Protokolle vom Januar 2016

Kurzinfo
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Protokoll vom 13.1 und 15.1.2016, Themen

Protokoll von--Alex99OB (Diskussion) 00:18, 16. Jan. 2016 (CET)	(Schuljahr 2015 / 16)
Lehrer C.-J. Schmitt	(5 Unterrichtsstunden)
verbessert von--Alex99OB (Diskussion) 18:47, 2. Feb. 2016 (CET)

Wiederholung der Produktintegration an Beispielen

Bsp.1: Abituraufgabe 5c

$\int \frac{ln\left ( x \right )}{x}dx=\int \frac{1}{x}\cdot ln\left ( x \right )dx$

~ ~ ~ ~

$g'\left ( x \right )=\frac{1}{x}-------g\left ( x \right )=ln\left ( x \right )$

$h\left ( x \right )=ln\left ( x \right )-------h'\left ( x \right )=\frac{1}{x}$

~ ~ ~ ~

$\int \frac{1}{x}\cdot ln\left ( x \right )dx=ln\left ( x \right )\cdot ln\left ( x \right )-\int \frac{1}{x}\cdot ln\left ( x \right )$

Damit man die Aufgabe lösen kann muss man die $\int \frac{1}{x}\cdot ln\left ( x \right )$ auf die linke Seite bringen und dann durch zwei Teilen. Dies geht nur da $\int \frac{1}{x}\cdot ln\left ( x \right )$ subtrahiert wird und nicht addiert.

$2\int \frac{1}{x}\cdot ln\left ( x \right )dx=ln\left ( x \right )^{2}$

$\int \frac{1}{x}\cdot ln\left ( x \right )dx=\frac{ln\left ( x \right )^{2}}{2}+c$

Probe:

$F'\left ( x \right )=\frac{2\cdot ln\left ( x \right )\cdot \frac{1}{x}}{2}=ln\left ( x \right )\cdot \frac{1}{x}=f\left ( x \right )$

Bsp.2

$\int x\cdot ln\left ( x \right )dx$

~ ~ ~ ~

$g'\left ( x \right )=ln\left ( x \right )-------g\left ( x \right )=x\cdot ln\left ( x \right )-x$

$h\left ( x \right )=x-------h'\left ( x \right )=1$

~ ~ ~ ~

Da der erste Lösungsansatz uns nicht zur Lösung bringt, probiert man es mit dem Zweitem.

~ ~ ~ ~

$g'\left ( x \right )=x-------g\left ( x \right )=\frac{x^{2}}{2}$

$h\left ( x \right )=ln\left ( x \right )-------h'\left ( x \right )=\frac{1}{x}$

~ ~ ~ ~

Da man mit diesem Lösungsansatz zur Lösung kommt benutzt man diesen.

$\int x\cdot ln\left ( x \right )dx=\frac{x^{2}}{2}\cdot ln\left ( x \right )-\int \frac{x^{2}}{2}\cdot \frac{1}{x}dx$

$=\frac{x^{2}}{2}\cdot ln\left ( x \right )-\int \frac{x}{2}dx$

$=\frac{x^{2}}{2}\cdot ln\left ( x \right )-\frac{x^{2}}{4}$

$=-\frac{x^{2}}{2}\left ( ln\left ( x \right )-\frac{1}{2} \right )=F\left ( x \right )$

Probe:

$F'\left ( x \right )=x\cdot \left ( ln\left ( x \right )-\frac{1}{2} \right )+\frac{x^{2}}{2}\cdot \frac{1}{x}$

$=x\cdot ln\left ( x \right )-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x$

$=x\cdot ln\left ( x \right )=f(x)$

Bsp.3

$\int xe^{x^{2}}dx$

~ ~ ~ ~

$g'\left ( x \right )=e^{x^{2}}-------g\left ( x \right )=?$

$h\left ( x \right )=x-------h'\left ( x \right )=1$

~ ~ ~ ~

Da wir die Stammfunktion von $e^{x^{2}}$ nict kennen müsssen wir sie ermitteln.

