Protokolle vom Dezember 2015

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Inhaltsverzeichnis

. Protokoll vom 2.12.und 4.12.2015, Themen Umkehrfunktionen, Ableitung der Umkehrfunktion, Definitionsmenge, Ableitungen

Protokoll von --Jonas98OB (Diskussion) 02:00, 5. Dez. 2015 (CET) (Schuljahr 2015 / 16)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von --Jonas98OB (Diskussion) 12:24, 30. Jan. 2016 (CET)
--

Definiton einer Funktion

Unter einer Funktion versteht man eine eindeutige Zuordnung der x-Werte einer Definitionsmenge zu den y-Werten der Wertemenge.


Ableitung der Umkehrfunktion

Allgemein gilt für die Ableitung der Umkehrfunktion

\left( f^{ -1 } \right)^{ / }\left( x \right)=\frac{ 1 }{ f^{ / }\left( \left( f^{ -1 } \right)\left( x \right) \right) }

siehe Übungsblatt Nr.13


Beispiele

Bsp.1

f\left( x \right)=x^{ 2 }

y=4=>x_{ 1 }=2 und x_{ 2 }=-2

Bei dieser Funktion ist es nicht eineindeutig, deshalb gibt es keine Umkehrfunktion

Deshalb muss der Definitionsbereich eingeschränkt werden x\epsilon\R^{ +_{ 0 } }

y=x^{ 2 }=>x=\sqrt{ y }==>\left( f^{ -1 } \right)\left( y \right)=\sqrt{ y }

Konventionelle Schreibweise:

\left( f^{ -1 } \right)\left( x \right)=\sqrt{ x }

f^{ -1 }\left( 4 \right)=2

\left( f^{ -1 } \right)^{ / }\left( 4 \right)=\frac{ 1 }{ f^{ / }\left( 2 \right) }=\frac{ 1 }{ 4 }

\left( f^{ -1 } \right)\left( x \right)=\frac{ 1 }{ f^{ / }\left( f^{ -1 } \right)\left( x \right) }=\frac{ 1 }{ 2\cdot\left( f^{ -1 }\left( x \right) \right) }=\frac{ 1 }{ 2\cdot\sqrt{ x } }

Die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle x ist der Kehrwert der Ableitung der Funktion an der Stelle x.


Bsp.2:

f\left( x \right)=2x

1 --> 2 eindeutig

1 <-- 2 eineindeutig (umkehrbar)

Bei dieser Funktion gibt es nur ein Wert deshalb ist sie Umkehrbar eindeutig

y=2x->x=\frac{ y }{ 2 }

\left( f^{ -1 } \right)\left( y \right)=\frac{ y }{ 2 }

\left( f^{ -1 } \right)^{ / }\left( 4 \right)=\frac{ 1 }{ f^{ / }\left( 2 \right) }=\frac{ 1 }{ f^{ / }\left( f^{ -1 }\left( 4 \right) \right) }

Konventionelle Schreibweise:

\left( f^{ -1 } \right)\left( x \right)=\frac{ x }{ 2 }

\left( f^{ -1 } \right)\left( 2 \right)=1

Es gilt:

P(1/2)->P"(2/1)

Q(2/4)->Q"(4/2)

da die Grafen fundf^{ -1 }symmetrisch sind


Bsp.3:

f\left( x \right)=e^{ x }

y=e^{ x }->x=ln\left( y \right)=f^{ -1 }\left( y \right)

f^{ -1 }\left( x \right)=ln\left( x \right)

\left( f^{ -1 } \right)^{ / }\left( x \right)=\frac{ 1 }{ f^{ / }\left( f^{ -1 }\left( x \right) \right) }=\frac{ 1 }{ e^{ ln\left( x \right) } }=\frac{ 1 }{ x }


Zusammenfassung

g\left( x \right)=ln\left( x \right)

g^{ /\left( x \right) }=\frac{ 1 }{ x }

\int_-^-\frac{ 1 }{ x }dx=ln\left( x \right)+c


Aufgaben zur Definitionsmenge und Ableitung

S.31 Nr.1

a) \R_{ + }

S.32 Nr.2

c)

f\left( x \right)=2x+ln(2x)

f^{ / }\left( x \right)=2+\frac{ 1 }{ 2x }\cdot2=2+\frac{ 1 }{ x }

e)

f\left( x \right)=ln\left( \frac{ 1 }{ x } \right)

f^{ / }\left( x \right)=-\frac{ 1 }{ x }

Aufgaben zum Übungsblatt Nr. 14c)

f\left( x \right)=ln\left( x^{ 2 }+4 \right)

y=ln\left( x^{ 2 }+4 \right)

e^{ y }=x^{ 2 }+4

e^{ y }-4=x^{ 2 }

\sqrt{ e^{ y }-4 }=x

\sqrt{ e^{ x }-4 }=y=\left( f^{ -1 } \right)\left( x \right)

