A6

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Inhaltsverzeichnis

. (Aufgabe a) Bearbeitet von: --Tws98OB (Diskussion) 10:53, 31. Dez. 2015 (CET)


f(x)=3 \cdot sin(\frac{\pi}{4}x)

Abitur6


A4 Ableitung

f'(x)=3 \cdot cos(\frac{\pi}{4}x) \cdot \frac{\pi}{4}

=\frac{3\pi}{4} \cdot cos(\frac{\pi}{4}x)


Nullstellen

3 \cdot sin(\frac{\pi}{4}x)=0

sin(\frac{\pi}{4}x)=0

\frac{\pi}{4}x=sin^{-1}(0)

x=0 \cdot \frac{4}{\pi}

x_1=0


sin(\frac{\pi}{4} t)=f(t)

sin(x)=0

x_1=0=\frac{\pi}{4} \cdot t_1 => t_1=0

x_2=\pi=\frac{\pi}{4} \cdot t_2 => t_2=4

x_3=2\pi=\frac{\pi}{4} \cdot t_3 => t_3=8


Der Sinus schneidet an mehr als nur einem Punkt die x-Achse. Um bei unserer Funktion die Nullstellen herauszufinden müssen wir t so berechnen, dass der Wert im Sinus den Term Null werden lässt. Diese Methode ist auf alle weiteren Aufgaben anwendbar.


Extremstellen

f'(x)=0

\frac{3\pi }{4} \cdot cos(\frac{\pi}{4}x)=0

cos(\frac{\pi}{4}x)=0

\frac{\pi}{4}x=cos^{-1}(0)

\frac{\pi}{4}x=\frac{\pi}{2}

x_1=2

f(2)=3

E_1(2/3)

bzw.

cos(\frac{3\pi}{2}x)=0

=>\frac{\pi}{4}x=\frac{3\pi}{2}

x_2=6

f(6)=-3

E_2(2/-3)


Wendepunkte

f''(x)=-\frac{3 \pi}{4} \cdot sin(\frac{\pi}{4}x)\cdot \frac{\pi}{4}

=-\frac{3 \pi^2}{16} \cdot sin(\frac{\pi}{4}x)


f''(x)=0

-\frac{3 \pi^2}{16} \cdot sin(\frac{\pi}{4}x)=0

sin(\frac{\pi}{4}x)=0

\frac{\pi}{4}x=sin^{-1}(0)

\frac{\pi}{4}x=0

x=0

bzw.

sin(\pi)=0 => x=4

sin(2\pi)=0 => x=8

Also..

W_1(0/0)

W_2(4/0)

W_3(8/0)

. (Aufgabe a) Bearbeitet von:--L.Wagner (Diskussion) 18:08, 3. Jan. 2016 (CET)Laurent99OB

Berechnen des Volumens

V=\pi\int_{0}^{8}(3sin(\frac{\pi}{4}x))^2dx

=\pi\int_{0}^{8}(9sin^2(\frac{\pi}{4}x))dx

Wie kommt man auf die Stammfunktion?

(Hier: partielle Integration; Substitution wäre auch möglich gewesen; eine schöne Übung! --CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 14:50, 25. Aug. 2016 (CEST))

\int_{}^{}sin^2(\frac{\pi}{4}x)dx

g'(x)=sin(\frac{\pi}{4}x) g(x)=-\frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{4}x)
h(x)=sin(\frac{\pi}{4}x) h'(x)=(\frac{\pi}{4})cos((\frac{\pi}{4}x)

=-\frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{4}x)\cdot sin(\frac{\pi}{4}x)-\int_{}^{}-\frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{4}x)\cdot \frac{\pi}{4}cos(\frac{\pi}{4}x)dx

=-\frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{4}x)sin(\frac{\pi}{4}x)+\int_{}^{}cos^2(\frac{\pi}{4}x)dx

=-\frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{4}x)sin(\frac{\pi}{4}x)+\int_{}^{}(1-sin^2(\frac{\pi}{4}x))dx

=-\frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{4}x)sin(\frac{\pi}{4}x)+x-\int_{}^{}sin^2(\frac{\pi}{4}x)dx

==>\int_{}^{}sin^2(\frac{\pi}{4}x)dx=-\frac{4}{\pi}cos(\frac{\pi}{4}x)sin(\frac{\pi}{4}x)+x-\int_{}^{}sin^2(\frac{\pi}{4}x)dx

2\int_{}^{}sin^2(\frac{\pi}{4}x)dx=-\frac{\pi}{4}cos(\frac{\pi}{4}x)sin(\frac{\pi}{4}x)+x

\int_{}^{}sin^2(\frac{\pi}{4}x)dx=-\frac{2}{\pi}cos(\frac{\pi}{4}x)sin(\frac{\pi}{4}x)+0,5x


Fortsetzung der Volumenberechnung:

