Protokolle vom November 2015

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Inhaltsverzeichnis

. Protokoll vom 4.11.2015, Themen Beweis des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung, Produktregel, Kettenregel

Protokoll von--Addie98OB (Diskussion) 21:43, 8. Nov. 2015 (CET) (Schuljahr 2015 / 16)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von --Addie98OB (Diskussion) 21:14, 13. Nov. 2015 (CET)

Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung


Nötiges Wissen zum Beweis

1) Stetigkeit: \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) = f(x)

2) Differenzialquotient: f'(x) =  \lim_{h \rightarrow 0}  \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

3) Integralfunktion (Eine Grenze des Integrals ist eine Variable): I_{a}(x)= \int_a^x f(t)dt

Beweis

Voraussetzung

f stetig auf [a,b]

Behauptung

Es existiert (eine Stammfunktion) F

1) F ist differenzierbar

2) F'(x) = f(x)

\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)

Beweis

Sei: I_a(x) =  \int_a^x f(t)dt = F(x)

Differenzenquotient für F

\frac{F(x+h)-F(x)}{h} =  \frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h} =  \frac{ \int_a^{x+h} f(t)dt -  \int_a^x f(t)dt }{h} = \frac{\int_x^{x+h} f(t)dt}{h}

Wähle h so klein, dass die Funktion auf dem Intervall entweder sinkt oder steigt.

Protokoll Hauptsatz Beweis.jpg

Anhand der Skizze kann man deutlicher erkennen, dass das Integral größer als die minimale Fläche und kleiner als die maximale Fläche ist:

h. min  \leq  \int_x^{x+h} f(t)dt  \leq h. max

h \cdot f(x)  \leq  \int_x^{x+h} f(t)dt  \leq h \cdot f(x+h)

f(x)  \leq  \frac{\int_x^{x+h} f(t)dt}{h}  \leq f(x+h)

h  \rightarrow 0

f(x)  \leq  \lim_{h \rightarrow 0}  \frac{\int_x^{x+h} f(t)dt}{h}  \leq f(x)

f(x) = \lim_{h \rightarrow 0}  \frac{\int_x^{x+h} f(t)dt}{h} =  \lim_{h \rightarrow 0}  \frac{F(x+h)-F(x)}{h} = F'(x)

Dies bedeutet, dass eine Ableitung existiert und dass diese Ableitung gleich f(x) ist.

q.e.d.

Ableitung von Produkten


Man kann beim Ableiten von Produkten nicht beide Faktoren zuerst ableiten und dann multiplizieren.

f(x) = x \cdot x = x^2

f'(x) = 2x

f'(x) \neq 1 \cdot 1

Produktregel


Beweis

Voraussetzung

k, g sind differenzierbar; f(x)=g(x)\cdot k(x)

Behauptung

f'(x) = k(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot k'(x)

Beweis

f'(x)=  \lim_{h \rightarrow 0}  \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =  \lim_{h \rightarrow 0}  \frac{k(x+h)\cdot g(x+h) - k(x)\cdot g(x)}{h}

f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0}  \frac{k(x+h)\cdot g(x+h) - k(x+h)\cdot g(x)+k(x+h)\cdot g(x)-k(x)\cdot g(x)}{h}

Indem wir einen Term abziehen und dann auch wieder addieren, hier k(x+h)\cdot g(x), gleichen die Rechnungen sich auch und das Ergebnis bleibt unverändert.

Jetzt haben wir eine Möglichkeit weiter zu rechnen, indem wir k(x+h) ausklammern.

f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{k(x+h)\left(g(x+h)-g(x)\right)+g(x)\left(k(x+h)-k(x)\right)}{h}

f'(x) = k(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot k'(x)

Vergleich zur Summenregel

f(x) = k(x) + g(x)

f'(x) = k'(x) + g'(x)


f(x) = k(x) \cdot g(x)

f'(x) \neq k'(x) \cdot g'(x)

Beispiel

f(x) = x \cdot  \sqrt{x}

g(x) = x

g'(x) = 1

k(x) = \sqrt {x}

k'(x) =  \frac{1}{2 \sqrt{x}}

f'(x) = 1\cdot  \sqrt{x} + x\cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} =  \sqrt{x} \cdot  \frac{x}{2 \sqrt{x}} =  \frac{2x+x}{2 \sqrt{x}}

= \frac{3x}{2 \sqrt{x}} =  \frac{3x \sqrt{x}}{2x} =  \frac{3}{2} \sqrt{x}

Alternative zur Produktregel

Die Faktoren werden multipliziert und ihr Produkt wird abgeleitet. Diese Methode kann man jedoch nicht immer anwenden.

f(x) = x\cdot  \sqrt{x}  =  \sqrt{x^3} = x^{\frac{3}{2}}

f'(x) =  \frac{3}{2}x^{ \frac{1}{2}}= \frac{3}{2} \sqrt{x}

Verkettung von Funktionen


f(x) = sin(x^2)

g(x) = x^2

k(t) = sin(t)

In diesem Zusammenhang nennt man g(x), hier x^2, die innere Funktion und k(t), hier sin(t), die äußere Funktion.

f(x) = k \left(g(x)\right)

Die äußere Funktion hat als Variable den Funktionswert der inneren Funktion.

