C14

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Bearbeitet von --Sinan98OB (Diskussion) 22:29, 14. Jan. 2017 (CET)

Inhaltsverzeichnis

. Aufgabe

Der folgende Term gibt die Wahrscheinlichkeit für genau zwei Alarme an einem Tag an und das mittels einer Bernoulli-Kette:

P(X=2)= \binom{170}{2}\cdot  \big( \frac{1}{365} \big) ^2\cdot \big( \frac{346}{365} \big) ^{168}= 0,0680=6,8%

\binom{170}{2} = Beschreibt die Möglichkeiten das an einem der 170 Einsatztagen zwei Alarme stattfinden, als 2-elementige Teilmengen

\big( \frac{1}{365} \big) ^2 = Beschreibt die Wahrscheinlichkeit ,dass an einem bestimmten Tag zwei Alarme losgehen.

\big( \frac{346}{365} \big) ^{168} = Stellt die Wahrscheinlichkeit dar ,dass an den anderen Tagen kein Alarm losgeht.


Die Wahrscheinlichkeiten für 0,1 und mehr als zwei Alarme an einem Tag sehen wie folgt aus:

P(X=0)= \binom{170}{0}\cdot  \big( \frac{1}{365} \big) ^0\cdot \big( \frac{346}{365} \big) ^{170}=0,6273=62,73 %

P(X=1)= \binom{170}{1}\cdot  \big( \frac{1}{365} \big) ^1\cdot \big( \frac{346}{365} \big) ^{169}= 0,2930=29,3 %

P(X > 2)= 1-P(X \leq 2)=1-(0,6273+0,2930+0,0680)=0,0117=1,17%


Die jeweiligen Erwartungswerte für die Anzahl an Alarmen X ( in Tagen):

E(X=2)=365\cdot 0,068=24,82=25

E(X=1)=365\cdot 0,2930=106,95=107

E(X=0)=365\cdot 0,6273=228,8=229

E(X>2)=365\cdot 0,0117=4,27=4


Die hier angegebene Binomialverteilung kann unter Berücksichtigung einiger Fälle infrage gestellt werden. Zum Beispiel bei einem Stromausfall, können netzbetriebene Brandmelder alle gleichzeitig angehen wie es bei Hotels mit verbundenen Meldern der Fall ist. Diese Möglichkeit steht gegen der Bedingung der Unabhängigkeit bei einer Binomialverteilung.


Gefragt wird nach der Anzahl der Einsätze im Jahr in der Stadt C. Aus dem Text können wir folgende Information rausfinden:

E(0)=P(X=0)\cdot 365=100

Nun können wir durch einsetzen der Wahrscheinlichkeit für P(X=0) mit k diesen Term erstellen ( k= Anzahl der Einsätze im Jahr ):

E(X=0)=\binom{k}{0} \cdot ( \frac{1}{365} )^0\cdot( \frac{364}{365} )^k\cdot 365=100

E(X=0)=1\cdot1\cdot( \frac{364}{365} )^k= \frac{100}{365}

E(X=0)=k\cdot log( \frac{364}{365} )= log(\frac{100}{365} )

E(X=0)=k =  \frac{log(\frac{100}{365} )}{ log( \frac{364}{365} )}

k =  471,92=472

Die Feuerwehr hat rund 472 Einsätze pro Jahr in der Stadt C


. Aufgabe

X= Anzahl der Fehlalarme

A:

1. Wahrscheinlichkeit für Fehlalarm pro Jahr= \frac{1}{100}

2. Wahrscheinlichkeit für Fehlalarm pro Tag=\frac{1}{100} \cdot  \frac{1}{365} =0,00002739=0,002739%

B:

1. Wahrscheinlichkeit, dass kein Feuermelder einen Fehlalarm hat (pro Tag):

P(X=0)=(1-0,0000274)^{3800}

2. Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit:

P(X>0)=1-P(X=0)

P(X>0)=1-(1-0,0000274)^{3800}

P(X>0)=0,0989 = Wahrscheinlichkeit für min. 1 Fehlalarm pro Tag

Nun multipliziert mit 365 um die Anzahl fürs Jahr zu bestimmen:

E(X>0)=0,0989\cdot 365= 36

Damit ist die Behauptung B wahr.


. Aufgabe

Es wird die These, dass Donnerstags mit 40 von 170 Einsätzen signifikant mehr Einsätze stattfinden als an den anderen Wochentagen, überprüft.

n=170

p=\frac{1}{7}

 \mu =24,29

 \alpha =10%

Wir führen einen rechtsseitigen Hypothesentest durch:

H_0:p= \frac{1}{7}

H_1:p> \frac{1}{7}

 \bar{A} =[a+1;170]

 A =[0;a]

P(X \geq a) \leq 0,1

P(X  <  a)  \geq 0,9

Aus einer Tabelle zur Binomialverteilung können wir nun den gesuchten Wert ablesen:

a \geq 30

 \bar{A} =[31;170]

Da unser Wert von 40 im Ablehnungsbereich liegt, ist die Hypothese abzulehnen. Weiterhin könnten wir nach weiteren Tests feststellen, dass sich das Testergebnis bei einer Signifikanz von 5% und 1% nicht ändert.