Das besondere Problem

Anwendung Integralrechnung (Übungsblatt 4 Aufgabe 4) bearbeitet von:--Tws98OB (Diskussion) 19:00, 14. Okt. 2015 (CEST)

Herausfinden der Funktion

$f(x)=ax^{ 4 }+bx^{ 2 }-6$

Nullstelle bei x=10 => f(10)=0

Steigung an der Stelle 10 ist Null.

$f(10)=10000a+100b-6=0$

$=10000a+100b=6$

$f^{ , }(10)=4000a+20b=0$ $|:-5$

$=-20000a-100b=0$

$I.10000a+100b=6$

$II. -20000a-100b=0$

______________________________

$-10000a =6$

$a=-\frac{ 6 }{ 10000 }$

$-6+100b=6$

$b=\frac{ 12 }{ 100 }$

$f(x)=-\frac{ 3 }{ 5000 }x^{ 4 }+\frac{ 3 }{ 25 }x^{ 2 }-6$

Berechnen des Flächeninhaltes

$A_{ Terrasse }=2 \cdot | \int_{0}^{10}{(-\frac{ 3 }{ 5000 }x^4+\frac{ 3 }{ 25 }x^2-6)}dx|$

$=2 \cdot |[-\frac{ 3x^5 }{ 25000 }+\frac{ x^3 }{ 25 }-6x]_{0}^{10}|$

$=2\cdot |-\frac{ 300000 }{ 25000 }+\frac{ 1000 }{ 25 }-60-(0)|$

$=2 \cdot |-12+40-60|$

$=2 \cdot |-32|$

$=64$

$A_{ Brunnen } = \pi \cdot r^2$

$=\pi \cdot 1^2$

$=\pi$

$A_{ Terrasse }-A_{ Brunnen }=64-\pi$

$=60,86$

Die markierte neu zu pflasternde Fläche beträgt 60,86 Quadratmeter.

Berechnung des Kugelvolumens über Rotationsvolumen; bearbeitet von --Tws98OB (Diskussion) 10:00, 28. Okt. 2015 (CET)

$f_{ Halbkugel }(x)=\sqrt{ r^2-x^2 }$

$V_{ Rot }=\pi \int_{ a }^{ b } (f(x)^2) dx$

Formel zur Berechnung einer Kugel nachweisen

$V_{ Kugel }=2 \pi \int_{0}^{r} (\sqrt{ r^2-x^2 })^2dx$

$=2 \pi \int_{0}^{r} (r^2-x^2)dx$

$=2 \pi [xr^2 -\frac{ x^3 }{ 3 }]^{ r }_{ 0 }$

$=2 \pi (r^3 -\frac{ r^3 }{ 3 }-(0))$

$=2 \pi (\frac{ 2r^3 }{ 3 })$

$=\frac{ 4 }{ 3 } \pi r^3$

Beispiel am Radius 1

$V_{Kugel}=2 \pi \int_{0}^{1} ( \sqrt{1-x^2} )^2 dx$

$=2 \pi \int_{0}^{1} ( 1-x^2 ) dx$

$=2 \pi [x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}$

$=2 \pi \cdot (1- \frac{1}{3}-(0))$

$=2 \pi \cdot \frac{2}{3}$

$=4.19$

Von Ketten und Parabeln; bearbeitet von: --L.Wagner (Diskussion) 18:24, 16. Dez. 2015 (CET)Laurent99OB

Die Art und Weise, wie eine Kette fällt, das würde man normalerweise einer Parabel zuordnen....

$f(x)=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$

Die zweite Musterklausur hat uns eines Besseren belehrt.

1a

Bedingungen

Wir nehmen den Punkt P(2,5|6), um eine ähnliche Parabelgleichung für g(x) aufzustellen.

Die Funktionsgleichung lautet hier:

$g(x)=ax^2+c$

Wir wissen, dass f(x) an der y-Achse den Punkt S(0|1) schneidet. Somit lautet unser c=1. Damit ist die Funktion:

$g(x)=ax^2+1$

Vorgehensweise

$I. 6=6,25a+1 |-1$

$5=6,25a |:6,25$

$a=0,8$

Unsere annährende g(x)-Funktion zur f(x)-Funktion lautet somit:

$g(x)=0,8x^2+1$

1b

Um den Unterschied zwischen den Parabelfunktion zur Kettenfunktion untersuchen zu können, berechnet man die Fläche zwischen beiden Funktionen im Integral von 0 bis 2,5 berechnen

$\int_{0}^{2,5}(g(x)-f(x))dx$

$\int_{0}^{2,5}[(0,8x^2+1)-(0,5(e^x+e^{-x}))]dx$

$=[\frac{0,8x^3}{3}+x)-(0,5(e^x+e^{-x})]_{0}^{2,5}$

$=0,5(e^2,5-e^{-2,5})-\frac{20}{3}-0$

$=0,62$

Die Fläche beträgt somit 0,62

Eine weitere Möglichkeit für ein Unterschied wäre die Differenzfunktion

$d(x)=|f(x)-g(x)|$

$d(x)=|(0,5(e^x+e^{-x}))-(0,8x^2+1)|$

Der Tiefpunkt liegt bei T(1,5766|-0,466)

Das Extremum bedeutet, dass die Abweichung erst steigt, dann ein Maximum erreicht und dann wieder sinkt. Für x>2,5 wird die Abweichung immer größer.

Rotationskörper: „Wok“; bearbeitet von: --L.Wagner (Diskussion) 17:59, 15. Dez. 2015 (CET)Laurent99OB

Aufgabenstellung und Maße gem Ü15

Bedingungen

Der Wok muss eine Höhe von 10cm und ein Durchmesser von 36cm. Möchte man dessen Volumen bestimmen, muss man erstens eine Funktionsgleichung bilden und ihn dann um die x-Achse rotieren lassen.

Vorgehensweise

Bestimmen der Funktionsgleichung

Unsere Punkte für den Wok sind:

P(0|0) S(18|10)

Man wählt den Punkt S, weil der x-Wert 18 an der Stelle 10 ist. Man halbiert sozusagen die Parabel an der y-Achse.

Die Funktionsgleichung für eine Parabel ist:

$f(x)=ax^2$

Nun setzt man die Punkte ein:

$I.f(18)=10$

$I.10=324a$

Dadurch das b=0 und c=0, wird dann nur a bestimmt

$I.10=324a |:324$

$f(x)=\frac{5}{162}x^2$

Umkehrfunktion

Um nun das Volumen zu bestimmen die Umkehrfunktion bestimmen

$y=\frac{5}{162}x^2|:\frac{5}{162}$

$32,4y=x^2|\sqrt{}$

$\sqrt{32,4y}=x$

y mit x ersetzen

$f^-1(x)=\sqrt{32,4x}$

Rotationsvolumen

$\pi\int_0^{10}(\sqrt{32,4x})^2dx$

$=\pi\int_0^{10}(32,4x)dx$

$=\pi[\frac{32,4x^2}{2}]$

$=1620\pi$

$=5$

Damit beträgt das Volumen $5000cm^3=5l$