Kettenregel


Satz

Voraussetzung

f(x) = k(g(x))

g'(x) existiert/g(x) ist differenzierbar

k'(g(x)) existiert/k(g(x)) ist differenzierbar

Behauptung

f'(x) = k'(g(x))  \cdot g'(x)

Die äußere Funktion wird nach der inneren abgeleitet und dann mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert.

Beweis

f'(x) =  \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{k(g(x+h))-k(g(x))}{h}

=  \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{k(g(x+h))-k(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot  \frac{g(x+h)-g(x)}{h}  \right)

Auch hier haben wir einen Term hinzugefügt, ohne das Ergebnis zu verändern. Die Division und Multiplikation heben sich gegenseitig auf.

Das g(x+h)-g(x) im Nenner geht trotzdem gegen 0, weil bei h \rightarrow 0 im Nenner g(x)-g(x) bleibt, was 0 ergibt.

Dies bedeutet, dass der Differenzialquotient hier anwendbar ist.

=k'(g(x)) \cdot g'(x)

q.e.d.

Beispiele

f(x) = sin(x^2)

g(x) = x^2

g'(x) = 2x

k(t) = sin(t)

k'(x)= cos(t)

f'(x) = k'(g(x)) \cdot g'(x) = cos(x^2)\cdot 2x


f(x)= (2x+5)^2

g(x) = 2x+5

g'(x)=2

k(t)=t^2

k'(x)=2t

f'(x)= k'(g(x)) \cdot g'(x) = 2(2x+5)\cdot2 = 4(2x+5) = 8x+20

Probe:

f(x)=(2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25

f'(x) = 8x + 20

Lösung der Hausaufgaben


S.68: 1a) V=14,14

1c) V=3,351

4a) V=203,58

S.21: 1b) f'(x) = 3\cdot cos(x) - 3x \cdot sin(x)

1c) f'(x) = 3 \cdot \sqrt{x} + (3x+2) \cdot  \frac{1}{2\sqrt{x}}

1g) f'(x) = - \frac{2}{x^2} \cdot cos(x) -  \frac{2}{x}\cdot sin(x)

1h) f'(x) = cos(x)^2 - sin(x)^2

3a) Hier wurden die Faktoren einzeln abgeleitet und dann multipliziert, um f'(x) zu berechnen. Diese Methode funktioniert jedoch nicht. Man muss die Produktregel anwenden.

f'(x) = 2 \cdot sin(x) + (2x-8)\cdot cos(x)

3b) g'(x) = 2 \cdot (8-x)^2 + (2x-3) \cdot (2x-16)

7b) g'(x) = 3 \cdot (0,5x + 1)^2 + 3x \cdot (0,5x+1) =  \frac{9}{4}x^2 + 6x + 3

7c) h'(x) = 1 \cdot  \sqrt{1-x}+x\cdot  \frac{2-3x}{2 \sqrt{1-x}}

S.18: 1a) f'(x) = 4(x+2)^3

2e) f'(x) = 2\cdot cos(2x)

4d) f'(x) =  \frac{2}{3}\cdot  cos(x) \cdot -sin(x)

4e) f'(x) =  \frac{1}{2 \sqrt{3x}} \cdot 3

4f) f'(x) =  \frac{1}{2 \sqrt{3+x}}


. Protokoll vom 11.11.2015, Themen Beweis der Quotientenregel, Exponentialfunktion

Protokoll von--Tws98OB (Diskussion) 20:50, 6. Nov. 2015 (CET) (Schuljahr 2015 / 16)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von--Tws98OB (Diskussion) 10:14, 21. Nov. 2015 (CET)

Lösung der Hausaufgaben zum 11.11.2015

S.68.

1b) V =  \frac{2}{3} \pi = 2,09

2a) V = 8 \pi

S.21.

2a) f'(x)= sin(3x) + 3x \cdot cos(3x)

2b) 6(3x+4)\cdot sin(x) + (3x+4) ^2\cdot cos(x)

4a) x_1 = 0

x_2 = 1

b) f'(1) =  \sqrt{1} +  \frac{1-1}{2\cdot  \sqrt{2}} = 1

c) x =  \frac{1}{3}

S.18.

2b) f'(x) = - \frac{6}{(3x-1)^3}

2f) f'(x)= 2\cdot cos(2x+ \pi )

3a) f'(x) = 8 \cdot cos(4x)

g'(x)= -6(1-3x)^3

3b) f'(x) = -8(5-2x)^3

g'(x)= 4\cdot sin(1-x)

4c) f'(x) = sin( x^{2}+1) \cdot 2x

4h) f'(x) =  \frac{7x}{ \sqrt{7x^{2}-5}}

5a) f'(x) = (3x+2)^2

f'(2) = 64

5b) x =  -\frac{2}{3}

5c)  x_1 = - \frac{1}{3}

x_2 = -1

S.22

1c) f'(x) =  \frac{-3}{(x+2)^2}

1g)  \frac{-2\cdot cos(x) + (0,5-2x) \cdot sin(x)}{cos^2(x)}

2b) g'(x) =  \frac{ \frac{1}{2 \sqrt{x}}\cdot (x+2)- \sqrt{x} }{(x+2)^2}

3c) n'(x) =  \frac{-sin(2x-1)\cdot x^2 - cos(2x-1)\cdot 2x}{x^4}

5a)  -\frac{3}{2x^2}

5b) 0,25; t(x)=\frac{1}{4}x + \frac{1}{4}

5c) m'(x) =  \frac{2}{x^3}

x_1 = 1

x_2 = -1

S.23 #5 Detailliert

Schaubild zu Aufgabe 5c mit eingezeichneten Tangenten.