$\int e^{x^{2}}dx=\int 1\cdot e^{^{x^{2}}}dx$

~ ~ ~ ~

$g'\left ( x \right )=1-------g\left ( x \right )=x$

$h\left ( x \right )=e^{x^{2}}-------h'\left ( x \right )=e^{x^{2}}\cdot 2x$

~ ~ ~ ~

Da dies uns nicht weiter bringt versuchen wir es mit einem anderem Lösungsweg.

$\int xe^{x^{2}}dx$

~ ~ ~ ~

$g'\left ( x \right )=x-------g\left ( x \right )=\frac{x^{2}}{2}$

$h\left ( x \right )=e^{x^{2}}-------h'\left ( x \right )=e^{x^{2}}\cdot 2x$

~ ~ ~ ~

Dies bringt uns auch nicht weiter deswegen müssen wir es mit einer anderen Methode lösen.

Integration durch Substitution

Herleitung der Formel durch die Kettenregel.

$f\left ( x \right )=h\left ( g\left ( x \right ) \right )$

Um die Ableitung der Funktion zu bilden muss man die Kettenregel anwenden.

$f'\left ( x \right )=h'\left ( g\left ( x \right ) \right )\cdot g'\left ( x \right )$

$\int f'\left ( x \right )dx=f\left ( x \right )=\int h'\left ( g\left ( x \right ) \right )\cdot g'\left ( x \right )dx$

$h\left ( g\left ( x \right ) \right )=\int h'\left ( g\left ( x \right ) \right )\cdot g'\left ( x \right )dx$

Um die Funktion zu erleichtern benutzen man nicht die Ableitung sondern die Stammfunktion.

Funktion h$\rightarrow$ h' Ableitung

Stammfunktion h $\leftarrow$ h' Funktion

Anpassung der Formel :

$H\left ( g\left ( x \right ) \right )=\int h\left ( g\left ( x \right ) \right )\cdot g'\left ( x \right )dx=F(x)$

$F'\left ( x \right )=H'\left ( g\left ( x \right ) \right )\cdot g'\left ( x \right )=h\left ( g\left ( x \right ) \right )\cdot g'\left ( x \right )=f(x)$

Beispiele

Bsp.1

$\int \left ( 0.5+1 \right )^{4}dx$

~ ~ ~ ~

$g\left ( x \right )=0.5x+1-------g'\left ( x \right )=0.5$

$h\left ( t \right )=t^{4}-------H\left ( t \right )=\frac{t^{5}}{5}$

~ ~ ~ ~

$\int \left ( 0.5+1 \right )^{4}dx=2\int h\left ( g\left ( x \right ) \right )\cdot g'\left ( x \right )dx$

Damit die Formel erfüllt wird muss man mit dem Vorfaktor 2 arbeiten.

$2H\left ( g\left ( x \right ) \right )=\frac{2\cdot \left ( 0.5+1 \right )^{5}}{5}+x=F(x)$

Probe:

$F'\left ( x \right )=\frac{2}{5}\left ( 0.5x+1 \right )^{4}\cdot 5\cdot 0.5=\left ( 0.5x+1 \right )^{4}=f\left ( x \right )$

Da diese Funktion eine innere lineare Funktion besitzt spricht man von linearer Integration.

$\int \left ( 0.5x+1 \right )^{4}dx$

$F\left ( x \right )=2\cdot \frac{\left ( 0.5x+1 \right )^{5}}{5}$

Bsp.2

Abituraufgabe 5c

$\int \frac{ln\left ( x \right )}{x}dx$

~ ~ ~ ~

$g\left ( x \right )=ln\left ( x \right )-------g'\left ( x \right )\frac{1}{x}$

$h\left ( t \right )=t-------H\left ( t \right )=\frac{t^{2}}{2}$

~ ~ ~ ~

$\int \frac{ln\left ( x \right )}{x}dx=\int h\left ( g\left ( x \right ) \right )\cdot g'\left ( x \right )=H\left ( g\left ( x \right )\right )=\frac{ln\left ( x^{2} \right )}{2}=F\left ( x \right )$