V=\pi\int_{ln\left( 4 \right)}^{ln\left( 8 \right)} (\sqrt{ e^{ x }-4 })^{ 2 }dx

V=\pi\int_{ln\left( 4 \right)}^{ln\left( 8 \right)} (e^{ x }-4)dx

V=\pi\left[ e^{ x }-4x \right]^{ ln\left( 8 \right) }_{ ln\left( 4 \right) }

V=\pi\left[ \left( 8-8,32 \right)-\left( 4-5,5 \right) \right]

V=\pi\left[ -0,32+1,55 \right]

V=1,23\pi=3,86


Beispiele für das Rotationsvolumen um die y-Achse

Beispiel 1
yxdvbdgdbvsvv

0\leq y\leq 4

f\left( x \right)=x^{ 2 }

\left( f^{ -1 } \right)\left( x \right)=\sqrt{ x } Als erstes wird die Umkehrfunktion gebildet

V=\pi\int_{0}^{4} (\sqrt{ x })^{ 2 }dx Anschließsend wird normal das Rotationsvolumen ausgerechnet

V=\pi\int_{0}^{4} (x)dx

V=\pi\left[ \frac{ 1 }{ 2 }x^{ 2 } \right]^{ 4 }_{ 0 }

V=\pi\left[ \frac{ 16 }{ 2 }-0 \right]

V=8\pi


Beispiel 2

1\leq y\leq 3

f\left( x \right)=2x^{ 2 }+1

y=2x^{ 2 }+1

y-1=2x^{ 2 }
Rotationsvolume

\frac{ y-1 }{ 2 }=x

\sqrt{ \frac{ x }{ 2 } }=x=\left( f^{ -1 } \right)\left( x \right)

V=\pi\int_{1}^{3} (\sqrt{ \frac{ x-1 }{ 2 } })^{ 2 }dx

V=\pi\int_{1}^{3} (\frac{ x-1 }{ 2 })dx

V=\frac{ \pi }{ 2 }\left[ \frac{ 1 }{ 2 }x^{ 2 } -x\right]^{ 3 }_{ 1 }

V=\frac{ \pi }{ 2 }\left[ \left( 4,5-3 \right)-\left( 0,5-1 \right) \right]

V=\frac{ \pi }{ 2 }\left[ 1,5+0,5 \right]

V=\frac{ \pi }{ 2 }\cdot2=\pi


Beispiel 3

0\leq y\leq 2

f\left( x \right)=ln\left( x^{ 2 }+1 \right)

y=ln\left( x^{ 2 }+1 \right)
Rotationsvolumen

e^{ y }=x^{ 2 }+1

x=\sqrt{ e^{ y }-1 }

\left( f^{ -1 } \right)\left( x \right)=\sqrt{ e^{ x }-1 }

V=\pi\int_{0}^{2}(\sqrt{ e^{ x }-1 })^{ 2 }dx

V=\pi\int_{0}^{2}(e^{ x }-1)dx

V=\pi\left[ e^{ x }-x \right]^{ 2 }_{ 0 }

V=\pi\left( e^{ 2 }-2-\left( 1 \right) \right)

V=\pi\left( e^{ 2 }-3 \right)

V=13,79


Aufgaben zur Ableitung mit dem Logarithmus Naturalis

S.32 Nr. 3

d)

f\left( x \right)=3 \cdot ln\left( \sqrt{ 4x } \right)=3 \cdot ln\left( 2\sqrt{ x } \right)

f^{ / }\left( x \right)=\frac{ 3 }{ 2\sqrt{ x } }\cdot\frac{ 2 }{ 2\sqrt{ x } }=\frac{ 3 }{2x  }

g)

f\left( x \right)=sin\left( ln\left( x \right) \right)

f^{ / }\left( x \right)=cos\left( ln\left( x \right) \right)\cdot \frac{ 1 }{ x }

h)

f\left( x \right)=\left( ln\left( x \right) \right)^{ -1 }=\frac{ 1 }{ ln\left( x \right) }

f^{ / }\left( x \right)=\frac{ -\frac{ 1 }{ x } }{ \left( ln\left( x \right) \right)^{ 2 } }=\frac{ -1 }{ x \cdot \left( ln\left( x \right) \right)^{ 2 } }