An welchen Stellen stimmen die Funktionswerte der Ableitung der Funktion h mit h(x)=x^2 und m(x)=- \frac{1}{x^2} überein?


h'(x)=2x

m'(x)=- \frac{0 \cdot x^2 - 2x \cdot 1}{x^4} = \frac{2}{x^3}


2x=\frac{2}{x^3}

2x^4=2

x^4=1

x_1=1;x_2=-1


h(1)=1;(1/1)

h(-1)=1;(-1/1)

m(1)=-1;(1/-1)

m(-1)=-1;(-1/-1)

Lösung der Hausaufgaben zum 13.11.2015

S.69

5a) V=86,39 Zuerst müssen wir das Rotationsvolumen von f(x) zwischen 3 und 8 ausrechen um danach davon das Volumen eines Zylinders mit dem Radius 1 und der Höhe 5 abzuziehen.

Rotationsvolumen von f(x)

S.21

7d) Vereinfacht \frac{\sqrt{x}(3x+1)}{2x}

S.18

s.18#6

6) f'(x)=3(0,5x-1)^2 \cdot 0,5

Nullstelle bei (2/0)  \neq g(x)

Waagerechte Tangente bei (0/2)  \neq h(x)

Vorzeichenwechsel  \neq k(x)

Also... f'(x) = i(x)



S.22

1e) \frac{-2}{(x-1)^2}

2c)\frac{12x \cdot cos(x) - 3cos(x) - 18 sin(x)}{(6x-1)^2}

3d)Vereinfacht\frac{(-x+3) \sqrt{2x-3}}{2x^2(2x-3}

9) f'(t)= \frac{1800}{(t+1)^2}

f'(x)=0

=180


180=\frac{1800}{(t+1)^2}

t_1=\sqrt{10}-1;t_2=\sqrt{10}-1


Ü10

f(x)=400 \cdot 1,06^t Unser Ausgangswert sind 400 Mark, welche Jährlich mit 6% verzinst werden.

t ist dabei die Anzahl an vergangenen Jahren.

Grafische Darstellung zum Kontostandwachstum Ü10

Kontostand zur Jahrtausendwende

f(t)=400 \cdot 1,06^{15}

=958,62 Mark

Wann ist das Guthaben auf 23 Millionen angewachsen?

23000000=400 \cdot 1,06^t

t=188 Jahre; Zur Berechnung benutzen wir den Logarithmus, welchen wir in nächster Zeit noch einmal genau besprechen werden.

Kontostand nach 200 Jahren

400 \cdot 1,06^{200}=46050361,55Mark


Quotientenregel

Beweis

Voraussetzungen

f(x)=\frac{ g(x) }{ h(x) };g'(x),h'(x) ex.;h'(x)\neq 0

Behauptung

f'(x)=\frac{ g'(x) \cdot h'(x) - g(x) \cdot h'(x) }{ (h(x))^2 }

Beweis

f(x)= \frac{g(x)}{h(x)} = g(x) \cdot \frac{1}{h(x)}

In diesem Fall können wir den Bruch auch als Produkt schreiben.

Gebrauch der Kettenregel

k(x)= \frac{1}{h(x)}

k'(x)=? Um die Ableitung herauszufinden nutzen wir die Kettenregel indem wir definieren, dass unser Zähler die Umschließende Funktion zu unserem Nenner ist.

innere Fkt. h(x)

äußere Fkt. i(t)= \frac{1}{t}

i'(t)= - \frac{1}{t^2}


k(x)=i(h(x))

k'(x)=i'(h(x)) \cdot h'(x) = - \frac{1}{(h(x))^2} \cdot h'(x)

=-\frac{h'(x)}{(h(x))^2}


Gebrauch der Produktregel

Nun haben wir die Ableitung von h(x) und können somit mit Gebrauch der Produktregel f'(x) herausfinden.

f(x)= g(x) \cdot \frac{1}{h(x)}

f'(x)=g'(x) \cdot \frac{1}{h(x)} - \frac{g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2} Indem wir den Minuenden auf den selben Nenner wie den Subtrahenden bringen erhalten wir unsere Behauptung.

=\frac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{(h(x))^2} q.e.d.

