A2

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.Aufgabe bearbeitet von:--L.Wagner (Diskussion) 15:43, 20. Nov. 2015 (CET)Laurent99OB

Ganzrationale Funktion

Bedingungen

Die Bedingung dieser Aufgabe ist, dass die Funktion bzw. Landstraße durch die Punkte P(0/0) und Q(6/4) läuft. Desweiterem muss die Steigung beim Punkt P 1 sein, da es die lineare Funktion f(x)=x ist, sowie die Steigung beim Punkt Q 0 sein, da es die Funktion g(x)=4 ist. Zudem braucht man einen Wendepunkt und eine Funktion 2. Grades hat dies nicht.

Berechnung der Funktion

Man nimmt die Funktion 3.Grades

Man benötigt eine Kurve, um die Straße zum Fluss zu treffen. Jedoch hat die Funktion 2. Grades auch eine Kurve würde jedoch nicht die Straße zum Fluss vollständig treffen. Aus Diesem Grund funktioniert die Funktion 3. Grades

t(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d

t'(x)=3ax^{2}+2bx+c

Bedingungen sind:

I.t(0)=0

II.t'(0)=1

III.t(6)=4

IV.t'(6)=0


I.0=d

II.1=c

III.-2=216a+36b

IV:-1=108a+12b

IV. erweitert man mit (-2) und man erhält 2=-216a-24b

Man hat es erweitert, um beim Addieren von III. und IV. die Variable a kürzt.

III.+IV.


-2 = 216a +36b
\underline+ \underline2 \underline= \underline{-216a} \underline{-24b}
0 = 0 -12b
0 = b

Man setzt nun für b=0 in die Funktion III. oder IV., i.d.F. III.

Abi1 Aufgabe 1.1

4=216a+6

-2=216a  /:216

-\frac{1}{108}=a

Somit lautet die Funktion:

\underline{t(x)=-\frac{1}{108}x^3+x}

Kurvenverhalten

t(x)=-\frac{1}{108}x^3+x

t'(x)=-\frac{1}{36}x^2+1

t''(x)=-\frac{1}{18}x

Nun bestimmen wir die Extremumstellen, denn somit können wir erkennen, ob es eine Linkskurve oder Rechtskurve ist

Man kann auch nach der Bedingung f''(x)<0 vorrangehen.

0=-\frac{1}{36}x^2+1|-1

-1=-\frac{1}{36}x^2 |-\frac{1}{36}

36=x^2

x_1=6


Um zu bestimmen, ob es sich um ein Hochpunkt handelt, sehen wir in dem wir es in die zweite Ableitung einsetzen.


Abi 2010 A1.2

t''(6)=-\frac{1}{3}

t''(-6)=\frac{1}{3}

Am Punkt (6/4) befindet sich ein Hochpunkt, am Punkt (0/0) ein Wendepunkt

Da t''(x)<0 auf dem Intervall [0;6], handelt es sich um eine Rechtskrümmung.--CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 12:45, 24. Aug. 2016 (CEST)




.Aufgabe bearbeitet von:--Alex99OB (Diskussion) 02:39, 21. Nov. 2015 (CET) Korrigiert von:--Alex99OB (Diskussion) 21:00, 26. Nov. 2015 (CET)

Berechnen mit gegebenen Punkten

Gegeben/Gesucht:

Gegeben ist die Formel f\left ( x \right )=-\frac{1}{108}x^{3}+x und die Punkte P(0/0),R(3/f(3)) und Q (6/4). Diese Punkte liegen alle auf dem Grafen der Funktion f. Man soll zwischen P und R und R und Q die Kurvenlänge herausfinden und am Ende addieren. Dieses Ergebnis soll ein Näherungslängenwert für die Züge des Grafen von 0 bis 6 sein.

Rechenweg

Erst muss man die genauen Koordinaten des Punktes R ausrechnen. Dies macht man indem man in f für x=3 einsetzt.

f\left ( 3 \right )=-\frac{1}{108}\cdot 3^{3}+3

f\left ( 3 \right )=\frac{11}{4}

R\left ( 3/\frac{11}{4} \right )

Der zweite Schritt ist das Ausrechnen der Länge der beiden Graden. Dafür benötigt man den Satz des Pythagoras. Die Formel für den Satz ist c^{2}=a^{2}+b^{2}. Um die Teilabschnitte zu berechnen braucht man die Formel b=x_{2}-x_{1} und a=y_{2}-y_{1}. Da x_{1} und y_{1} sind 0 also ist b= 3 und a=11/4.

L_{1}=\sqrt{3^{2}+\left ( \frac{11}{4} \right )^{2}}

L_{1}=4,1

Bei der zweiten Strecke muss man erst a und b ausrechnen. Dies macht man mit der oben genannten Formel.

a=6-3

a=3

b=4-\frac{11}{4}

b= \frac{5}{4}

Danach muss man a und b in die Pythagorasformel einsetzten.