Bsp.3

$f\left ( x \right )=x\cdot \left ( x^{2} +3\right )^{6}$

~ ~ ~ ~

$g\left ( x \right )=x^{2}+3-------g'\left ( x \right )=2x$

$h\left ( t \right )=t^{6}-------H\left ( t \right )=\frac{t^{7}}{7}$

~ ~ ~ ~

$\int x\cdot \left ( x^{2}+3 \right )^{6}=\frac{1}{2}\int h\left ( g\left ( x \right ) \right )\cdot g'\left ( x \right )dx=0.5H\left ( g\left ( x\right ) \right )=0.5\frac{\left ( x ^{2}+3\right )^{7}}{7}=\frac{1}{14}\left ( x^{2} +3\right )^{7}$

Probe:

$F'\left ( x \right )=\frac{1}{2}\cdot \left ( x^{2}+3 \right )^{6}\cdot 2x=x\cdot \left ( x^{2}+3 \right )^{6}=f\left ( x \right )$

Bsp.4 ( Jetzt können wir Abituraufgabe 3b lösen)

Abituraufgabe 3b

Vergleich von verschiedenen Sinus-Funktionen

$f_{1}=sin\left ( x \right )$

$f_{2}=sin\left ( x \right )\cdot x$

$f_{3}=sin\left ( x \right )\cdot x^{2}$

$f_{4}=(sin\left ( x \right ))^{2}$

Vergleich der Funktionen beim Integral 0 bis $\frac{\pi }{2}$.

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin\left ( x \right )dx=1$

$\int x\cdot sin\left ( x \right )dx=sin\left ( x \right )-x\cdot cos\left ( x \right )$

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}x\cdot sin\left ( x \right ) dx=1$

$\int x^{2}\cdot sin\left ( x \right )dx=\left ( -x^{2}+2 \right )cos\left ( x \right )+2x\cdot sin\left ( x \right )=F\left ( x\right )$

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin\left ( x \right )\cdot x^{2}dx=\left [ F(x) \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=1.14$

$\int sin^{2}\left ( x \right )dx=\frac{1}{2}\left ( x-sin\left ( x \right )\cdot cos\left ( x \right ) \right )=F\left ( x\right )$

$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^{2}\left ( x \right )dx=\left [ F(x) \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{4}=0.79=\frac{A_{\square }}{2}$

Die ersten beiden Funktionen haben dasselben Flächeninhalt und keine der Funktionen hat in diesem Integral eine Nullstelle.

Bearbeitung von Übungsblatt Nr.20

$f\left ( x \right )=\frac{x^{2}+8x+7}{1-x}$

a.

$D_{f}=\mathbb{R}/1$

b.

Es liegt keine Achsen- oder Punktsymmetrie vor

c. $x_{x> 1}\rightarrow 1\Rightarrow f\left ( x \right )\rightarrow -\infty$

$x_{x< 1}\rightarrow 1\Rightarrow f\left ( x \right )\rightarrow +\infty$

e. 1. P(0/7)

2.

Satz des Vieta

$x_{1}=-1$

$x_{2}=-7$

$\left ( x^{2}+8x+7 \right ):\left ( -x+1 \right )=-x-9-\frac{16}{\left ( -x+1 \right )}$

Aus der Polynomdivision folgt die schräge Asymptote $g\left ( x \right )=-x-9$

Die senkrechte Asymptote liegt bei 1, da es der Definitionsbereich einschrenkt.

