A7

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Inhaltsverzeichnis

. Bearbeitet von:--Jonas98OB (Diskussion) 18:09, 18. Dez. 2015 (CET)

1.1

Fläche

Begründung:

Die erste Ableitung ist dafür da, um die Steigung der Ausgangsfunktion auszurechnen. Daraus kann man schließen, dass die Ableitungsfunktion durch den Wert des Extremas auf der y-Achse der Funktion gehen muss. Dies kann man ganz einfach anhand dieses Beispieles erkennen:


Beispiel

Hier ist die Ausgangsfunktion f\left( x \right)=x^{ 2 }. Das Extrema, also in dem Fall ein Tiefpunkt, liegt bei 0. Die Ableitung ist f\left( x \right)=2x. Hier kann man klar erkennen das die erste Ableitung durch den Wert des Extremas auf der y-Achse geht.










Dieses oben genannte Kriterium funktioniert auch mit der zweiten Ableitung. Wenn man dies jetzt auf unsere drei Graphen anwendet kann man erkennen, dass der Graph A einen Tiefpunkt hat, dessen Wert auf der y-Achse von dem Graph C geschnitten wird. desweiteren kann man dies nun auch bei dem Graph C und B erkennen. Der x-Wert des Maximums vom Graphen C entspricht dem x-Wert, wo der Graph B die x-Achse schneidet. Man könnte nun auch annehmen, dass der Graph B die Ausgangsfunktion ist, aber da der Graph B kein Extrema besitzt, kann dies nicht möglich sein.

Die einzigste Reihenfolge wäre nun, dass der Graph A f(x) ist, der Graph C f´(x) ist und der Graph B f´´(x) ist.

Diese Lösung kann man damit festigen, dass bei einem Tiefpunkt die Ableitung die x-Achse von unten nach oben kreuzen muss.

f\left( x \right)=A

f^{ / }\left( x \right)=C

f^{ // }\left( x \right)=B


1.2

\int_ {e^{ -0,5 }} ^1\left( f^{ / }\left( x \right) \right)dx=\left[ f\left( x \right) \right]_{ e^{ -0,5 } }^{ 1 }

=\left[ \left( ln\left( x \right) \right)^{ 2 }+ln\left( x \right) \right]_{ e }^{ 1 }

=\left[ \left( \left( ln\left( 1 \right) \right)^{ 2 }+ln\left( 1 \right) \right) -\left( \left( ln\left( e^{ -0,5 } \right) \right)^{ 2 }+ln\left( e^{ -0,5 } \right) \right)\right]

=0+0,25

=0,25


Warum die Grenzen ?:

Die Grenzen sind die Nullstellen von f ' , f und f

Um den Flächeninhalt auszurechnen, muss man einmal den Flächeninhalt mit dem Integral der Funktion f(x) innerhalb den Grenzen von x1 und x2. Dazu rechnet man den Flächeninhalt mit dem Integral der Funktion f/(x) innerhalb den Grenzen x2 und x3. Anschließend addiert man die beiden Flächeninhalte und man bekommt den gesamten Flächeninhalt heraus. (weitere Gedanken/Verbesserungen folgen)


Weshalb die Grenzen e^-0,5 , 1 und e^0,5 ?:

Beim Ausrechnen des Flächeninhaltes teilt man die Fläche in zwei Teile. Den ersten Teil rechnet man mit den Grenzen x1 = e^-0,5 und x2 = 1 aus. Diese Granzen sind in der Aufgabenstellung von 1.2 angegeben. Den zweiten Teil des Flächeninhaltes rechnet man mit den Grenzen x2 = 1 und x3 = e^0,5 aus.

\int_1^\left( e^{ 0,5 } \right)\left( f^{ // }\left( x \right) \right)dx=\left[ f^{ / }\left( x \right) \right]_{ 1 }^{ e^{ 0,5 } }

=\left[ 2ln\left( x \right)\cdot \frac{ 1 }{ x }+\frac{ 1 }{ x } \right]^{ e^{ 0,5 } }_{ 1 }

=\left[ \left( 2ln\left( e^{ 0,5 } \right)\cdot \frac{ 1 }{ e^{ 0,5 } }+\frac{ 1 }{e^{ 0,5 }  } \right)-\left( 2ln\left( 1 \right)\cdot \frac{ 1 }{ 1 } +\frac{ 1 }{ 1 }\right) \right]

=1,213-1

=0,213


0,25 + 0,213=0,463

. Bearbeitet von:--Sinan98OB (Diskussion) 18:36, 5. Jan. 2016 (CET)

Lösungsansatz Nr. 2.1

Um die Stammfunktion F zu finden teilen wir unsere große Produktintegration in zwei kleine Produktintegrationen und addieren diese dann zum Schluss.