S.33 Nr.13

c)

f\left( x \right)=ln\left( \frac{ x }{ x+1 } \right)


f^{ / }\left( x \right)=\frac{ 1 }{ \frac{ x }{ x+1 } }\cdot \frac{ \left( x+1 \right)-x }{ \left( x+1 \right)^{ 2 } }=\frac{ x+1 }{ x }\cdot \frac{ 1 }{ \left( x+1 \right)^{ 2 } }=\frac{ x+1 }{ x\left( x+1 \right)^{ 2 } }=\frac{ 1 }{ x\left( x+1 \right) }=\frac{ 1 }{ x^{ 2 }+x }

f^{ // }\left( x \right)=\frac{ -2x-1 }{ \left( x^{ 2 }+x \right)^{ 2 } }

h)

f\left( x \right)=\sqrt{ x }\cdot ln\left( x \right)

f^{ / }\left( x \right)=\frac{ 1 }{ 2\sqrt{ x } }\cdot ln\left( x \right)+\sqrt{ x }\cdot \frac{ 1 }{ x }=\frac{ ln\left( x \right) }{ 2\sqrt{ x } }+\frac{ \sqrt{ x } }{ x }= \frac{ \sqrt{ x }\cdot ln\left( x \right)+2\sqrt{ x } }{ 2x }= \frac{ \sqrt{ x }\cdot ln\left( x \right)+2\sqrt{ x } }{ 2x }

f^{ // }\left( x \right)=\frac{ \left( \frac{ 1 }{ 2\sqrt{ x } } \cdot\left( ln\left( x \right)+2 \right)+\sqrt{ x }\cdot\left( \frac{ 1 }{ x } \right)\right)\cdot 2x-\sqrt{ x }\left( ln\left( x \right)+2 \right)\cdot2 }{ 4x^{ 2 } }

f^{ // }\left( x \right)=\frac{ \left( \frac{ \sqrt{ x }\cdot \left( ln\left( x \right)+2 \right) }{ 2x }+\frac{ \sqrt{ x } }{ x } \right)\cdot 2x-2\sqrt{ x }\cdot ln\left( x \right)-4\sqrt{ x } }{ 4x^{ 2 } }

f^{ // }\left( x \right)=\frac{ \sqrt{ x }\cdot \left( ln\left( x \right)+2 \right)+2\sqrt{ x }-2\sqrt{ x }\cdot ln\left( x \right)-4\sqrt{ x } }{ 4x^{ 2 } }

f^{ // }\left( x \right)=\frac{ \sqrt{ x }\cdot ln\left( x \right)+2\sqrt{ x }+2\sqrt{ x }-2\sqrt{ x }\cdot ln\left( x \right)-4\sqrt{ x } }{ 4x^{ 2 } }

f^{ // }\left( x \right)=\frac{ -\sqrt{ x }\cdot ln\left( x \right) }{ 4x^{ 2 } }

. Protokoll vom 09.12.2015, Themen Musterklausur

Kurzinfo

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Protokoll von -- --Ben99OB (Diskussion) 18:02, 14. Dez. 2015 (CET) (Schuljahr 2015 / 16)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)
verbessert von --Ben99OB (Diskussion) 16:12, 22. Dez. 2015 (CET)


Unterrichtsstunden am Mittwoch, den 09.12.2015

In den drei Unterrichtsstunden am Mittwoch wurde die Musterklausur besprochen, die für die Arbeit am Freitag relevant war.

1. Die Schüler sollten ausgeschlafen sein, sodass maximale Konzentration möglich ist

2. Es soll mit den betroffenen Fachlehrern geklärt werden, ob die Stunde nach den üblichen 3. Mathestunden als weitere Mathestunde zum schreiben der Klausur dienen kann.


Die Musterklausur wurde zuvor bereits von Schülern freiwillig bearbeitet, sodass wir die Bearbeitung am Mittwoch bewerten und reflektieren konnten.

Verweis auf die zweite Musterklausur

Am Mittwoch wurden nur noch einige Bemerkungen zu den Rechnungen der Schüler gemacht.

