C15

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Inhaltsverzeichnis

. Aufgabe

c 15 nr 1










Um die beiden Wahrscheinlichkeiten auszurechnen braucht man den Satz von Bayes, da es sich um bedingte Wahrscheinlichkeiten handelt.


a)


H:Haushalt mit Kindern

P\left ( H \right )=0,52

E: Ehepaare

P\left ( H \right )\cdot P_{H}\left ( E \right )=P\left ( H\cap E \right )

P\left ( H\cap E \right ) ist der Anteil der Ehepaare mit Kindern.

Diesen Satz von Bayes muss man nach  P_{H}\left ( E\right ) umformen und die Werte aus der Tabelle einsetzten.

 P_{H}\left ( E \right )=\frac{P\left ( H\cap E \right )}{P\left ( H \right )}=\frac{0,39}{0,52}=0,75=75%

b)  P_{E}\left ( H \right )=\frac{P\left ( H\cap E \right )}{P\left ( E \right )}=\frac{0,39}{0,8}=0,4875=48,75%

P\left ( E \right ) ist der Anteil der Ehepaare mit und ohne Kinder.

. Aufgabe

Da man nur die Kinder zählen soll, welche aus einem nichtehelicher Lebensgemeinschaft bzw. Alleinerziehenden berechnen soll, muss man für diese die bedingte Wahrscheinlichkeit benutzen.

P_{H}\left ( \bar{E} \right )=\frac{0,13}{0,52}=0,25=p

n=100

\mu =25

 \sigma =4,33> 3

P\left ( X=20 \right )=\binom{100}{20}\cdot \left ( 0,25 \right )^{20}\cdot \left ( 0,75 \right )^{80}=0,0493=4,93%

Alternative: Mit Laplace-Näherung

P\left ( X=20 \right )=\phi \left ( \frac{20+0,5-25}{4,33} \right )-\phi \left ( \frac{20-0,5-25}{4,33} \right )=\phi \left ( -1,04 \right )-\phi \left ( -1,27 \right )=0,1492-0,1020=0,0472=4,72%

Man berechnet die Wahrscheinlichkeit mit der Laplace-Näherung indem man bei einem bestimmten Wert diesen mit der Stetigkeitskorrektur von 0,5 addiert bzw. subtrahiert dann wird davon der Erwartungswert subtrahiert und dieser Wert wird durch die Standardabweichung multipliziert.

Die Wahrscheinlichkeiten, welche durch die Laplace-Näherung gefunden wurde ist sehr nah dran an der Wahrscheinlichkeit von der Wahrscheinlichkeit, welche mit der Bernoulli-Kette berechnet wurde.

. Aufgabe

H_{0}:p=0,8

H_{1}:p< 0,8

0,8 ist die Wahrscheinlichkeit, welche vermutet wird, das die Frauen eine Nachmittagsbetreuung wollen. Der Schuldezent glaubt an diese nicht und denkt diese Wahrscheinlichkeit ist kleiner als 0,8.

Daraus schließen wir das es ein linksseitiger Test ist, da der der Schuldezernent Geld sparen will.

n=662

\alpha =0,05=5%

\bar{A}:\left [ 0;a \right ]

A:\left [ a+1;662 \right ]

\mu =529,6

\sigma =10,3> 3

P_{0,8}\left ( X\leq a \right )\leq 0,05

\phi \left ( \frac{a+0,5-529,6}{10,3} \right )-\phi \left ( \frac{a-0,5-529,6}{10,3} \right )=\phi \left ( \frac{a-529,1}{10,3} \right )-0\leq 0,05

Dann muss man einen Wert für \phi , welcher unter 0,05 liegt. Diesen muss man dann mit dem Wert welcher für Phi steht gleichsetzten.

\frac{a-529,1}{10,3}\leq 1,65

a-529,1\leq 16,995

a\leq 512,1

Daraus folgt für a=512 und dieser Ablehnungsbereich:

\bar{A}:\left [ 0;512 \right ]

A:\left [ 513;662 \right ]

Wenn weniger als 513 Frauen eine Nachmittagsbetreuung möchten, wird die These abgelehnt, dass 80% der Frauen eine Nachmittagsbetreuung möchten.

. Aufgabe

X-\mu : ist die Abweichung vom Mittelwert

c=\mu - tatsächlicher Wert=19440-19320=120

Die Konstante ergibt sich aus dem Mittelwert subtrahiert von Haushalten welche aus Ehepaaren bestehen.

p=\frac{19440}{24300}=0,8

Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der dem Mittelwert durch die Anzahl der Haushalte.

\mu,\sigmaergeben sich aus dem Text der zu dieser Ungleichung gegeben sind.

\mu =24300\cdot 0,8=19440

\sigma =\sqrt{19440\cdot 0,2}=36\sqrt{3}

\sigma^{2}=3888

Erst muss man eine Fallunterscheidung machen, da der Wert im Betrag steht

\left | X-19440 \right |\geq 120

120\leq X-19440\vee  -X+19440\geq 120

X\geq 19560\vee  19320\geq X

Jetzt muss man für diese Werte die Wahrscheinlichkeit berechnen.

P\left ( X\leq 19320\vee X\geq 19560\right )=1-P\left ( 19321\leq X\leq 19559 \right )

1-\left [ \phi \left ( \frac{19559+0,5-19440}{62,35} \right )-\phi \left ( \frac{19321-0,5-19440}{62,35} \right ) \right ]=

=1-\left [ \phi \left ( 1,92 \right )-\phi \left ( -1,92 \right ) \right ]=1-\left [ 0,9726-0,0262 \right ]=0,0536=5,36%

Daran merkt man, dass die Ungleichung von Tschebyscheff sehr grob ist, da der richtige Wert viel kleiner ist als 27%.