Beispiele

. Beispiel

f(x)=\frac{ x^2 + x}{x}

g(x)= x^2+x

g'(x)=2x+1

h(x)=x

h'(x)=1

f'(x)= \frac{(2x+1) \cdot - (x^2+x) \cdot 1}{x^2}

=\frac{2x^2+x-x^2-x}{x^2}

=\frac{x^2}{x^2}=1


. Beispiel

f(x)=\frac{x^2-2x+1}{x-1}

g(x)=x^2-2x+1

g'(x)=2x-2

h(x)=x-1

h'(x)=1

f'(x)=\frac{(2x-2) \cdot (x-1) - (x^2-2x+1) \cdot 1}{(x-1)^2}

=\frac{2x^2-2x-2x+2-x^2+2x-1}{(x-1)^2}

\frac{x^2-2x+1}{(x-1)^2}

\frac{(x-1)^2}{(x-1)^2}=1


. Beispiel

f(x)=\frac{cos(x)}{x^2}

g(x)=cos(x)

g'(x)=-sin(x)

h(x)=x^2

h'(x)=2x

f'(x)=\frac{-sin(x) \cdot x^2 - cos(x) \cdot 2x}{(x^2)^2}

=\frac{-x(sin(x) \cdot x + 2 \cdot cos(x))}{x^4}

=\frac{sin(x) \cdot x + 2cos(x)}{x^3}


. Beispiel

f(x)=tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}

sin^2(x)+cos^2(x)=1

g(x)=sin(x)

g'(x)=cos(x)

h(x)=cos(x)

h'(x)=-sin(x)

(sin(x))^2+(cos(x))^2=1

f'(x)=\frac{cos(x) \cdot cos(x) + sin(x) \cdot sin(x)}{(cos(x))^2}

=\frac{(cos(x))^2 + (sin(x))^2}{(cos(x))^2}

=\frac{1}{(cos(x))^2}


. Beispiel

f(x)= \frac{\sqrt{x}}{x}

f'(x)=(\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot x - \sqrt{x}}{x^2})

=\frac{\frac{x}{2 \sqrt{x}} - \sqrt{x}}{x^2}

=\frac{\frac{\sqrt{x}}{2} - \sqrt{x}}{x^2}

 = - \frac{\sqrt{x}}{2x} Wir haben erst bei unserem Bruch im Zähler mit der Wurzel von x erweitert und später dann den gesamten Bruch um 2.


Exponentialfunktion

Beispiel

Taschengeld 100€

Modell A, Erhöhung um 10€ pro Monat

Modell B, Erhöhung um 5% pro Monat

Beispiel zur Exponentialrechnung am Taschengeld
Monat
1 100€
2 110€
3 120€
12 100 + 10  \cdot 11 = 210€
24 100 + 10  \cdot 23 = 330€
36 100 + 10  \cdot 35 = 450€


Monat
1 100€
2 110,25€
3 120€
12 100  \cdot 1,05^{11} = 171€
24 100  \cdot 1,05 ^{23} = 307€
36 100  \cdot 1,05 ^{35} = 552€


f(t)=100 \cdot 10t

g(t)=100 \cdot 1,05^t

Ab der Schnittstelle der Beiden Funktionen gilt; g(t)>f(t)

Diese ist in diesem Beispiel nach ungefähr 2 Jahren und 2 Monaten.

Eulersche Zahl e

e=2,718...irrationale Zahl wie \pi oder \sqrt{2}

Die eulersche Zahl ist die Basis des natürlichen Logarithmus und der Exponentialfunktion.

Irrationale Zahl => nicht periodische Dezimalzahl, welche nicht als Bruch dargestellt werden kann

f(x)=e^x Natürliche Exponentialfunktion

f'(x)=e^x Die Ableitung ergibt die Funktion


Beispiele

Beispiel mithilfe der Produktenregel

f(x)=(e^x-2) \cdot (2+x^2)

f'(x)=e^x \cdot (2+x^2)+(e^x-2) \cdot 2x

Beispiel mithilfe der Quotientenregel

f(x)= \frac{e^x-1}{e^x+1}

f'(x)= \frac{e^x \cdot (e^x+1) - (e^x-1) \cdot e^x}{(e^x+1)^2}

Beispiel mithilfe der Kettenregel

f(x)=(e^x-2)^4

f'(x)=4(e^x-2)^3 \cdot e^x

Anmerkung

e^x \cdot e^x = e^{2x}

Lineares und exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum
f(t)=3^t
x y
0(+1) 1( \cdot 3)
1(+1) 3( \cdot 3)
2(+1) 9( \cdot 3)
3(+1) 27( \cdot 3)
4(+1) 81( \cdot 3)

Wächst x um einen festen Wert, wird y mit einem festen Faktor multipliziert.

f(t)=3^t


Lineares Wachstum (Proportional)
f(t)=3t
x y
0(+1) 0( + 3)
1(+1) 3( + 3)
2(+1) 6( + 3)
3(+1) 9( + 3)
4(+1) 12( +3 )

Wenn x um einen festen wert wächst, dann wird ein fester Wert zu y addiert.

f(t)=3t

Zusätzlich ist dieses Beispiel Proportional. Das heißt, dass wenn z.B. der Wert von x mit 2 multipliziert wird auch der Wert von y sich verdoppelt.


Lineares Wachstum (nicht Proportional)
f(t)=4t+2
x y
0(+1) 2( + 4)
1(+1) 6( + 4)
2(+1) 10( + 4)
3(+1) 14( + 4)
4(+1) 18( +4 )

f(t)=3t+2

Dieses Beispiel ist nicht Proportional, da, wie man in der Tabelle erkennen kann, der x-Wert von 2 verdoppelt nicht gleich dem x-Wert für 4 ist.

