A8

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Inhaltsverzeichnis

. Bearbeitet von: --Addie98OB (Diskussion) 22:13, 16. Jan. 2016 (CET)

Nullstellen:

f_k(x)=  \frac{x+k}{e^x}

f_k(x) = 0  \Rightarrow x+k = 0 Nur der Zähler kann einen Bruch auf 0 bringen.

x+k = 0

x = -k

Der Parameter k für die angegebenen Schare aus Material 1 ist im Graphen an jeder Funktion beschriftet (Teilaufgabe 3).


Extremstellen und Wendestellen:

Extremstellen:

f_k(x)= \frac{x+k}{e^x}

f'_k(x) =  \frac{1\cdot e^x-(x+k)\cdot e^x}{(e^x)^2}  =  \frac{e^x(1-(x+k))}{(e^x)^2} =  \frac{1-(x+k)}{e^x} =  \frac{1-x-k}{e^x}

Notwendige Bedingung:

f'_k(x) = 0

Hier wird wie bei den Nullstellen nur der Zähler verwendet.

0 = 1 - x - k

x= 1-k


Hinreichende Bedingung:

f''_k(x) \neq 0

f''_k(x)=  \frac{-2+x+k}{e^x}

f''_k(1-k)=   \frac{-2+(1-k)+k}{e^{1-k}} =  -\frac{1}{e^{1-k}}

f''_k(1-k) < 0  \Rightarrow Hochpunkt


Wendestellen:

f''_k(x) =  \frac{-1\cdot e^x - (1-x-k)\cdot e^x}{(e^x)^2} =  \frac{e^x(-1-(1-x-k))}{(e^x)^2} =  \frac{-2+x+k}{e^x}

Notwendige Bedingung:

f''_k(x) = 0

Hier wird wieder nur der Zähler verwendet.

0 = -2+x+k

x = -k+2


Hinreichende Bedingung:

Es muss ein Vorzeichenwechsel von f''_k(x) vorliegen. (Oder f'''_k(x)  \neq 0).

f''_k(-k+1)= \frac{-2+(-k+1)+k}{e^{-k+1}} =  -\frac{1}{e^{-k+1}}

f''_k(-k+1) < 0

f''_k(-k+3) =  \frac{-2+(-k+3)+k}{e^{-k+3}} =  \frac{1}{e^{-k+3}}

f''_k(-k+3) > 0

VZW von - zu +  \Rightarrow Rechts-links Wendepunkt


Mitte der Null- und Wendestellen:

Um die Mitte der Null- und Wendestellen zu finden, werden sie addiert und das Ergebnis halbiert.

x = \frac{1}{2}(-k+2+(-k))=  \frac{1}{2}(-2k+2) = -k+1

Extremstellen:  x = 1-k = -k+1

Mitte der Null- und Wendestellen = Extremstellen


Man kann auch die Differenz zwischen den Null- und Wendestellen berechnen, um ihre Mitte zu prüfen.

Wendestelle - Extremstelle: -k+2-(1-k)=1

Extremstelle - Nullstelle: 1-k-(-k)=1

Die Extremstelle liegt also genau in der Mitte zwischen Null- und Wendestelle.


Ortskurve der Hochpunkte:

f_k(1-k) =  \frac{(1-k)+k}{e^{1-k}} =  \frac{1}{e^{1-k}}

H(1-k  \mid \frac{1}{e^{1-k}})

Die x-Koordinate wird nach k umgeformt und dann in die y-Koordinate eingesetzt.

x = 1-k

k = 1-x

y = \frac{1}{e^{1-(1-x)}} = \frac{1}{e^x}

Ortskurve: O(x)=\frac{1}{e^x}

Abi 8

Ableitungsfunktion als Scharfunktion:

f''_3(x) =  \frac{x+3-2}{e^x}=  \frac{x+1}{e^x}  = f_1(x)

Die 2. Ableitung jeder Scharfunktion ist ebenfalls eine Funktion der Schar.

Die Ableitungsfunktion f''_k(x) gleicht der Scharfunktion f_{k-2}(x).

f''_k(x) = f_{k-2}(x)


\frac{-2+x+k}{e^x} =  \frac{x+k-2}{e^x}

Weil k {\epsilon} {\R} , gilt dies für jedes k und somit für jede Scharfunktion bzw. Ableitungsfunktion.

. Bearbeitet von: --Joao99OB (Diskussion) 16:28, 17. Jan. 2016 (CET)

Stammfunktionenschar

Gegeben ist die Funktionenschar f_{k}(x)=\frac{x+k}{e^{x}} und gefragt ist die Stammfunktionenschar F_{k}(x) durch Produktintegration.