- Bei dem Ansatz zur Symmetrie sollte immer mit dem Ansatz f\left( -x \right) = angesetzt werden

- Die Wendepunkte kann man mit einem Vorzeichenwechsel begründen (einfachere Methode)

- Die Tangentengleichung hat einen variablen Teil und einen konstanten Teil

- Bei Termen wie f(x)=\frac { 1 }{ (1-x)^{ 2 } } ist entweder die Kettenregel oder die Quotientenregel anzuwenden

- Bei einer Achsensymmetrischen Funktion mit den Integralen wie z.B. \int _{ -2 }^{ 2 }{ f\left( x \right) } ersetzt man diesen Zusammenhang mit 2\cdot \int _{ 0 }^{ 2 }{ f\left( x \right)  } , da Null eine für die Rechnung angenehme Zahl ist

- Bei einer Wachstumsfunktion kann man den "Verdopplungszeitraum" feststellen, in dem man unabhängig vom Kapital schaut, wann sich der exponentielle Zusammenhang verdoppelt


Im weiteren Verlauf wurden nur noch die Hausaufgaben von letzter Woche kontrolliert

S.33 Nr. 13 i,g und Nr. 10+12


13 i)

f\left( x \right) =\sqrt { x } \cdot \ln { (kx) }

f'\left( x \right) mithilfe der Produktregel bestimmen

f'\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2\sqrt { x }  } \cdot \ln { (kx) } +\sqrt { x } \cdot \frac { 1 }{ kx } \cdot k

f'\left( x \right) =\frac { \ln { (kx) }  }{ 2\sqrt { x }  } +\frac { \sqrt { x }  }{ x }

Hauptnenner und diesen rational machen

f'\left( x \right) =\frac { \ln { (kx)\sqrt { x } +2\sqrt { x }  }  }{ 2x }

f''\left( x \right) =\frac { \left( \frac { k }{ kx } \cdot \sqrt { x } +\ln { (kx)\cdot \frac { 1 }{ 2\sqrt { x }  } +\frac { 1 }{ \sqrt { x }  }  }  \right) \cdot 2x-\left( \ln { (kx)\sqrt { x } +2\sqrt { x }  }  \right) \cdot 2 }{ 4x^{ 2 } }

f''\left( x \right) =\frac { \left( \frac { 2x+x\ln { (kx)+2x }  }{ 2x\sqrt { x }  }  \right) \cdot 2x-2\ln { (kx)\sqrt { x }  } -4\sqrt { x }  }{ 4x^{ 2 } }

f''\left( x \right) =\frac { \left( \frac { 2+\ln { (kx)+2 }  }{ 2\sqrt { x }  }  \right) \cdot 2x-2\ln { (kx)\sqrt { x }  } -4\sqrt { x }  }{ 4x^{ 2 } }

f''\left( x \right) =\frac { (\frac { 8x+2x\ln { (kx) }  }{ 2\sqrt { x }  } )-2\ln { (kx)\sqrt { x } -4\sqrt { x }  }  }{ 4x^{ 2 } }

f''\left( x \right) =\frac { (\frac { \sqrt { x } (8x+2x\ln { (kx)) }  }{ 2x } )-(2\ln { (kx)\sqrt { x } -4\sqrt { x }  } ) }{ 4{ x }^{ 2 } }

f''\left( x \right) =\frac { 4\sqrt { x } +\ln { (kx)\sqrt { x }  } -2\ln { (kx)\sqrt { x } -4\sqrt { x }  }  }{ 4{ x }^{ 2 } }

f''\left( x \right) =\frac { -\ln { (kx)\sqrt { x }  }  }{ 4{ x }^{ 2 } }

g)

f\left( x \right) =\ln { (x) } \cdot x

f'\left( x \right) =\frac { 1 }{ x } \cdot x+\ln { (x)\cdot 1 }

f'\left( x \right) =1+\ln { (x) }

f''\left( x \right) =\frac { 1 }{ x }

Kurvendiskussion der Funktion f\left( x \right) =\ln { \left( \frac { 1+x }{ 1-x }  \right)  }

Graph\rightarrow

Graph der Funktion

Definitionsbereich/Wertebereich

I{ D }_{ f }=]-1;1[

1-x>0 im Nenner da sonst der Nenner 0 wäre

\ln { (x)\rightarrow x\neq 0 } deswegen kann nur alles -1<x eingesetzt werden, da sonst das Argument des ln negativ wird, was nicht geht