Exponentielles Wachstum mit einem Startwert ungleich 0
f(t)=3*2^t
x y
0(+1) 3( \cdot 2)
1(+1) 6( \cdot 2)
2(+1) 12( \cdot 2)
3(+1) 24( \cdot 2)
4(+1) 48( \cdot 2)

f(t)=3 \cdot 2^t

In diesem Fall wird der Startwert in der Funktion einfach mal dem Wachstum genommen.


Exponentielles Wachstum mit mit Variablen dargestellt 0
x y
0(+1) b( \cdot a)
1(+1) b \cdot a( \cdot a)
2(+1) b \cdot a^2( \cdot a)
3(+1) b \cdot a^3( \cdot a)
4(+1) b \cdot a^4( \cdot a)

f(t)=b \cdot a^t

Zusätzliche Informationen

Allgemeines

Der Bruchstrich kommt immer auf Höhe des Gleichzeichens  =\frac{1 }{1 }


Verlinkung zum Versuch des Saughebers


"Abitur 1" wurde von Jonas bearbeitet und kann hier eingesehen werden.


Schreiben und überprüfen der dritten Hausaufgabenüberprüfung

Zu den Protokollen

Es sollte jeweils eine Mail an den Lehrer versendet werden wenn das Protokoll fertig gestellt wurde und nachdem eine Korrektur durchgeführt wurde.

Falls die Protokoll-kette aus zeitlichen gründen nicht eingehalten werden kann sollte man in einiger Zeit im Voraus bescheid sagen und eine Alternative bereitstellen.

Bedeutung der Korrekturzeichen

R - Rechenfehler

D - Denkfehler

F - Mathematischer Formfehler (z.B: vergessen des "dx" in einem Integral)

! - Je nach Anzahl nach bereits aufgelisteten Buchstaben der Wichtigkeits-, bzw. Folgegrad des Fehlers

Form - Mangelnde Lesbarkeit

Kettenregel bei gleichem t-Wert

f(x)= \sqrt{2x} + \frac{1}{2x}

f(x)=h(t)=\sqrt{t}+ \frac{1}{t}

f'(x)=h'(t) \cdot t'

=( \frac{1}{2 \sqrt{2x}} - \frac{1}{(2x)^2} ) \cdot 2

. Protokoll vom 18.11.und 20.11.2015, Themen:Lösung der Hausaufgabe Seite 23 Nr.3f), Die Tangentengleichung und ein Beispiel mit einer Exponentialfunktion, Eigenschaften von Exponentialfunktionen, Ableitung der Exponentialfunktion, Bestimmung von a, Bestimmung der Normalen, S.26Nr.13b), S.26Nr.15.

Protokoll von:--Nico98OB (Diskussion) 12:39, 21. Nov. 2015 (CET) (Schuljahr 2015 / 16)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von:--Nico98OB (Diskussion) 11:14, 5. Dez. 2015 (CET)

Lösung der Hausaufgabe Seite 23 Nr.3f)

f(x)=\frac { { e }^{ x }+1 }{ x }

f'(x)=\frac { { e }^{ x }\cdot x-{ (e }^{ x }+1)\cdot 1 }{ { x }^{ 2 } }

f'(x)=\frac { { e }^{ x }\cdot x-{ e }^{ x }-1 }{ { x }^{ 2 } }

f'(x)=\frac { { e }^{ x }\cdot (x-1)-1 }{ { x }^{ 2 } }


Die Tangentengleichung und ein Beispiel mit einer Exponentialfunktion

t(x)=f'({ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 0 })+f({ x }_{ 0 })


f(x)=e^x

 x_O=2


t(x)=t(x)=f'(2)(x-2)+f(2)

t(x)={ e }^{ 2 }(x-2)+{ e }^{ 2 }

t(x)={ e }^{ 2 }x-2{ e }^{ 2 }+{ e }^{ 2 }

t(x)={ e }^{ 2 }x-{ e }^{ 2 }


Eigenschaften von Exponentialfunktionen

2exponentialfkts.jpg

Unterschiede:

2^x 2^{-x}
asymptotisch zur negativen x Achse asymptotisch zur positiven x Achse
streng monoton steigend streng monoton fallend

Gemeinsamkeiten: Wf=nur positive reelle Zahlen

2^{x+\triangle x}=2^x \cdot  2^{\triangle x}

(Der x Wert wurde um \triangle x vergrößert und der funktionswert wurde mit 2^{\triangle x} multipliziert.)


Ableitung der Exponentialfunktion

f(x)=2^x

f'(x)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac { { 2 }^{ x+h }-{ 2 }^{ x } }{ h }
f'(x)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac { { 2 }^{ x }\cdot { 2 }^{ h }-{ 2 }^{ x } }{ h }
f'(x)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac { 2x({ 2 }^{ h }-1) }{ h }
f'(x)= 2^x \lim_{h \rightarrow 0}\frac { 2^{ h }-1 }{ h }
f'(x)= 2^x\cdot f'(O)

Da { 2^{ h }-1 }{ h } = f'(o) ist

f'(0)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac { 2^{ h }-1 }{ h }

Die Ableitung ist der Funktionswert \cdot die Ableitung an der Stelle 0
(2^x \cdot  f'(0))=f'(x)

f'(0)= \lim_{h \rightarrow 0}\frac { a^{ 2 }-1 }{ h }
f'(x)=a^x \cdot f'(0)