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. Protokoll vom 20.1 und 22.1.2016, Themen: Asymptoten, Uneigentliche Integrale, Vorzeichenwechsel

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Protokoll von--Kat99OB (Diskussion)--Kat99OB (Diskussion) 20:28, 21. Jan. 2016 (CET)	(Schuljahr 2015 / 16)
Lehrer C.-J. Schmitt	(5 Unterrichtsstunden)
verbessert von--Kat99OB (Diskussion) 14:46, 30. Jan. 2016 (CET)

Besprechung der Hausaufgaben

Übungsblatt 18:
Die folgenden Aufgaben haben wir mithilfe der Integration durch Substitution gelöst

Nr.6 b.)$F(x)= \frac{1}{9} \cdot (x^3-1)^3$

i.)$F(x)=-e^{cos(x)}$

Nr.7j.)$F(x)= \frac{1}{2}\cdot e^{x^2+2x}$

e.)$F(x)= \frac{1}{18}\cdot (x^3-2)^6$

Nr.5i.)$F(x)=\frac{3}{4}\cdot (sin(x))^4$

Senkrechte und schräge Asymptoten

Die senkrechte Asymptote wird auch Polgerade genannt. Es gibt aber auch waagerechte Asymptoten.Oft ist die X-Achse eine waagerechte Asymptote, das heißt der Graph der Funktion nähert sich der x-Achse beliebig. Der Graph kommt der x-Achse beliebig nahe, wenn er in einem "Schlauch" ist, kommt er nie wieder raus. Die x-Achse wird bei manchen Funktionen geschnitten; vgl. $sin(x)\cdot \frac{1}{x}$

Beispiel Klapptest 30
$f(x)= \frac{x^3}{x^2-4}$ Hier gibt es zwei Polgeraden bei:
$x=2$
$x=-2$

Berechnung der schrägen Asymptote:

Um die Gleichung der schrägen Asymptote zu finden, müssen wir den Zähler durch den Nenner teilen, indem wir die Polynomdivision durchführen.
$(x^3):(x^2-4)=x+\frac{4x}{x^2-4}=f(x)$

$-(x^3-4x)$

___________
$4x$

( Def.: g(x) ist eine schräge oder waagerechte Asymptote von f, wenn lim (f(x)-g(x))=0)

Schräge Asymptote: $g(x)=x$

Nähere Untersuchung des Bruchs:

$\lim_{x \rightarrow \infty }((f(x)-g(x))$

$= \lim_{x \rightarrow \infty }\left( \frac{4x}{x^2-4}\right)$( durch x^2 kürzen um Grenzwertverhalten zu untersuchen)

$= \lim_{x \rightarrow \infty }\left( \frac{ \frac{4}{x} }{1- \frac{4}{x^2} }\right)=0$
Auf dem Schaubild (rechts) sind die Polgeraden, die Polstellen $x=2$ und $x=-2$ und die schräge Asymptote $g(x)=x$ deutlich zu erkennen

Gesetzmäßigkeiten für Asymptoten

Wenn $z$ der Grad des Zählerpolynoms und $n$ der Grad des Nennerpolynoms ist, dann gilt:

1.)$z<n;g(x)=0 \rightarrow$waagerechte Asymptote

( Hinweis: Wenn es eine Konstante gibt,muss man beachten, dass g(x) $\neq$0. Z.B bei $f(x)=\frac{1}{-x+4}+2$ ist g(x)=2

2.)$z=n;g(x)= \frac{a_{n} }{b_{n} }\rightarrow$waagerechte Asymptote

da$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x^1+a_0}{a_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}}= \lim_{x \rightarrow \infty } \frac{a_n+ \frac{a_n-1}{x}+...+ \frac{a_0}{x^n} }{bn...+ \frac{b_0}{x^n} }= \frac{a_n}{b_n}$

3.)$z=n+1;g(x)=mx+b\rightarrow$schräge Asymptote

(Berechnung mithilfe der Polynomdivision. Das Ergebnis ist dann eine lineare Funktion)

4.)$z>n+1\rightarrow$Näherungskurve

(Berechnung wieder mithilfe der Polynomdivision)

Beispiele
1.)$f(x)= \frac{x}{x^2-1}$ Der Nennergrad ist größer als der Zählergrad. Wenn x gegen $\infty$ strebt, strebt der Term gegen 0

2.)$f(x)= \frac{2x^3+2x^2-x-2}{x^3+1}$ Der Nennergrad und der Zählergrad sind gleich groß. Wenn x gegen $\infty$ strebt, strebt der Term gegen 2.