I{ W }_{ f }=IR

Symmetrie

f\left( -x \right) =\ln { \left( \frac { 1-x }{ 1+x }  \right)  } \neq f\left( x \right)

f\left( -x \right) =\ln { \left( \frac { 1-x }{ 1+x }  \right)  } =-\ln { \left( \frac { 1+x }{ 1-x }  \right)  }

Diese Funktion ist punktsymmetrisch

Grenzwertverhalten

x\rightarrow 1\Rightarrow f\left( x \right)\rightarrow \infty

x\rightarrow -1\Rightarrow f\left( x \right) \rightarrow -\infty

Nullstellen

f\left( 0 \right) =\ln { \left( \frac { 1+0 }{ 1-0 }  \right)  }

f\left( 0 \right) =\ln { (1)=0 }

N\left( 0|0 \right)

Extrempunkt

f'\left( x \right) =\frac { 1+x }{ 1-x } \cdot \frac { (1+0)\cdot (1-x)-\left( x+1 \right) \cdot (0-1) }{ (1-{ x) }^{ 2 } }

f'\left( x \right) =-\frac { 2 }{ x^{ 2 }-1 }

Dieser Term kann durch den Term im Nenner nicht Null werden => kein Extrempunkt

Wendepunkt

f''\left( x \right) =\frac { 4x }{ (x^{ 2 }-1)^{ 2 } }

f''\left( 0 \right) =\frac { 4\cdot 0 }{ (0^{ 2 }-1)^{ 2 } }

f''\left( 0 \right) =0

W\left( 0|0 \right)

VZW-Prüfung

f''\left( 0,25 \right) =\frac { 4\cdot 0,25 }{ \left( { 0,25 }^{ 2 }-1 \right)  }

f''\left( 0,25 \right) =-\frac { 16 }{ 17 }

f''\left( -0,25 \right) =\frac { 16 }{ 17 } \Rightarrow rechts-links Wendepunkt

Monotonie

Da es keinen Extrempunkt gibt und immer f'\left( x \right) >0 gilt ist die Funktion streng monoton steigend

Tangentengleichung

Graph mit Wendetangente

t(x)=f'\left( { x }_{ 0 } \right) (x-{ x }_{ 0 })+f\left( x_{ 0 } \right)

t(x)=f'\left( 0 \right) (x-0)+f\left( 0 \right)

t(x)=2\cdot (x-0)+0

t(x)=2x

. Protokoll vom 16.12.und 18.12.2015, Themen Produktintegration

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Protokoll von --David99OB (Diskussion) 03:50, 22. Dez. 2015 (CET) (Schuljahr 2015 / 16)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von--David99OB (Diskussion) 19:28, 18. Jan. 2016 (CET)

Abituraufgabe 5

Wir besprachen am Stundenbeginn diese Aufgabe, welche zum Teil Hausaufgabe war.

Übungsaufgabe "Wok"

Wir haben über die Hausaufgabe gesprochen, welche Laurent schon übers Wochenende ins Wiki gestellt hat.

Das besondere Problem_Rotationskörper Wok_L.Wagner

Übungsaufgabe "Von Ketten und Parabeln"

Wir haben kurz über diese Aufgabe gesprochen, bekamen einige Tipps und sollten sie bis zum Freitag als Hausaufgabe erledigen.

Das besondere Problem_Von Ketten und Parabeln_L.Wagner


Kursarbeit

Durch die Lösungen als Datei hatten wir die Kursarbeit parat. Derjenige der die Aufgabe im Wiki bearbeitet hat, hat die Aufgabe vorgestellt und komplett erklärt.

Aufgabe 1: Kurvendiskussion

Die erste Aufgabe war eine Kurvendiskussion bearbeitet von Deeka. Die zweite Ableitung war hier jedoch vorgegeben und wir sollten durch ersichtliche Schritte diese Beweisen. Es handelte sich um die Funktion f(x)= \frac{2}{1+e^{-x}}

  1. Als erstes sollte man die Symetrie untersuchen.
  2. Danach das Verhalten gegen ∞ und -∞.
  3. Als drittes sollten wir die Schnittpunkte mit den Achsen berechnen.
  4. Anschließend sollten wir die Extrempunkte angeben.
  5. Genauso wie die Wendepunkte.
  6. Daraufhin war das Monotonieverhalten zu untersuchen.
  7. Als siebte Teilaufgabe musste der Graf nur gezeichnet werden.
  8. Danach sollte man noch den Definitionsbreich und den Wertebereich untersuchen.
  9. Die neunte Aufgabe war es dann die Tangentengleichung an einer vorgegeben Stelle zu errechnen und in das Koordinatensystem zu übertragen.
  10. Die letzte Aufgabe war es die vorgegebene zweite Ableitung normal zu errechnen die Vorgabe diente nur als Probe.