Bestimmung von a

Heuristik: Erfindungskunst ohne allgemeinen Beweis \lim_{h \rightarrow 0}\frac { a^{ h }-1 }{ h }\approx 1
Durch das heuristische Verfahren lassen wir den Limes vorerst weg.

h=\frac { 1 }{ n }

({ a }^{ \frac { 1 }{ n }  }-1)\cdot n=1
{ a }^{ \frac { 1 }{ n }  }-1=\frac { 1 }{ n }
{ a }^{ \frac { 1 }{ n }  }=\frac { 1 }{ n } +1
a={ (\frac { 1 }{ n } +1) }^{ n }
Nun fügen wir den Limes wieder ein

a=\lim_{n \rightarrow \infty }{ (\frac { 1 }{ n } +1) }^{ n }=e=2,718


f(x)=e^x

f'(x)=e^x \cdot f'(0)=e^x


Bestimmung der Normalen

Normale von 2x.jpg

Wie wir sehen hat die Normale von 2x die Steigung -\frac { 1 }{ 2 }

Das heißt n(x)=-\frac { 1 }{ m } \cdot x

Daraus ergibt sich :

n(x)=-\frac { 1 }{ f'({ x }_{ o }) } (x-{ x }_{ o })+f({ x }_{ 0 })

unter der Bedingung ,dass die Tangente an der Stelle { x }_{ o } die Steigung f'({ x }_{ 0 }) hat (Bezogen auf die ursprüngliche Funktion).


Ein weiters Beispiel zur Normalen

Die Funktion: f(x)=6x+7,5

Nun soll an der Stelle x(0)=4 eine Normale eingezeichnet werden. n(x)=-\frac { 1 }{ f'({ x }_{ o }) } (x-{ x }_{ o })+f({ x }_{ 0 })

n(x)=-\frac { 1 }{ f'(4) } (x-4)+f(4)

n(x)=-\frac { 1 }{ 6 } (x-4)+31,5

n(x)=-\frac { 1 }{ 6 }x +30,9

2 Funktionen.jpg


S.26Nr.13b)

Bestimmen sie die Punkte des Graphen der natürlichen Exponentialfunktion, in denen die Tangenten durch P(1|1) verlaufen.

Zuerst berechnen wir die Funktionswerte als Tangente an der Stelle 1

t(1)={ e }^{ { x }_{ 0 } }(1-{ x }_{ 0 })+{ e }^{ { x }_{ 0 } }=1
{ e }^{ { x }_{ 0 } }(1-{ x }_{ 0 }+1)=1
{ e }^{ { x }_{ 0 } }(2-{ x }_{ 0 })=1
Exponentialfunktion und 1.jpg

Es ergeben sich die werte x_1=-1,1 und x_2=1,8
Zur Überprfung geben wir beide Werte nun in die Tangentengleichung für x=1 ein. Das Ergebnis sollte an der (Stelle 1) 1 werden ,da eine Übereinstimmung mit dem Punkt (1|1) gefordert wird.

t_1(x)=e^{-1,1}(x+1,1)+e^{-1,1}
t_1(x)=e^{-1,1}x+1,1e^{-1,1}+e^{-1,1}=e^{1,1}x+e^{-1,1}(1,1+1)
t_1(x)=e^{-1,1}x+e^{-1,1} \cdot 2,1
t_1(1)=e^{-1,1}+e^{-1,1}\cdot 2,1
t_1(1)=e^{-1,1} \cdot 3,1
t_1(1)\approx 1

t_2(x)=e^{1,8}(x-1,8)+e^{1,8}
t_2(1)=e^{1,8}(1-1,8)+e^{1,8}
t_2(1)=e^{1,8}(0,8)+e^{1,8}
t_2(1)=e^{1,8}(-0,8+1)=e^{1,8}(0,2)\approx1

Exponentialgleichung+2.jpg

Die Grafik zeigt eindeutig die Ergebnisse sind richtig. ---

S.26Nr.15

Graph mit expo. fkt.jpg

Wenn wir davon ausgehen,dass die Besucherzahlen erst vom 0ten Tag in der Formel zusammgefasst sind so ergibt sich eine minimale Steigung um ca 1 Tausend. Auch die Ableitung zeigt das sich die Besucherzahlen nur sehr gering verändern da diese asymptotisch zur x Achse verhält. Auch im späteren Verlauf der Funktion sind keine massiven Änderungen der Steigung der Funktion ablesbar.

