cdot  \frac{-0,05 \cdot 20e^{-0,05\cdot t}}{(1+20e^{-0,05\cdot t})^2} = \frac{4e^{-0,05\cdot t}}{(1+20e^{-0,05\cdot t})^2}


Die zweite Ableitung erreichen wir mithilfe der Quotientenregel:

\frac{f(x)}{g(x)} =  \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}



f''(t) =   \frac{-0,05\cdot 4e^{-0,05 \cdot t} \cdot (1+20e^{-0,05\cdot t})^2 - 4e^{-0,05 \cdot t} \cdot 2(1+20e^{-0,05\cdot t})(-e^{-0,05\cdot t})}{(1+20e^{-0,05\cdot t})^4}

=  \frac{(1+20e^{-0,05\cdot t})\cdot (-0,2e^{-0,05\cdot t} \cdot (1 + 20e^{-0,05\cdot t})) + 8e^{-0,05 \cdot t} \cdot e^{-0,05 \cdot t}}{(1+20e^{-0,05\cdot t})^4}

=  \frac{e^{-0,05 \cdot t} (-0,2 (1+20e^{-0,05\cdot t}) + 8e^{-0,05\cdot t}) }{(1+20e^{-0,05\cdot t})^3}

= \frac{e^{-0,05 \cdot t} (-0,2 - 4e^{-0,05\cdot t}) + 8e^{-0,05\cdot t}) }{(1+20e^{-0,05\cdot t})^3}

= \frac{e^{-0,05 \cdot t} (-0,2 + 4e^{-0,05\cdot t}) }{(1+20e^{-0,05\cdot t})^3}

= \frac{4e^{-0,05 \cdot t} (e^{-0,05\cdot t} - 0,05) }{(1+20e^{-0,05\cdot t})^3}



Wir wollen den Zeitpunkt des stärksten Wachstums ermitteln, gesucht ist also der Hochpunkt der 1. Ableitung.

Die notwendige Bedingung dafür ist f''(x) = 0


Nur der Zähler kann den Term auf 0 bringen.

4e^{-0,05\cdot t} kann nicht 0 werden, also rechnen wir nur mit der Klammer aus dem Zähler weiter.


\begin{align}

e^{-0,05\cdot t} - 0,05 &= 0 \\

e^{-0,05\cdot t} &= 0,05 \\

-0,05t &= ln(0,05) \\

t &=  \frac{-ln(0,05)}{0,05} \\

t &= 60

\end{align}



Für diese Rechnung kann der Taschenrechner verwendet werden, weil die Aufgabenstellung keine Rechnung verlangt.

\frac{1}{10} \cdot  \int_0^{10} \frac{4}{1+20e^{-0,05 \cdot t}} = 0,24


Das Ergebnis zeigt den durchschnittlichen Stammumfang der Tanne in den ersten 10 Jahren.

.Aufgabe

Gesucht ist der Zeitpunkt, bei dem der Stammumfang 60 cm beträgt. Wir bestimmen also t für f(t) = 0,6.

\begin{align}

0,6 &= \frac{4}{1+20e^{-0,05 \cdot t}} \\

0,6(1+20e^{-0,05 \cdot t}) &= 4 \\

0,6+12e^{-0,05 \cdot t} &= 4 \\

12e^{-0,05 \cdot t} &= 3,4 \\

e^{-0,05 \cdot t} &= 0,28 \\

-0,05t &= ln(0,28) \\

t &= - \frac{ln(0,28)}{0,05} \\ 

t &= 25,45 \\

\end{align}



Um die Umkehrfunktion zu bilden, lösen wir die Funktion nach der Variablen x auf.

\begin{align}

y &= \frac{4}{1+20e^{-0,05 \cdot x}} \\

y(1+20e^{-0,05 \cdot x}) &= 4 \\

1+20e^{-0,05 \cdot x} &=  \frac{4}{y} \\

20e^{-0,05 \cdot x} &=  \frac{4}{y} - 1 \\

e^{-0,05 \cdot x} &=  \frac{1}{5y} -  \frac{1}{20} \\

-0,05 \cdot x &= ln \left( \frac{1}{5y} -  \frac{1}{20} \right) \\

x &= -20 \cdot ln \left( \frac{1}{5y} -  \frac{1}{20} \right) \\

x &= -20 \cdot ln \left( \frac{4}{20y} -  \frac{y}{20y} \right) \\

x &= -20 \cdot ln \left( \frac{4-y}{20y}\right) \\

\end{align}


f^{-1}(t) = -20 \cdot ln \left( \frac{4-t}{20t}\right)


Die Funktion ist eindeutig umkehrbar, weil es für jeden x-Wert genau einen y-Wert gibt. Dies kann man daran erkennen, dass die Funktion streng monoton wachsend ist.

Um das Monotonieverhalten der Funktion zu bestimmen, brauchen wir die erste Ableitung.

f'(t) = \frac{4e^{-0,05\cdot t}}{(1+20e^{-0,05\cdot t})^2}

Wir können erkennen, dass diese immer positiv ist -> streng monoton wachsend

4e^{-0,05\cdot t} > 0

(1+20e^{-0,05\cdot t})^2 > 0



. Aufgabe

Gegeben ist die folgende Bedingung:

f'(t) = c \cdot f(t) \cdot (S - f(t))

Wir sollen zeigen, dass c = \frac{1}{80} gilt.


\begin{align}

\frac{4e^{-0,05\cdot t}}{(1+20e^{-0,05\cdot t})^2} &= c \cdot \frac{4}{1+20e^{-0,05 \cdot t}} \cdot \left(4 - \frac{4}{1+20e^{-0,05 \cdot t}} \right) \\

\frac{4e^{-0,05\cdot t}}{(1+20e^{-0,05\cdot t})^2} &= c \cdot \left(\frac{16}{1+20e^{-0,05 \cdot t}} - \frac{16}{(1+20e^{-0,05 \cdot t})^2} \right) \\

\frac{4e^{-0,05\cdot t}}{(1+20e^{-0,05\cdot t})^2} &= \frac{16c}{1+20e^{-0,05 \cdot t}} - \frac{16c}{(1+20e^{-0,05 \cdot t})^2} \\

\frac{4e^{-0,05\cdot t} + 16c}{(1+20e^{-0,05\cdot t})^2} &= \frac{16c}{1+20e^{-0,05 \cdot t}} \\

4e^{-0,05\cdot t} + 16c &= 16c(1+20e^{-0,05\cdot t}) \\

4(e^{-0,05\cdot t} + 4c) &= 16c(1+20e^{-0,05\cdot t}) \\

e^{-0,05\cdot t} + 4c &= 4c(1+20e^{-0,05\cdot t}) \\

e^{-0,05\cdot t} + 4c &= 4c + 80ce^{-0,05\cdot t} \\

e^{-0,05\cdot t} &= 80ce^{-0,05\cdot t} \\

1 &= 80c \\

\frac{1}{80} &= c 

\end{align}