Zweite Kursarbeit_Erste Aufgabe_Deeka98OB

Aufgabe 2: Leite mithilfe der Kettenregel ab

Diese Aufgabe wurde von Sinan bearbeitet und verlief für die meisten am schnellsten und fehlerfreisten. Hier musste man zwei Teilaufgaben mithilfe der Kettenregel ein mal Ableiten.

Zweite Kursarbeit_Zweite Aufgabe_Sinan98OB

Aufgabe 3: Rotationsvolumen

Bei dieser Aufgabe sollten wir zuallererst bei einer Funktion mit zwei Unbekannten das Rotationsvolumen angeben. Wegen unserer mangelnden Fähigkeiten beim integrieren von Ketten sollte das Integral uneingesetzt stehen gelassen werden. In der zweiten Teilaufgabe sollten wir überlegen was dieser Körper sein könnte. Wir sollten zeigen was der Körper darstellt.

Zweite Kursarbeit_Dritte Aufgabe_Joao99OB

Aufgabe 4: Exponentialproblem anhand von radioaktivem Zerfall

Zweite Kursarbeit_ Vierte Aufgabe_Ben99OB

Aufgabe 5: Extremalproblem

Zweite Kursarbeit_Fünfte Aufgabe_Addie98OB


Produktintegration (partielle Integration)

Da wir vorher noch keine Produkte integrieren konnten, war das unser erstes Verfahren für Produkte. Es dient für Aufgaben gleichen Typs wie die Produktenregel beim ableiten. "partiell" bedeutet teilweise.

Die Formel für die Produktintegration ist folgende:

\int g'(x)\cdot h(x) dx=g(x)\cdot h(x)-\int g(x)\cdot h'(x) dx

f(x)=g(x)\cdot h(x)

f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)   | \int( )

\int f'(x)dx=\int [g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)]

f(x)=g(x)\cdot h(x)=\int [g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)]

\int g'(x)\cdot h(x) dx=g(x)\cdot h(x)-\int g(x)\cdot h'(x) dx


Unser erstes Beispiel war die Funktion:

f(x)=x^2 \cdot x^3


~ ~ ~ ~

g'(x)=x^2    -------   g(x)=\frac {x^3}{3}

h(x)=x^3     -------    h'(x)=3x^2

~ ~ ~ ~


\int x^2 \cdot x^3dx=\frac {x^3}{3} \cdot x^3- \int \frac {x^3}{3} \cdot 3x^2dx

=\frac {x^6}{3}- \int x^5dx

=\frac {x^6}{3}- \frac {x^6}{6}=\frac {2x^6-x^6}{6}=\frac {x^6}{6}+C=F(x)

Das zweite Beispiel war die Funktion:

\int (e^x  \cdot x) dx


~ ~ ~ ~

g'(x)=x    -------    g(x)=\frac {x^2}{2}

h(x)=e^x       -------    h'(x)=e^x

~ ~ ~ ~


\int x \cdot e^x dx = \frac{x^2}{2} \cdot e^x - \int \frac{x^2}{2} \cdot e^xdx

Hier ist das Ergebnis der Produktintegration eine nur noch kompliziertere Multiplikation. Um etwas solches zu vermeiden können wir oftmals ausprobieren die Faktoren zu vertauschen, also den anderen abzuleiten bzw. die Stammfunktion zu bilden.


~ ~ ~ ~

g'(x)=e^x     -------    g(x)=e^x

h(x)=x       ------- h'(x)=1

~ ~ ~ ~


In diesem Fall ist das Ergebnis geglückt und wir können das entstandene Produkt integrieren.

Hier haben wir das vorherige "g'(x)" durch das "h(x)" ersetzt. Und ebenso haben wir das "h(x)" durch das "g'(x)" ersetzt.

