A9

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Inhaltsverzeichnis

. Bearbeitet von: ==--L.Wagner (Diskussion) 12:02, 16. Jan. 2016 (CET)Laurent99OB

Gegeben

Wir haben zuerst mal im Text die Nullstellen, den Scheitelpunkt und die beiden Funktionen p(x) und c(x) gegeben. Dabei müssen wir die Parameter bei p(x) a und x1 und bei c(x) die Parameter a und T herausfinden.

N_1=(-170|0)

N_2=(170|0)

S_y=(0|103)

Polynomfunktion

Da wir wissen, dass N1 den x-Wert 170 hat, gilt somit auch x1 als x-Wert der NS. Die allgemeine Schreibweise ist N_1(x_1|y_1). Damit ist belegt, dass x1=170 ist. Nun müssen wir nur noch den Parameter a berechnen, indem wir den Scheitelpunkt nehmen.

p(x)=a(x-170)(x+170)

p(0)=-a(170)^2

103=-a(170)^2

a=-0,003564

Abi9 Aufgabe1.1

Kosinusfunktion

c(x)=Acos(\frac{2x\pi}{T})

Scheitelpunkt in c(x) eingesetzt:

103=Acos(0)

A=103

N2 in c(x) eingesetzt:

0=103cos(\frac{340\pi}{T})

0=cos(\frac{340\pi}{T})|cos^{-1}

0,5\pi=\frac{340\pi}{T}

T=680

c(x)=103cos(\frac{x\pi}{340})

Abi9 Aufgabe 1.2

Man erkennt an beiden Funktion, dass diese den Verlauf des Randes des Stadion gut darstellen. Beide verlaufen durch den gleichen Scheitelpunkt und haben die gleichen Nullstellen

. Bearbeitet von: ==--L.Wagner (Diskussion) 11:10, 23. Jan. 2016 (CET)Laurent99OB

Bestimmen der Symmetrie

k(x)=C-\frac{1}{2\lambda }(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x})

k(-x)=C-\frac{1}{2\lambda }(e^{-\lambda x}+e^{\lambda x})

k(x)=k(-x)

k(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse

Bedeutung von C

C ist ausschlaggebend für den Schnittpunkt mit der y-Achse:

S_y(0|C-\frac{1}{\lambda })

C kann den Graphen nach unten oder nach oben in y-Richtung verschieben.

Bestimmen des Hochpunktes

k(x)=C-\frac{1}{2\lambda }(e^{-\lambda x}+e^{\lambda x})

k(x)=C-\frac{e^{\lambda x}}{2\lambda }-\frac{e^{-\lambda x}}{2\lambda }

k'(x)=-\frac{\lambda e^{\lambda x}}{2\lambda }+\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{2\lambda }

k'(x)=-0,5e^{\lambda x}+0,5e^{-\lambda x}

0=e^{-\lambda x}-e^{\lambda x}|+e^{\lambda x}

e^{\lambda x}=e^{-\lambda x}|ln()

\lambda x=-\lambda x|:\lambda

x=-x

x=0

y=k(0)

y=C-\frac{1}{\lambda }

HP(0|C-\frac{1}{\lambda })

. Bearbeitet von: --L.Wagner (Diskussion) 13:47, 30. Jan. 2016 (CET)Laurent99OB

Zunächst sagen wir, dass es eine Funktion L_a(x) gibt, die die Länge des Bogens der Funktion f bestimmt. Dabei betrachten wir den x-Wert, von dem die Berechnung des Bogens ausgeht als a. Der x-Wert von P sei dabei x_0 und der x-Wert von Q sei dabei x_0+\bigtriangleup x.

Somit können wir mit L_a(x_0+\bigtriangleup x) die Bogenlnge von A nach Q bestimmen und mit L_a(x_0) die von A nach P.

In (1) wird nun betrachtet, dass die Bogenlänge von P nach Q der Differenz zwischen A nach Q und A nach P entsprechen muss.

In (2) schätzen wir die Bogenlänge P nach Q ab. Dabei gehen wir davon aus, dass der Bogen von P nach Q länger sein muss als die gerade Strecke zwischen P und Q. Die gerade Strecke können wir mit dem Satz des Pythagoras bestimmen. Für die Bogenlänge von P nach Q behalten wir die in (1) hergeleitete Formel bei. Wir erhalten eine Ungleichung.

In (3) teilen wir durch \bigtriangleup x um auf der rechten Seite der Ungleichung einen Term zu erhalten, der der Definition der Ableitung bei der Ableitung mit der h-Methode ähnelt. Der linke Teil der Gleichung wird durch die folgenden Umformungsschritte entwickelt:

\frac{\sqrt{\bigtriangleup x)^2+(\bigtriangleup y)^2}}{\bigtriangleup x}

=\sqrt{\frac{(\bigtriangleup  x)^2+(\bigtriangleup y)^2}{(\bigtriangleup x)^2}}

=\sqrt{1+(\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x})^2}

Bestimmung der Ableitung des Integrals

[\int{\sqrt{1+(k'(x))^2}}]'

=\sqrt{1+(k'(x))^2}

k(x)=C-\frac{1}{2\lambda}(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x})

k'(x)=-0,5e^{\lambda x}+0,5e^{-\lambda x)}=0,5(e^{-\lambda x}-e^{\lambda x})

Nun setzt man dies in die Ableitung des Integrals

\sqrt{1+(k'(x))^2}

=\sqrt{1+(0,5(e^{-\lambda x}-e^{\lambda x}))^2}

=\sqrt{1+0,25((e^{-\lambda x})^2-2+(e^{\lambda x})^2)}

=\sqrt{1+0,25(e^{-\lambda x})^2-0,5+0,25(e^{\lambda x})^2}

=\sqrt{0,25(e^{-\lambda x})^2+0,5+0,25(e^{\lambda x})^2}

=\sqrt{(0,5e^{-\lambda x}+0,5e^{\lambda x})^2}

=0,5(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x})

Bestimmung der Ableitung der Funktion auf der rechten Seite

[\frac{1}{2\lambda}(e^{\lambda x}-e^{-\lambda x})+C]'

=\frac{1}{2\lambda}\lambda e^{\lambda x}+\frac{1}{2\lambda}\lambda e^{-\lambda x}

=0,5(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x})

Damit sind die Ableitungen der beiden Gleichung identisch. Sie unterscheiden sich nur von der konstante C. Damit haben wir bewiesen, dass die Funktion auf der rechten Seite die Stammfunktion der Funktion auf der linken Seite entspricht.

q.e.d

Wir kennen den Scheitelpunkt (0|103) und die Nullstelle (170|0) des Bogens. Desweiteren beträgt Lambda 0,00645. Um nun die Strecke zu brechnen, berechnet man das Integral von 0 bis 170.

\int_{0}^{170}{\sqrt{1+(k'(x))^2}}

=[0,5\lambda(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x})]_{0}^{170}

=206,17

Damit haben wir die Länge der Strecke berechnet.

Abi9 Aufgabe3.3