. Protokoll vom 27.11.2015, Themen: Logarithmus, Wachstumsfunktion, Lösen von Exponentialgleichungen, Kurvendiskussion, Stammfunktion von a^x

Protokoll von--Sinan98OB (Diskussion) 23:54, 27. Nov. 2015 (CET) (Schuljahr 2015 / 16)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von --Sinan98OB (Diskussion) 21:32, 7. Dez. 2015 (CET)


Logarithmus

Defintion Logarithmus

Der Logarithmus ist die Hochzahl mit der ich meine Basis potenziere um meine rechte Seite rauszubekommen:

e^{2} =7,389      \Longleftrightarrow log _{e} (7,389)=2

Zur Vereinfachung wird anstatt log _{e} (7,389) diese Schreibweise benutzt ( für Logarithmus mit der Basis e): ln (7,389)


Logarithmusgesetze

Es gibt 3 grundlegende Logarithmengesetze:

1.  ln(a\cdot b)= ln(a)+ln(b)


2.  ln( \frac{a}{b} )= ln(a)-ln(b)


3.  ln( a^b )=b\cdot ln(a)



Beispiele Logarithmus

1. e^0=1 \Longleftrightarrow log_e(1)=0= ln(1)

2. e^1=e \Longleftrightarrow log_e(e)=1= ln(e)


Logarithmus Naturalis

Der Logarithmus Naturalis (ln) hat neben seiner Basis e eine weitere Eigenschaft die mit dieser Darstellung deutlich wird:

fsaafd

Man kann die natürliche Exponentialfunktion mit ihrer Asymptote zur negativen x-Achse an der Ursprungsgeraden spiegeln und erhält den Graphen des Logarithmus Naturalis mit seiner Asymptote zur negativen y-Achse


Wachstumsfunktion und ihre Ableitungen

Was ist eine Wachstumsfunktion?

Eine Wachstumsfunktion ist eine Funktion zur Beschreibung eines Wachstums mit einer festgelegten Wachstumsrate. Bsp:

100 Euro Taschengeld pro Monat mit einer monatlichen Änderungsrate von 6 % ( T: Anzahl der Wochen ):

f(t)=100\cdot 1,06^t


Ableitung einer Wachstumsfunktion

Da wir eine Basis von z.B. 1,06 nicht ableiten können, sondern nur die Basis e wandeln wir unsere Basis aus dem Beispiel wie folgt um:

1,06=e^{ ln(1,06) }

Nun können wir unsere Funktion ableiten:

1. f(t)=100\cdot (e^{ ln(1,06) } )^t=100 \cdot e^{t\cdot ln(1,06)} (Notiz: Anwendung des 5. Potenzgesetzes )

2. f^'(t)=100\cdot e^{t\cdot  ln(1,06) }\cdot ln(1,06)

3. f^'(t)=100\cdot 1,06^t\cdot ln(1,06) ( Beachte Umwandlung )

Aus diesem Beispiel lässt sich eine Regel ableiten:

f(x)=a\cdot b^x

f^'(x)=a\cdot b^x\cdot ln(b)


Beispiel für eine Aufgabe mit einer Wachstumsfunktion ( Vgl. Buch S.29 Nr.9)

Bei dieser Aufgabe geht es um die Höhe einer Kletterpflanze, welche durch eine Wachstumsfunktion beschreiben werden kann. Da wir die Aufgabe im Unterricht besprochen haben beschreibe ich lediglich die Vorgehensweise bei den einzelnen Teilaufgaben:

Funktion: h(t)=0,02\cdot e^{kt}

a.) Wir berechnen h(0).

Ergebnis: 2cm

b.) Wir setzen die Werte für t und h ein und formen nach k um.

Ergebnis: k=0,5

c.) Wir setzen den Wert für t ein und berechnen h.

Ergebnis: 1,78

d.) Wir setzen den Wert für h ein formen nach t um.

Ergebnis: 10

e.) Wir setzen h(x+1)-h(x)=1,5 und formen nach t um.

Ergebnis: 9,5

f.) Wir bilden die erste Ableitung, setzen diese mit 1 gleich und formen nach t um.

Ergebnis: 9,21

g.) Um die Höhe zu berechnen siehe d.) und um das bestimmte Wachstum in einer Woche zu berechnen siehe e.)



Lösen von Exponentialgleichungen

Mit dem Logarithmus und der sogenannten Substitution können wir nun Exponentialgleichungen lösen:

Methode Logarithmus

2\cdot e^{3x+4}= \frac{2}{e}

| :2

e^{3x+4}= \frac{1}{e}

    | ln()

({3x+4})\cdot ln(e)=ln( \frac{1}{e})                           | :ln(e)

{3x+4}=-1

                                                    | -4

{3x}=-5

                                                        | :3

{x}= -\frac{5}{3}

Probe:

LT=RT

LT: Einsetzen unseres errechneten x-Wertes

2\cdot e^{3\cdot( -\frac{5}{3} )+4}= \frac{2}{e}

2\cdot e^{-1}= \frac{2}{e}

 \frac{2}{e} = \frac{2}{e}

Durch die Probe konnten wir unser Ergebnis bestätigen.


Methode Substitution

e^{2x}-6e^x+8=0

Substitution e^x=y

y^{2}-6y+8=0

Vieta: y_1=2;y_2=4
Substitution rückgängig machen: 

e^{y_1}=ln(2)= 0,69

e^{y_2}=ln(4)= 1,38

Probe:

LT=RT

1. y_1=e^{2\cdot 0,69}-6e^{0,69}+8=0

  0=0

2.y_2=e^{2\cdot 1,38}-6e^{1,38}+8=0

  0=0

Und wieder konnten wir mit der Probe unsere Ergebnisse bestätigen.