\int e^x \cdot x dx = e^x \cdot x - \int e^x \cdot 1 dx

=e^x \cdot x - e^x

=e^x(x-1)+C = F(x)

Hier führen wir noch die Probe durch und leiten das Integral ab. Wenn die Ableitung unsere Ursprungsfunktion ist, dann haben wir es richtig gemacht. Wenn nicht dann liegt ein Fehler vor und wir müssen ihn korrigieren.

F'(x)=e^x(x-1)+e^x\cdot 1

=e^x(x-1+1)

=e^x \cdot x

Das Ergebnis ist die Ursprungsfunktion und wir haben richtig integriert.


\int x \cdot sin(x)=-cos(x) \cdot x -\int -cos(x) \cdot 1 dx


~ ~ ~ ~

g'(x)=sin(x) ------- g(x)=-cos(x)

h(x)=x ------- h'(x)=1

~ ~ ~ ~


=-cos(x) \cdot x + sin (x) + C =F(x)


F'(x)=-(-sin(x) \cdot x + cos (x) \cdot 1) + cos(x)

=sin(x) \cdot x -cos(x) + cos(x)

=sin(x) \cdot x = f(x)

zerntriert

Hier bilden wir das Integral der Funktionen in den Grenzen von 0 bis  \frac{ \pi }{2} . Erstaunlichergweise ist der Flächeninhalt zur x-Achse bei beiden Funktionen gleich groß.

f(x)=sin(x) \cdot x

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(x) \cdot x dx

=[-cos(x) \cdot x + sin (x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}}

=(-0 \cdot \frac{\pi}{2} + 1)-(-1 \cdot 0 +0)=1


f(x)=sin(x)

\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}sin(x)dx

=[-cos(x)]^{\frac{\pi}{2}}_{0}

=0-(-1)=1



Bundeswettbewerb Mathematik

Am Freitag begannen wir die Stunde mit einer kleinen Besprechung über den Bundeswettbewerb Mathematik.


Bogenmaß und Gradmaß

Dieses Thema haben wir kurz wiederholt für die Abituraufgabe 6.

Tabelle Bogen und Gradmaß.png

sin^2(x)+cos^2(x)=1

linksbündig

U_{O}=2\pi

Anwendung der Produktintegration

Hierbei wollten wir zeigen, dass man nicht einfach die Faktoren bzw. Stammfunktionen multiplizieren kann. Das Produkt der Stammfunktionen ist nämlich ungleich der wahren Stammfunktion.

f(x)=x^2 \cdot x^3

F_{1}(x)=\frac{x^3}{3}

F_{2}(x)=\frac{x^4}{4}

F_{1}(x) \cdot F_{2}(x)= \frac{x^7}{12}\neq\frac{x^6}{6}=f(x)


f(x)=\int 2x \cdot e^x dx


~ ~ ~ ~

g'(x)=e^x -------g(x)=e^x

h(x)=2x -------h'(x)=2

~ ~ ~ ~


f(x)=e^x \cdot 2x - \int e^x \cdot 2 dx

=2xe^x-2e^x

=2e^x(x-1)+C =F(x)

f(x)=\int ln(x) dx = \int 1 \cdot ln(x) dx


~ ~ ~ ~

g'(x)=1 ------- g(x)=x

h(x)=ln(x) ------- h'(x)=\frac{1}{x}

~ ~ ~ ~


f(x)= x \cdot ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x}dx

=x \cdot ln(x) - \int 1 dx

= x \cdot ln(x) - x = F(x)


f(x)= \int x^2 \cdot sin(x) dx


~ ~ ~ ~

g'(x)=sin(x) ------- g(x)= -cos(x)

h(x)=x^2 ------- h'(x)=2x

~ ~ ~ ~


F(x)=-cos(x) \cdot x^2 +  \int cos(x) \cdot 2x dx

Jetzt müssen wir das Integral, da wir es noch nicht integrieren können nochmals mit der Pruduktintegration integrieren.

\int cos(x) \cdot 2x dx


~ ~ ~ ~

g'(x)=cos(x) ------- g(x)=sin(x)

h(x)=2x ------- h'(x)=2

~ ~ ~ ~


F(x)=sin(x) \cdot 2x - \int sin(x) \cdot 2 dx

=sin(x) \cdot 2x + 2cos(x)

F(x)=-cos(x) \cdot x^2 + sin(x) \cdot 2x +cos(x) \cdot 2