da$\lim_{x \rightarrow \infty } \frac{2+ \frac{2}{x}- \frac{1}{x^2}- \frac{2}{x^3} }{1+ \frac{1}{x^3} }=2$ (jeweils durch x^3 teilen)

3.)$f(x)= \frac{2x^2+6x+1}{x+3}$ Der Zählergrad ist genau um 1 größer als der Nennergrad. Die schräge Asymptote ist demnach $y=2x$

4.)$f(x)= \frac{x^3-4x^2+4x+1}{x-1}$ Der Zählergrad ist um mehr als 1 größer als der Nennergrad. Das heißt es handelt sich hier um eine Näherungskurve

Verdeutlichung des asymptotischen Verhaltens anhand einer Aufgabe

Übungsblatt 21
Aufgabenstellung:
Für welche Werte von x unterscheidet sich der Funktionswert betragsmäßig um weniger als 0,1 vom Wert der Asymptote?

Wir sollen also herausfinden bei welchem X-Wert die Funktion einen kleineren Funktionswert als 0,1 hat und sozusagen in den "Schlauch" eintaucht und nicht mehr heraus kommt.

$\frac{x}{x^2-1} <0,1$ $|\cdot (x^2-1)$

$x<0,1x^2-0,1$ $|-x$

$0<0,1x^2-x-0,1$ $|\cdot 10$

$0<x^2-10x-1$

Anwendung der pq-Formel um Ungleichung zu lösen:

$x_{1/2}=5 \pm \sqrt{26}$

$x_1=10,1$

$x_2=-0,09$
$\rightarrow$ Antwort: für x>10,1 sind die Funktionswerte immer kleiner als 0,1, also asymptotisch

Besprechung Übungsblatt 20

j.) Gesucht ist ein Rechteck mit einem größtmöglichen Flächeninhalt. Unsere Idee besteht darin, die Formel $A(x)=-x\cdot f(x)$ zu benutzen. Das x muss in der Formel ein negatives Vorzeichen haben, da der Flächeninhalt niemals negativ sein kann. Darauf berechnet man das Extremum mithilfe der ersten und zweiten Ableitung. Die möglichen Stellen haben wir jedoch mithilfe des Computers herausgefunden.

$A'(x)= \frac{2x^3+5x^2-16x-7}{(1-x)^2}$
Für $x=-0,4$ ist der Flächeninhalt am größten

l.) Hier haben wir den Term durch Polynomdivision vereinfacht und dann die Stammfunktion gebildet.

m.) Hier haben wir die Nullstellen als Grenzen genommen und wie immer integriert. Die Stammfunktion haben wir schon von der Aufgabe davor.

n.) Um zu zeigen, dass der Flächeninhalt einen unendlichen Wert besitzt, müssen wir integrieren. Jedoch dürfen wir die obere Grenze 1 nicht einsetzen, da ln(0) nicht geht. Wir ersetzen die obere Grenze durch b und lassen b gegen 1 streben.(siehe uneigentliche Integrale)

o.) Hier wenden wir ein ähnliches Verfahren an und ersetzen die untere Grenze $-\infty$ durch a. Jedoch verwenden wir hier nicht f(x) sondern (f(x)-g(x)), um die schräge Asymptote zu berücksichtigen. Die Differenz von f(x) und g(x) beschreibt die Fläche.

Uneigentliche Integrale

Bei uneigentlichen Integralen müssen wir den Limes benutzen und können nicht wie gewohnt bestimmte Grenzen einsetzen und integrieren.

