Erste Musterklausur

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Erste Musterklausur


Inhaltsverzeichnis

.Aufgabe bearbeitet von:--Deeka98OB 19:16, 25. Sep. 2015 (CEST)

   a.)   F(x)= \frac{x ^{n+1} }{n+1} + c
 b.)   F(x)= -\frac{1  }{x} + x^2 + x + c
 c.)   F(x)= -4\sqrt{x}+sin(x) + c
 d.)   F(x)= \frac{2}{3} x \sqrt{x} - cos(x) + c

.Aufgabe bearbeitet von:--Addie98OB (Diskussion) 19:52, 26. Sep. 2015 (CEST)

Berechnung des Integrals (Nicht in der Aufgabenstellung verlangt)

 f(x)=x^2-2x

 F(x)=\frac{x^3}{3}-x^2


\int_{-1}^{3} (x^2-2x)dx=[\frac{x^3}{3}-x^2]_{-1}^{3}

=(\frac{3^3}{3}-3^2)-(\frac{(-1)^3}{3}-(-1)^2)

=0-(-\frac{1}{3}-1)

=\frac{1}{3}+1

=1\frac{1}{3} Das ist der orientierte Flächeninhalt! War aber nicht verlangt...--CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 20:00, 1. Okt. 2015 (CEST)


Skizze zum Integral.



Berechnung der geometrischen Fläche:

f(x)=x^2-2x

0=x(x-2)

x_{1}=0

x_{2}=2

A= | \int_{-1}^0 (x^2-2x)| + | \int_0^2 (x^2-2x)| + | \int_2^3 (x^2-2x)|

=|[ \frac{x^3}{3}-x^2]_{-1}^{0}| + |[ \frac{x^3}{3}-x^2]_0^2| + |[ \frac{x^3}{3}-x^2]_2^3|

=|0-( -\frac{1}{3}-1)| + |( \frac{8}{3}-4)-0| + |(9-9)-( \frac{8}{3}-4)|

=| \frac{1}{3}+1| + | \frac{8}{3}-4| + |9-9- \frac{8}{3}+4|

=| \frac{4}{3}| + |- \frac{4}{3}| + | \frac{4}{3}|

= \frac{12}{3}=4 Das ist das richtige Ergebnis, nämlich der geometrische Flächeninhalt. --CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr (Diskussion) 20:03, 1. Okt. 2015 (CEST)

.Aufgabe bearbeitet von: --L.Wagner (Diskussion) 12:12, 27. Sep. 2015 (CEST)Laurent99OB

Mathe graph Obermayr.jpg

 f(x)=0,5x^2-2

 g(x)=-\frac{1}{3}x+3,5


Bilde die Differenzfunktion d(x) von f(x) und g(x):

d(x)=-\frac{1}{3}x+3,5-0,5x^2+2

d(x)=-0,5x^2-\frac{1}{3}x+5,5

Bestimme Schnittstellen der Funktionen:

f(x)=g(x)

\frac{1}{2}x^2-2=-\frac{1}{3}x+3,5

0=0,5x^2+\frac{1}{3}x-5,5

0=x^2+\frac{2}{3}x-11

x_{1,2}=-\frac{1}{3}\pm \sqrt{(\frac{1}{3})^2+11}

x_1=3

x_2=-\frac{11}{3}

Bestimme Integral von d(x) zwischen den beiden Schnittstellen

\int_{-\frac{11}{3}}^{3}(-0,5x^2\frac{1}{3}x+5,5)dx

=[-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{6}x^2+5,5x]_{-\frac{11}{3}}^{3}

=(\frac{21}{2})-(-\frac{2299}{162})

\frac{2000}{81}

=24,6914

.Aufgabe bearbeitet von:--David99OB (Diskussion) 21:26, 1. Okt. 2015 (CEST)

f(x)=x^2

Ableitung

2x=f'(x)

Integralrechnung

 \int_a^b 2x=[ x^2 ]_a^b=[F(x)]_a^b

Oder allgemein:

F'(x)=f(x)

\int_a^b F'(x)dx= F(x)

.Aufgabe bearbeitet von:--Sinan98OB (Diskussion) 15:09, 3. Okt. 2015 (CEST)