\int \frac{x+k}{e^{x}} dx


Denkfabrik:

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

{g}'(x)= \frac{1}{e^{x}}

{g}(x)=-\frac{1}{e^{x}}


{h}(x)=x+k


{h}'(x)=1
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~



= -\frac{1}{e^{x}}\cdot (x+k)-\int (-\frac{1}{e^{x}}) dx

=-\frac{x+k}{e^{x}}+\int \frac{1}{e^{x}} dx

=-\frac{x+k}{e^{x}}-\frac{1}{e^{x}}

=-\frac{x+k+1}{e^{x}}

=-(x+k+1)\cdot e^{-x}= F_{k}(x)

Flächeninhalt zwischen der Funktionenschar und der x-Achse

Um zu untersuchen ,ob die Graphen der Schar einen endlichen Inhalt mit der x-Achse bilden, muss man zuerst die Nullstelle auf der x-Achse und den Grenzwert zur x-Achse berechnen.

Erste Nullstelle

f_{k}(x)=\frac{x+k}{e^{x}}

0=\frac{x+k}{e^{x}}

0=x+k

-k=x_{1}

Grenzwert

\lim_{x\rightarrow \infty } \frac{x+k}{e^{x}}=0

b=x_{2}

Integrieren in den Grenzen von der Nullstelle bis Unendlich

 \int_{-k}^{b}\frac{x+k}{e^{x}}dx


=\left [-(x+k+1)\cdot e^{-x} \right ]_{-k}^{b}


=-(b+k+1)\cdot e^{-b}+(-k+k+1)\cdot e^{k}


=(b+k+1)\cdot (-e^{-b})+e^{k}


=\lim_{b\rightarrow \infty }(-be^{-b}- ke^{-b}-e^{-b}+e^{k})


=e^{k}


Die Fläche beträgt A=e^{k}, da b gegen Null geht und beim letzten Schritt wegfällt .

. Bearbeitet von: --Addie98OB (Diskussion) 16:39, 31. Jan. 2016 (CET)

f(x) =  \frac{x+k}{e^x}

Die Nullstellen der Scharfunktionen liegen bei x = -k (Aufgabe 1).

Um die Scharfunktion zum Ursprung zu verschieben, muss k abgezogen werden.

Nullstellen:

x+k = 0

x-k+k = x = 0

Eine Nullstelle bei x = 0 zu haben, bedeutet, dass die Funktion durch den Ursprung verläuft.

f_k(x-k) =  \frac{x-k+k}{e^{x-k}} =  \frac{x}{e^{x-k}}

Die Scharen dieser Funktion laufen alle durch den Ursprung, weil für f(0) = 0 gilt (der Zähler ist immer 0), egal welchen Wert k hat.

f_k(0-k) =  \frac{0+k-k}{e^{0-k}} =  \frac{0}{e^{-k}} = 0

f_k(x-k) = \frac{x-k+k}{e^{x-k}} = \frac{x}{e^{x-k}} = x \cdot e^{-(x-k)} = x \cdot e^{k-x} = g_k(x)

Die Scharen der gleichen Farbe haben den gleichen Wert für k wie bei Aufgabe 1.

Verschiebung der Scharen

. Bearbeitet von: --Tws98OB (Diskussion) 19:26, 1. Feb. 2016 (CET)

Beschreibung der Graphen

-Je größer die Hunderasse selbst, desto höher die Gewichtszunahme

-Ab einem gewissen Monat sinkt die Gewichtszunahme

-Sie besitzen keinen endlichen Wert

-Nullstelle am Ursprung

-Je höher die Gewichtszunahme, desto höher ist der x-Wert des Hochpunktes


Herleiten der Funktion

Aufgabe: Durch Abändern der Funktion g(x) eine Annäherungsfunktion für das Wachstum eines Schäferhundes ableiten.



g_k(x)=x \cdot e^{k-x}


H(3/165) ist gefordert



Hochpunktbestimmung


g_k(x)=x \cdot e^{k-x}

A8 die g-Funktion (und deren Hochpunkte)


g'(x)=e^{k-x}+x \cdot (-e^{k-x})

e^{k-x}+x \cdot (-e^{k-x})=0

-1+x=0

x=1

Allgemeiner Hochpunkt bei H(1/g(x))


Hinreichende Bedingung


g''(x)=-e^{k-x}-e^{k-x} + x \cdot e^{k-x}

g''(1)=-e^{k-1}-e^{k-1}+e^{k-1}

=-e^{k-1}<0


Schäferhund

g_1(x)=x \cdot e^{1-x} Da dieser den Hochpunkt bei (1/1) besitzt.


Überlegung

x geteilt durch 3 in der Hochzahl verschiebt den Hochpunkt auf der x-Achse


g(x)=a \cdot x \cdot e^{1-\frac{x}{3}}

g(3)=a \cdot 3 \cdot e^{1-\frac{3}{3}}=165

3 \cdot a=165

a=55


g(x)=165 \cdot x \cdot e^{1-\frac{x}{3}}