L_{2}=\sqrt{3^{2}+\left ( \frac{5}{4} \right )^{2}}

L_{2}=3,25

Der letzte Schritt ist das Addieren der beiden Streckenlängen. L=L_{1}+L_{2}

L=4,1+3.25

L=7,35

Der Näherungslängenwert ist 7.35 und somit ganz nah an dem gegebenen Näherungslängenwert von 7.38.


Abitur 2 Nr 2.1 Punkte

Berechnen mit dem Linienintegral und der Keplerischen Faßregel

Gegeben/Gesucht

Gegeben ist die Formel f\left ( x \right )=-\frac{1}{108}x^{3}+x, die Formel L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left [ f'\left ( x \right ) \right ]^{2}}dx und die Formel L=\int_{a}^{b}g\left ( x \right )dx=\frac{1}{6}\cdot (b-a)\cdot \left [ g\left ( a \right )+4\cdot g\left ( \frac{a+b}{2} \right )+g\left ( b \right ) \right ],. Das Integral ist von 0 bis 6, also ist a=0 und b=6. Gesucht ist L, also der Nährungslängenwert für f(x).

Rechenweg

Erst muss man die Ableitung von f(x) bilden.

f\left ( x \right )=-\frac{1}{108}x^{3}+x

f'\left ( x \right )=-\frac{1}{36}x^{2}+1

Dann setzt man in L=\int_{a}^{b}g\left ( x \right )dx für für a=0 und für b=6.

L\int_{0}^{6}\sqrt{1+\left ( -\frac{1}{36}x^{2}+1\right )^{2} }dx

L=\int_{0}^{6}\sqrt{1+\tfrac{1}{1296}x^{4}-\frac{1}{18}x^{2}+1}dx

Von L kann man keine Stammfunktion bilden, deswegen muss man die zweite angegebene Funktion für L benutzten.Dafür benötigt man die Werte von g(0),g(3) und g(6)

g(x)=\sqrt{1+\tfrac{1}{1296}x^{4}-\frac{1}{18}x^{2}+1}

g(3)=\sqrt{2+\frac{1}{1296}\cdot 3^{4}-\frac{1}{18}\cdot 3^{2}}

g(3)=1.25

g(0)=\sqrt{2}

g(6)=\sqrt{2+\frac{1}{1296}\cdot 6^{4}-\frac{1}{18}\cdot 3^{2}}

g(6)=1

Die ausgerechneten Werte für g(x) werden in die Funktion L eingesetzt.

L=\frac{1}{6}\cdot (6-0)\cdot \left [ g\left ( 0 \right )+4\cdot g\left ( \frac{0+6}{2} \right )+g\left ( 6 \right ) \right ]

L=\frac{1}{6}\cdot (6)\cdot \left [ \sqrt{2}+4\cdot \frac{5}{4}+1 \right ]

L=7.41

Der Näherungslängenwert ist 7.41 und somit ganz nah an dem gegebenen Näherungslängenwert von 7.38 und an dem ausgerechnetem Näherungswert von 7,35.

.Aufgabe bearbeitet von:--L.Wagner (Diskussion) 15:21, 23. Dez. 2015 (CET)Laurent99OB

Zur Rechnung (1)

Landwirt A hat vorher ein Feld der größe 6 FE. Auch nach dem Straßenbau soll sein Feld eine Größe von 6 FE haben. Allerdings soll die Feldaufteilung so sein, dass Landwirt A nicht die Straße überqueren muss, um jeden Punkt in seinem Feld erreichen zu können.

Deswegen werden die Felder neu aufgeteilt:

Das Feld von A wird höher, damit er die Ecke, die auf der anderen Straßenseite liegt an B abgeben kann, ohne weniger Land zur Verfügung zu haben. Deswegen sollen das Integral unter der Kurve \int_{0}^{a}f(x)dx und das sich anschließende Rechteck so groß sein, wie Bauer As Feld vorher.

Dies ermöglicht uns in (1) a so zu bestimmen,dass eben genannte Bedingung erfüllt ist.

Die Fläche, die Landwirt B erhält ist hierbei die übrige Fläche innerhalb des ursprünglichen Rechtecks.

Landwirtproblem

Zur Rechnung (2)

Bei Rechnung (2) soll Landwirt A sein Grundstück in einer Dreiecksform oberhalb der Straße erhalten, damit er diese nicht überqueren muss. Natürlich handelt es sich hier nicht um ein richtiges Dreieck, da die Hypothenuse f(x) entspricht, wodurch diese Seite des Dreiecks keine Gerade sein kann.

Dabei wird geschaut, bei welchem Wert a auf der X-Achse die Fläche oberhalb der Funktion 6 entspricht. Hierbei wird zunächst das Rechteck mit den Seitenlängen a und f(a) bestimmt und anschließend der Flächeninhalt unter dem Graphen bis zur Stelle a abgezogen. Dies soll bekanntlich 6 entsprechen, damit Landwirt A kein Land abgeben muss, sodass wir auch hier wieder a bestimmen können.

Die Fläche, die Landwirt B erhält ist hierbei die übrige Fläche innerhalb des ursprünglichen Rechtecks.

Landwirtproblem2