1. Bestimmen des gesamten Flächeninhalts:

A_{gesamt} : 10m \cdot8m= 80 m^{2}


2. Bestimmen der Parabelgleichung

Musterklausur Aufgabe 5.jpg

f(x)=- ax^{2} +4,8

x_{1} = 2; x_{2} =-2

f(2)=0=-4a+4,8

4a=4,8

a=1,2


f(x)=-1,2 x^{2} +4,8












3.Berechnen des Flächeninhalts der Parabel:

A_{Parabel} = 2\cdot  \int_0^2 (f(x))dx

A_{Parabel} = 2\cdot  \int_0^2 (-1,2 x^{2} +4,8)dx

A_{Parabel} = 2\cdot  [ \frac{-1,2 x^{3} }{3} +4,8x]^2_0

A_{Parabel} = 2\cdot    (\frac{32}{5}-(0) )

A_{Parabel} = 12,8 m^{2}



4. Flächeninhalte voneinander abziehen und Aufgabe berechnen:

A_{Flaeche} =80 m^{2}-  12,8 m^2= 67,2 m^{2}

Preis: 25 Euro pro m^{2}

 25 \cdot 67,2=1680

Der Preis für das Anstreichen der Fläche beträgt 1680 Euro

==.Aufgabe bearbeitet von:--Sinan98OB (Diskussion) 10:39, 3. Okt. 2015 (CEST) und --L.Wagner (Diskussion) 23:29, 9. Okt. 2015 (CEST)Laurent99OB ==

Formel: \int_a^b (3x+5)dx

1. Obersumme mit der Streifenmethode bilden ( die Klammern dienen nur der Orientierung ):

\bigtriangleup x = \frac{b}{n}


 O_{n} =  \bigtriangleup x  \cdot (3 \bigtriangleup x+5)+ \bigtriangleup x \cdot (6 \bigtriangleup x+5)+\bigtriangleup x \cdot (9\bigtriangleup x+5)]+...+ \bigtriangleup x \cdot  (3n\bigtriangleup x+5)

 O_{n} =   \bigtriangleup x[ 3\bigtriangleup x+5+ 6 \bigtriangleup x+5+....+  3n \bigtriangleup x+5]

 O_{n} =     \bigtriangleup x( 3  \bigtriangleup x+6 \bigtriangleup x + 9  \bigtriangleup x +...+ 3n \bigtriangleup x+5n)

 O_{n} =     \bigtriangleup x( 3  \bigtriangleup x+6 \bigtriangleup x + 9  \bigtriangleup x +...+ n \bigtriangleup x)+ \bigtriangleup x\cdot5n

O_{n} =    3 \bigtriangleup x^{2} ( 1+ 2+3+...+ n)+ \bigtriangleup x \cdot 5n

Setze danach für \bigtriangleup x=\frac{b}{n}

 O_{n} =    3  \frac{ b^{2} }{ n^{2} }  ( (n+1) \frac{n}{2} )  +\frac{b}{n}  \cdot 5n

 O_{n} =     3  \frac{ b^{2} }{ n^{2} }  \cdot  \frac{n}{2}  (  n+1 ) + \frac{b \cdot 5n}{n}

O_{n} =    \frac{3b^2}{2n} (n+1)+5b

 O_{n} =  \frac{3b^2}{2}  \cdot \frac{n+1}{n} +5b



2. Errechnete Formel in den Limes einsetzen: n \rightarrow  \infty

  \lim _{n \rightarrow  \infty } O_{n}   =  \lim _{n \rightarrow  \infty } \left(\frac{3b^2}{2}  \cdot \frac{n+1}{n} +5b \right)

  \lim_{n \rightarrow  \infty }  O_{n} =  3  \frac{ b^{2} }{ 2 }      + 5b


Obergrenze und Untergrenze eingesetzt:     ( 3  \frac{ b^{2} }{ 2 }      + 5b) -(3 \frac{a^{2} }{2}  + 5a)


3. Bestätigung durch Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

\int_a^b (3x+5)dx= [ \frac{3 x^{2} }{2}  +5x]^b_a

=(\frac{3 b^{2} }{2} +5b)- (\frac{ 3a^{2} }{2} +5a)

also: F(x) = \frac{3 x^{2} }{2}  +5x

F'(x)= 3x+5=f(x) \surd