C11

1. Aufgabe bearbeitet von (--Ben99OB (Diskussion) 21:44, 8. Jul. 2016 (CEST))

Aus dem Text geht hervor, dass eine eine von fünf fehlerhaften Fotozellen nicht entdeckt wird: ${ p }_{ nicht\quad entdeckt }=\frac { 1 }{ 5 }$

1.1

E: Die Fotozelle wird erst bei der letzten Einzelkontrolle entdeckt und ausgesondert

$P(E)=\frac { 1 }{ 5 } \cdot \frac { 1 }{ 5 } \cdot \frac { 4 }{ 5 } =3,2%$

1.2

$n=10$

$X=$ Zahl der fehlerhaften Fotozellen, die erkannt werden

$E=$ Eine fehlerhafte Fotozelle wird entdeckt d.h. mindestens eine Kontrolle bemerkt sie

$\overline { E }=$ Fehlerhafte Fotozelle wird nicht entdeckt d.h. alle Kontrollen haben versagt

$P(\overline { E } )=\left( \frac { 1 }{ 5 } \right) ^{ 3 }=0,8%$

$P(E)=1-0,008=0,992=99,2%$

---

A:

$P(X\ge 9)=1-P(X\le 8)=1-0,00276=0,99724=99,72%$

Alternative Rechung:

$P(X\ge 9)=P(X=9)+P(X=10)=\binom {10} {9}\cdot 0.992^{ 9 }\cdot 0,008^{ 1 }+\binom {10} {10}\cdot 0,992^{ 10 }\cdot { 0,008 }^{ 0 }=99,72%$

(Für eine LaPlace-Näherung ist hier das n zu klein, $\sigma =0,28<3$)

B:

${ P }_{ n=5 }(X=3)\cdot P_{ n=5 }(X=5)=0,000625\cdot 0,9606=0,0006=0,06%$

(Wichtig bei diesem Problem ist die Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten, da es sich hier um Pfade handelt => Pfadregel)

2. Aufgabe bearbeitet von (--Ben99OB (Diskussion) 22:25, 8. Jul. 2016 (CEST))

$p=$ Wahrscheinlichkeit, dass eine Fotozelle reagiert

$X=$ Zahl der alarmauslösenden Fotozellen

$P(p)=$ Wahrscheinlichkeit, dass der Rauchmelder auslöst

Rauchmelder löst aus bei $P(X\ge 2)$

2.1

$p=0,3$

$n=3$

${ P }_{ 0,3 }(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)=0,189+0,027=0,216=21,6%$

A: Verglichen mit der Einzelwahrscheinlichkeit von $p=0,3$ stellt sich heraus, dass dieser Rauchmelder nicht Zuverlässiger ist.

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$p=0,5$

$n=3$

${ P }_{ 0,5 }(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)=0,375+0,125=0,5=50%$

A: Verglichen mit der Einzelwahrscheinlichkeit von $p=0,5$ stellt sich heraus, dass dieser Rauchmelder weder zuverlässiger noch nicht Zuverlässiger ist.

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$p=0,7$

$n=3$

${ P }_{ 0,7 }(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)=0,441+0,343=0,784=78,4%$

A: Verglichen mit der Einzelwahrscheinlichkeit von $p=0,7$ stellt sich heraus, dass dieser Rauchmelder Zuverlässiger ist als der mit nur einer Fotozelle.

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2.2

Grafik zu 2.2 mit $p\epsilon [0;1]$

$P(p)=\binom {3} {2}\cdot { p }^{ 2 }\cdot (1-p)^{ 1 }+\binom {3} {3}\cdot p^{ 3 }\cdot { \left( 1-p \right) }^{ 0 }$

$=3\cdot { p }^{ 2 }\cdot \left( 1-p \right) +1\cdot { p }^{ 3 }\cdot 1$

$=3{ p }^{ 2 }-3{ p }^{ 3 }+1{ p }^{ 3 }$

$=-2{ p }^{ 3 }+3{ p }^{ 2 }$

Analysis zum Graphen der Funktion:

$P(p)=-2{ p }^{ 3 }+3{ p }^{ 2 }$

$P'(p)=-6{ p }^{ 2 }+6p=0$

$6p(-p+1)=0$

${ x }_{ 1 }=0$

${ x }_{ 2 }=1$

(Das heißt, an diesen Stellen hat die Funktion eine waagerechte Tangente)

$P''(p)=-12p+6=0$

$p=0,5$

(Noch zu prüfender Wendepunkt)

$P'''(p)=-12\neq 0$

(Bestätigter Wendepunkt)

$P''(0,2)=-2,4+6=3,6>0$

(Linkskurve in eine Rechtskurve!)

2.3

Mit der Differenz $R(p)=P(p)-p$ gibt man die Verbesserung von $P(p)$ an im Vergleich zur Einzelwahrscheinlichkeit $p$.

(1) - Die Funktion $R(p)$ wird abgeleitet.

(2) - Die Ableitung wird null gesetzt um eine waagerechte Tangente zu erschließen, diese liegt bei $p_{ 1 }\approx 0,78$.

(3) - Die Zweite Ableitung an dem Punkt $p_{ 1 }$ ist kleiner als 0 was auf ein Maximum schließen lässt.

Daraus ergibt sich, dass die ideale Einzelwahrscheinlichkeit für das 3er Fotozellensystem 0,78 beträgt.

3. Aufgabe bearbeitet von (--Ben99OB (Diskussion) 22:41, 8. Jul. 2016 (CEST))

Es wird linksseitig getestet,

$n=850$

$H_{ 0 }:\quad p=0,04$

$H_{ 1 }:\quad p<0,04$

$\alpha =0,05$

$\mu =34$

$\sigma =5,71>3$

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Möglichkeit 1:

$\overline { A } :\quad [0;a]$

$P(X\le a)\le 0,05$

$P(X\le 24)=0,0428\quad (WTR)$

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Möglichkeit 2:

$P(X\le a)\le 0,05=\int _{ \frac { 0-0,5-34 }{ 5,71 } }^{ \frac { a+0,5-34 }{ 5,71 } }{ \varphi (t)dt }$

$=\Phi (\frac { a+0,5-34 }{ 5,71 } )-\Phi (\frac { 0-0,5-34 }{ 5,71 } )$

$=\Phi (\frac { a+0,5-34 }{ 5,71 } )-0$

$\Phi (x)=1-\Phi (-x)$

$\Phi (\frac { a+0,5-34 }{ 5,71 } )\le 0,05$

$1-\Phi (\frac { -a+33,5 }{ 5,71 } )\le 0,05$

$0,95\le \Phi (\frac { -a+33,5 }{ 5,71 } )$

$1.65\le \frac { -a+33,5 }{ 5,71 }$

$9,42\le -a+33,5$

$a\le 24,08$

Antwortsatz: Der Ablehnungsbereich müsste 24 betragen, damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art höchstens 5% beträgt.