Kurvendiskussion

Eine Kurvendiskussion besteht aus mehreren Schritten: 1. Definitionsmenge & Wertemenge 2. Nullstellen 3. Symmetrie 4. Ableitungen 5. Extrempunkte 6. Wendepunkte 7. Kurvenverhalten 8. Wendetangente 8. Zeichnung


Beispiel Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion

Funktion: f(x)=e^{-x^2+4x}


Definitionsmenge

Die Definitionsmenge des Graphen bestimmen

D_f= \Re 

Wertemenge

Die Wertemenge ist nicht ganz |R+. Sichtbar wird das aus der Zeichnung des Graphen.


Nullstellen

Schnittpunkte mit der x-Achse bestimmen. Bei unserem Beispiel:

f(0)=e^0=1

Folglich gibt es keine Nullstellen, aber den Schnittpunkt mit der y-Achse:Y(0/1)


Symmetrie

Achsensymmetrie: f(x)=f(-x) Unser Beispiel: e^{-x^2+4x} \neq e^{-(-x)^2-4x}


Punktsymmetrie: f(-x)=-f(x) Unser Beispiel: e^{-x^2-4x} \neq -e^{-x^2+4x}

Unser Graph hat weder eine Achsen- noch eine Punktsymmetrie


Ableitungen

Meist die ersten drei


 f' (x)=e^{-x^2+4x}\cdot(-2x+4)

 f'' (x)=e^{-x^2+4x}\cdot(4x^2-16x+14)

 f''' (x)=e^{-x^2+4x}\cdot(-8x^3+48x^2-84x+40)


Extrempunkte

Die Bestimmung der Extrempunkte besteht aus 2 Bedingungen: 1. Nullstellen der ersten Ableitung (Notwendige Bedingung) 2. Einsetzen des x-wertes in die zweite Ableitung (hinreichende Bedingung)

Notwendige Bedingung:

e^{-x^2+4x}\cdot (-2x+4)=0 (da e nicht Null werden kann wird es nicht berücksichtigt)

 (-2x+4)=0

x=2

Hinreichende Bedingung: x=2 in zweite Ableitung eingesetzt:

e^{4}\cdot (-2)<0 ,also Maximum HP

HP(2/54,59)


Wendepunkte

Die Bestimmung der Wendepunkte besteht auch aus Notwendiger und Hinreichender Bedingung, jedoch ist nun f''(0) notwendig und f''' ungleich 0 hinreichend.

Notwendige Bedingung:

4x^2-16x+14=0 | :4 (der Faktor e wird wieder nicht berücksichtigt)

x^2-4x+3,5=0

x_1=2,7;x_2=1,3

Hinreichende Bedingung:

f'''(2,7) \neq 0

f'''(1,3) \neq 0

W_1(2,7/33,44)

W_2(1,3/33,44)


Kurvenverhalten

Um das Kurvenverhalten zu untersuchen setzen wir x-Werte in die zweite Ableitung ein,welche zwischen unseren Wendepunkten liegen, da sich das Kurvenverhalten zwischen zwei Wendepunkten nicht verändert.(Wert>0=Linkskurve und Wert<0=Rechtskurve)

1. f'''(3)>0=Linkskurve (x>2,7)

2. f'''(2)<0=Rechtskurve (1,3<x<2,7)

3.f'''(0)>0=Linkskurve (x<1,3)


Wendetangente

Die Wendetangente ist die Tangente am Wendepunkt.

W_1(2,7/33,44)  

Tangentengleichung mit x=2,7 bestimmen

t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

t(x)=-46,82(x-2,7)+33,44

t(x)=-46,82x+126,41+33,44

t_1(x)=-46,82x+159,87



W_1(1,3/33,44)

t(x)=46,82(x-1,3)+33,44

t(x)=46,82x-60,86+33,44

t_2(x)=46,82x-27,42


Graphen zeichnen

Anhand von Nullstellen,Extrempunkten,Wendepunkten und Kurvenverhalten den Graphen zeichnen. Desweiteren verdeutlicht sie zum Beispiel Wendetangenten oder die Wertemenge und verdeutlicht das Kurvenverhalten nochmals.

fggdggds


Stammfunktion von a^x

Wir wissen bereits wie man die Stammfunktion einer Funktion wie x^2 bildet. Aber wie sieht die Stammfunktion einer Exponentialfunktion aus? Diese Stammfunktionen sind im Grunde ganz einfach zu bilden, man muss nur die Kettenregel beachten.

Beispiele:

1. f(x)=e^x

F(x)=e^x , weil F'(x)=e^x=f(x)

2. f(x)=e^{3x}

F(x)= \frac{e^{3x}}{3} , weil bei der Ableitung von F(x) die innere Ableitung nachdifferenziert wird F'(x)= \frac{3e^{3x}}{3} =e^{3x}=f(x)

3. f(x)= 2+e^{0,4x}

F(x)= 2x+ \frac{e^{0,4x}}{0,4}

Diese Art der Bildung einer Stammfunktion funktioniert so lange, so lange unser Exponent sozusagen linear ist, also nicht z.B. quadratisch siehe hier:

f(x)= e^{x^2}

F(x) \neq   \frac{e^{x^2}}{2x}

Um von diesen Funktionen die Stammfunktionen bilden zu können, brauchen wir weitere Integrationsregeln.