1.)$f(x)= \frac{1}{x}$

$\int^ \infty _1 \frac{1}{x}dx=\left[ln(x)\right]_1^ \infty$

$=\lim_{z \rightarrow \infty }[ln(x)]_1^z$(wir ersetzen $\infty$ durch $z$)

$= \lim_{z \rightarrow \infty } (ln(z)-0)\rightarrow+\infty$ (existiert nicht)

Da kein konkreter Grenzwert heraus kommt, benutzt man den Begriff divergent

2.)$f(x)= \frac{1}{x^2}$

$\int_1^ \infty \frac{1}{x^2}dx=\left[- \frac{1}{x}\right]_1^ \infty$

$=\lim_{z \rightarrow \infty }\left[- \frac{1}{x}\right]_1^z$(wir ersetzen $\infty$ durch$z$)

$=\lim_{z \rightarrow \infty }(- \frac{1}{z}+1)=1$
Da ein konkreter Grenzwert heraus kommt, benutzt man hier den Begriff konvergent

3.)$\int _0^1 \frac{1}{x}=\left[ln(x)\right]_0^1$

$= \lim_{a \rightarrow 0}[ln(x)]_a^1$(wir können die untere Grenze 0 nicht einsetzen, da ln(0) nicht geht. Daher ersetzen wir 0 durch a und lassen a gegen 0 laufen.)

$= \lim_{a \rightarrow 0}(0-ln(a))\rightarrow +\infty$

4.) $\int _0^1 \frac{1}{x^2}=\left[- \frac{1}{x} \right]_0^1$

$= \lim_{a \rightarrow 0}\left[- \frac{1}{x} \right]_a^1$(hier können wir die untere Grenze ebenfalls nicht einsetzen, da man nicht durch 0 teilen darf. Wieder ersetzen wir 0 durch a und lassen a gegen 0 laufen.

$= \lim_{a \rightarrow 0}(-1+ \frac{1}{a} )\rightarrow +\infty$

Kurze Besprechung zur Trigonometrie

Die Sinusfunktion ist nicht umkehrbar, da es zu einem y-Wert mehr als einen x-Wert gibt. Deshalb müssen wir den Definitionsbereich einschränken:
Wir nehmen den Definitionsbereich von $- \frac{ \pi }{2}$ bis $\frac{ \pi }{2}$
$sin^{-1}(-1)=-90^\circ$

$sin^{-1}(0,8)=53^\circ=x_1$
Jedoch gibt es noch einen zweiten Wert für 0,8 den uns der Taschenrechner nicht anzeigt.
Um den zweiten Wert heraus zu finden, können wir sagen: $x_2=180^\circ-53^\circ=127^\circ$(Diese Rechnung können wir aufgrund der Symmetrie der Sinusfunktion durchführen)


(Der güne Bereich stellt die Einschränkung des Definitionsbereiches dar)

Bei der Kosinusfunktion müssten wir ebenfalls den Definitionsbereich einschränken von $0$ bis $\pi$

Untersuchen des Vorzeichenwechsels (siehe Ü21)

Um den VZW zu untersuchen können wir uns zuerst den Zähler und dann den Nenner im Bezug auf den VZW anschauen.

Bsp.b.)
$f(x)= \frac{2x^3+2x^2-x-2}{x^3+1}$
Polstelle bei $x=-1$

Nenner: $x^3+1$ (Kubische Funktion um 1 nach oben verschoben) Vzw von $-$ zu $+$

Zähler: In den Zähler setzen wir -1 für x ein. Also Zähler(-1)= -1
$\rightarrow$ Im Endeffekt haben wir einen Vorzeichenwechsel von $+$ zu$-$

Bsp.c.)

$f(x)= \frac{2x^2+6x+1}{x+3}$
Polstelle bei $x=-3$

Nenner: $x+3$ VZW von $-$ zu $+$

Zähler: In den Zähler setzen wir -3 für x ein. Also Zähler(-3)=1
$\rightarrow$ Der Vorzeichenwechsel ändert sich also nicht und bleibt von $-$ zu $+$

Bsp.c.) (siehe Ü 22)

$f(x)= \frac{x^4-1}{x^2}$
Polstelle bei $x=0$

Nenner: $x^2$ Vorzeichenverhalten von $+$ zu $+$

Zähler: In den Zähler setzen wir 0 für x ein. Also Zähler(0)= -1
$\rightarrow$ Es gibt also keinen VZW, da sich das Vorzeichenverhalten nicht ändert. Es geht von $-$ zu $-$