=9\pi[-\frac{2}{\pi}cos(\frac{\pi}{4}x)sin(\frac{\pi}{4}x)+0,5x]_{0}^{8}

=36\pi


Berechnen von m

F_1=F_2

F_1=\int_{0}^{z}f(x)dx-\int_{0}^{z}g(x)dx

F_2=\int_{z}^{4}g(x)dx-\int_{z}^{4}f(x)dx

\int_{0}^{z}f(x)dx-\int_{0}^{z}g(x)dx=\int_{z}^{4}g(x)dx-\int_{z}^{4}f(x)dx

0=\int_{0}^{z}f(x)dx+\int_{z}^{4}f(x)dx-\int_{0}^{z}g(x)dx-\int_{z}^{4}g(x)dx

0=\int_{0}^{4}f(x)dx-\int_{0}^{4}g(x)dx

0=\int_{0}^{4}3sin(\frac{\pi}{4}x)dx-\int_{0}^{4}mxdx

\int_{0}^{4}mxdx=\int_{0}^{4}3sin(\frac{\pi}{4})xdx

[0,5mx^2]_{0}^{4}=7,6394

8m=7,6394

m=0,9549

AbiA6sinus
Ende Laurent

. (Aufgabe b) Bearbeitet von: --Tws98OB (Diskussion) 13:56, 31. Dez. 2015 (CET)

S(t)=a+b \cdot sin(\frac{\pi}{6}t)

Dabei sind S die Sonnenstunden und t der Monat.

Nun haben wir gegeben, dass es im März 100 Sonnenstunden und Mai 200 Sonnenstunden sind, wobei der April als t-Wert 0 hat.

Somit können wir die beiden Koeffizienten a und b folgendermaßen herausfinden;


S(-1)=a+b \cdot sin(-\frac{\pi}{6})(März)

S(1)=a+b \cdot sin(\frac{\pi}{6})(Mai)

---

I.=a-\frac{1}{2}b=100

II.=a+\frac{1}{2}b=200

__________________________

2a=300

a=150


S(1)=150+b \cdot sin(\frac{\pi}{6})=200

150+\frac{1}{2}b=200

b=100


S(t)=150+100 \cdot sin(\frac{\pi}{6}t)


Sonnenstunden im Oktober

S(6)=150+100 \cdot sin(\frac{\pi}{6}\cdot 6)=150


Prozentuale Abweichung zur Wirklichkeit

Wert mit der Formel =150 Sonnenstunden.

Echter Wert =156 Sonnenstunden.

Somit haben wir eine Abweichung von -3,85%.


Wertebereich der Sonnenstunden

Extremstellen

S'(t)=100 \cdot cos(\frac{\pi}{6}t)\cdot \frac{\pi}{6}


S'(t)=0

\frac{100\pi}{6}\cdot cos(\frac{\pi}{6}t)=0

cos(\frac{\pi}{6}t)=0

t_1=3

t_2=9


S(3)=150+100 \cdot sin(\frac{\pi}{6}\cdot 3)=250

S(9)=150+100 \cdot sin(\frac{\pi}{6}\cdot 9)=50


W_S=[50;250]


Mehr als 235 Sonnenstunden

=150+100 \cdot sin(\frac{\pi}{6}t)> 235

A6 3.4 Schaubild Symmsetrie

100 \cdot sin(\frac{\pi}{6}t)> 85

sin(\frac{\pi}{6}t)> 0,85

\frac{\pi}{6}t > sin^{-1}(0,85)

t > \frac{6}{\pi} \cdot sin^{-1}(0,85)

t_1 > 1,94


Schaubild zur Abituraufgabe 6b


sin(1,015)=0,85

sin(\pi)=0 Durch Symmetrie folgt:

sin(1,015)=0,85

sin(\pi)=0 Dies ist die zweite Nullstelle dieser Sinusfunktion. Zieht man nun davon unseren ersten Wert ab, erhält man durch die Symmetrie der Sinusfunktion den zweiten Wert.

sin(\pi-1,015)=0,85=sin(2,13) =>

2,13=\frac{\pi}{6}t

t_2 \le 4,06

]1,94;4,06[ (von Juni bis August)

Durchschnittliche Sonnenstunden von Oktober bis März

OktoberS(6)=150+100 \cdot sin(\frac{\pi}{6}t)=150

NovemberS(7)=150+100 \cdot sin(\frac{\pi}{6}t)=100

DezemberS(8)=150+100 \cdot sin(\frac{\pi}{6}t)=63,4

JanuarS(-3)=150+100 \cdot sin(\frac{\pi}{6}t)=50

FebruarS(-2)=150+100 \cdot sin(\frac{\pi}{6}t)=63,4

MärzS(-1)=150+100 \cdot sin(\frac{\pi}{6}t)=100

Durchschnitt

\frac{526,8}{6}=87,8 Sonnenstunden pro Monat


Rascheste Änderung der Sonnenstunden

S''(t)=\frac{100\pi}{6} \cdot -sin(\frac{\pi}{6}t) \cdot \frac{\pi}{6}

S''(t)=-\frac{100\pi^2}{36} \cdot sin(\frac{\pi}{6}t)

S''(t)=0

sin(\frac{\pi}{6}t)=0

t=0,t=6,t=12


S'''(t)=-\frac{100 \pi ^2}{36} \cdot cos(\frac{\pi}{6}t) \cdot \frac{\pi}{6}

S'''(0)=-14,4

S'''(6)=14,4

S'''(12)=-14,4

Daraus folgt: Rascheste Änderung der Sonnenscheindauer im April.