\int (ln(x)^2+ln(x)dx= (\int (ln(x)\cdot ln(x)dx )+ (\int 1\cdot ln(x)dx)


1. Produktintegration

\int ln(x)\cdot ln(x) dx


 g' (x)=ln(x)

g (x)=xln(x)-x

k (x)=ln(x)

 k' (x)= \frac{1}{x}


\int (ln(x)\cdot ln(x) )dx =(xln(x)-x)\cdot ln(x)- \int (xln(x)-x)\cdot  (\frac{1}{x}  )dx

\int (ln(x)\cdot ln(x) )dx =xln(x)^2-xln(x)- \int (ln(x)-1 )dx

\int (ln(x)\cdot ln(x) )dx =xln(x)^2-xln(x)- xln(x) +x +x

\int (ln(x)\cdot ln(x) )dx =xln(x)^2-xln(x)- xln(x)+2x

\int (ln(x)\cdot ln(x) ) =xln(x)^2-2xln(x)+2x


2. Produktintegration

\int 1\cdot ln(x)dx


g'(x)=1

g(x)=x

k(x)=ln(x)

k'(x)= \frac{1}{x}


\int (1\cdot ln(x) ) =x \cdot ln(x)- \int x\cdot  \frac{1}{x}

\int (1\cdot ln(x) ) =x  ln(x)- \int 1

\int (1\cdot ln(x) ) =x  ln(x)-x


Addition der beiden Produktintegrationen

\int (ln(x)\cdot ln(x)dx )+\int (1\cdot ln(x)dx )

xln(x)^2-2xln(x)+2x+xln(x)-x

xln(x)^2-2xln(x)+x+xln(x)

xln(x)^2-xln(x)+x


Lösungsansatz Nr. 2.2

Wir bestimmen die Nullstellen von f(x) und bestimmen das Integral mit unseren Nullstellen als Grenzen


Nullstellenbestimmung

Die erste Nullstelle können wir bereits aus der Aufgabe 1.1 entnehmen, die Zweite müssen wir berechnen.

0= ln(x)^2+ln(x)

0= ln(x) \cdot (ln(x)+1 )

Merke: Wenn einer der beiden Faktoren 0 wird, wird das gesamte Produkt 0

0=ln(x)  \mapsto e

e^0=x_1


0= ln(x)+1  \mapsto -1

-1= ln(x)  \mapsto e

e^{-1}= x_2

e^{-1}= x_2

1= x_1


Bestimmen des Flächeninhalts

\mid  \int_{0.37}^1 (ln(x)^2+ln(x)dx \mid

 \mid [xln(x)^2-xln(x)+x]_{0,37}^1 \mid

 \mid 0-0+1-(0,38+0,37+0,37) \mid

 \mid 1-(1.12)\mid

 \mid 0,12\mid

A7 Nr.2.2

. Bearbeitet von: --Tws98OB (Diskussion) 21:01, 31. Jan. 2016 (CET)

3.1

f_k(x)=(ln(x))^2 - k\cdot ln(x)

A7 Grafik

f_k'(x)=2(ln(x)) \cdot \frac{1}{x} - \frac{k}{x} = 0

2(ln(x)) - k = 0

2 \cdot ln(x) = k

ln(x) = \frac{k}{2}

x= e^{\frac{k}{2}} => Extrempunkt


f_k''(x)= \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x} + 2(ln(x)) \cdot -\frac{1}{x^2} + \frac{k}{x^2}

=  \frac{2}{x^2} + \frac{k}{x^2} -\frac{1}{x^2} \cdot 2(ln(x))

=\frac{2k}{x^2} - \frac{1}{x^2} \cdot 2(ln(x))


f_k''(e^{\frac{k}{2}})=\frac{2k}{(e^{\frac{k}{2}})^2} - \frac{1}{(e^{\frac{k}{2}})^2} \cdot 2(ln(e^{\frac{k}{2}})

=\frac{2k}{e^k} - \frac{1}{e^k} \cdot k

=\frac{2k}{e^k} - \frac{k}{e^k}

=\frac{k}{e^k} > 0 => Minimum


Fortsetzung folgt