C3

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.Aufgabe bearbeitet von:--Sinan98OB (Diskussion) 20:15, 25. Mär. 2016 (CET)

1.

Formel: \sum_{i=0}^5\binom{1000}{i}\cdot(0,0025)^i\cdot(0,9975)^{1000-i}


Bestandteile:

1. (0,0025)^i = beschreibt in Abhängigkeit von i die Wahrscheinlichkeit an der Schweinegrippe zu erkranken.

2. (0,9975)^{1000-i} = beschreibt in Abhängigkeit von i die Wahrscheinlichkeit nicht an der Schweinegrippe zu erkranken.

3. \sum_{i=0}^5\binom{1000}{i} = beschreibt eine bis zu 5 elementige Teilmenge von einer 1000 elementigen Menge.

Die Bestandteile zusammengefügt erläutern, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass höchstens 5 Leute von 1000 an Schweinegrippe erkranken.


. Aufgabe bearbeitet von Deeka, Katrin und Sinan

2.1

K: Erkrankt an Schweinegrippe

\overline{K}: Nicht erkrankt an Schweinegrippe

P: Positives Testergebnis

\overline{P}: Negatives Testergebnis


P(K)=0,0025

P(\overline{K})=0,9975

P_{K}(P)=0,76

P_{K}(\overline{P})=0,24

P_{\overline{K}}(P) = 0,08

P_{\overline{K}}(\overline{P} )=0,92

Anwendung des Satzes von Bayes

 P(K \cap P)= P_{K} (P)  \cdot P(K)=0,76 \cdot 0,0025=0,0019

 P(K \cap\overline{P} )= P_{K} (\overline{P})  \cdot P(K)=0,24 \cdot 0,0025=0,0006

 P( \overline{K} \cap P)= P_{\overline{K} } (P)  \cdot P(\overline{K} )=0,08 \cdot 0,9975=0,0798

 P(\overline{K}  \cap \overline{P} )= P_{\overline{K}} (\overline{P})  \cdot P(\overline{K} 
)=0,92 \cdot 0,9975=0,9177

K \overline{K}
P  P(K \cap P)=0,0019  P(\overline{K} \cap P)=0,0798 P(P)=0,0817
\overline{P}  P(K \cap \overline{P})=0,0006  P(\overline{K} \cap \overline{P})=0,9177 P(\overline{P} )=0,9183
P(K)=0,0025 P(\overline{K})= 0,9975 1

P_{P} (K)\cdot P(P)=P(K \cap P)  \mid  \div P(P)

P_{P} (K)=\frac{P(K \cap P)}{P(P)}

P_{P} (K)=\frac{0,0019}{0,0817}=0,02325\approx 2,33%
A: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testergebnis tatsächlich erkrankt war, beträgt 2.33%.


2.2

Zuerst vereinfachen wir uns die Bezeichnung für die Wahrscheinlichkeit einer erkrankten Person:

P(K)=0,0025=p

Die Formel für die Veränderung von P_P(K) errechnet wie folgt:

P_P(K)= \frac{P(K \cap P)}{P(P)}

P_P(K)= \frac{P(K) \cdot P_K(K) }{P(P)}

P_P(K)= \frac{p \cdot P_K(K) }{P(K \cap P)+ P( \overline{K} \cap P) }

P_P(K)= \frac{p \cdot P_K(K) }{P(K) \cdot P_K(P)+ P( \overline{K}) \cdot P _{\overline{K}}(P)  }

P_P(K)= \frac{p \cdot P_K(K) }{p \cdot P_K(P)+ (1-p) \cdot P _{\overline{K}}(P)  }

P_P(K)= \frac{p \cdot 0,76 }{p \cdot0,76+ (1-p) \cdot 0,08  }

P_P(K)= \frac{p \cdot 0,76 }{p \cdot0,68+  0,08  }


Anhand der Tabelle und der Graphen kann man erkennen: Wenn die Wahrscheinlichkeit an der Schweinegrippe zu erkranken steigt, dann steigt im gleichen Maße die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit einem positiven Testergebnis tatsächlich erkrankt ist.

Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testergebnis tatsächlich erkrankt ist
bis P(K)=1

Wir nehmen an, dass P_K(P) ( erkrankt und positiver Test) mit 76% gleich bleibt und, dass P(P) (positiver Test) mit 8,17% gleich bleibt.
Anhand des Satzes von Beyes kann man den Zusammenhang sehen:

P_p(K)= \frac{P(P \cap K)}{P(P)}

P_p(K)= \frac{P_k(P)\cdot P(K)}{P(P)}
Wenn sich P(K) von 0,25 auf 0,5 Prozent verdoppelt, dann verdoppelt sich auch P_P(K) von 2,33 auf 4,56 Prozent.
Wenn sich P(K) von 0,25 auf 1 Prozent vervierfacht, dann vervierfacht sich auch P_P(K) von 2,33 auf 8,76 Prozent.

.Aufgabe bearbeitet von:--Tws98OB (Diskussion) 12:54, 26. Jun. 2016 (CEST)

Wir müssen herausfinden, ob die 50 Millionen Impfdosen gegen die Schweinegrippe für die Deutsche Bevölkerung (82 Millionen) ausreichen.

Dabei haben wir gegeben, dass man für eine Person 2 Dosen braucht und, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine Person impfen lassen will 30,48% beträgt.


Somit wissen wir:

Verfügbare Dosen : 25 Millionen

p=0,3048 (impfbereitschaft)

X=Anzahl der Menschen, welche impungswillig sind.


Da nur 25000000 Impfdosen vorhanden sind müssen wir die Wahrscheinlichkeit dafür herausfinden, dass genau, bzw weniger Personen impfwillig sind.

P_{0,3048}(X \le 25000000)

 \mu = 24993600

 \sigma =4168 > 3


Die Wahrscheinlichkeit dafür rechnen wir nun mit Laplace aus:


\begin{align}

\int_{\frac{-0,5-24993600}{4168} }^{\frac{25000000+0,5-24993600}{4168}}\varphi(t)dt &= \phi (1,54) - \phi (-5996)\\

& = \phi (1,54) = 93,82%\\

\end{align}

Bei so großen Zahlen stellt sich die Frage, ob das addieren der 0,5 in der oberen Grenze aufgrund der Stetigkeitskorrektur überhaupt nötig ist.

Um dies zu überprüfen rechnen wir unsere obere Grenze einmal mit und ein mal ohne die 0,5 aus.


Mit Stetigkeitskorrektur:

\frac{25000000+0,5-24993600}{4168}=1,535628599


Ohne Stetigkeitskorrektur:

\frac{25000000-24993600}{4168}=1,535508637


Abgesehen davon, dass wir sowieso auf die zweit Nachkommastelle runden, ist erst ab der vierten Nachkommastelle ein Unterschied zu sehen. Demnach ist bei Zahlen im Millionenbereich keine Stetigkeitskorrektur nötig.


Überprüfung mit dem Taschenrechner (WTR):

P_{0,3048}(X \le 25000000) = 93,77%

.Aufgabe bearbeitet von:--Tws98OB (Diskussion) 17:19, 26. Jun. 2016 (CEST)

Der Gesundheitsminister möchte von 30,48% der Impfwilligkeit auf 30,5% aufrunden. Gucken wir uns an inwieweit diese Wahrscheinlichkeitsänderung unsere Werte beeinflusst:

\begin{align}

p & =0,305\\

\mu_1 & = 25010000\\

\sigma_1 & = 4169\\

\end{align}


Man sieht bereits an diesen Werten den unterschied zu unseren in Aufgabe 3.1.

\mu_1 - \mu=25010000 - 24993600 = 16400

Diese Differenz ist ungefähr 4 mal die Standardabweichung. Somit haben wir einen merklichen Unterschied, welcher sich in der Wahrscheinlichkeit bemerkbar macht.

Dabei ist noch zu bemerken, dass laut den Sigma-Regeln 95% innerhalb des 2 \sigma-Intervalles liegen. Somit sind die beiden Glockenfunktionen, welche die Wahrscheinlichkeitsverteilungen repräsentieren, zu weit voneinander entfernt um gleiche Ergebnisse aufzuzeigen. Hier eine Graphische Darstellung:


Vergleich der beiden Approximationen



In unserer Rechnung mit der genauen Impfwilligkeit reichen die Impfdosen mit einer Wahrscheinlichkeit von 93,77% aus wohingegen bei der Rechnung mit der gerundeten Impfwilligkeit geringe 0,82% herauskommen.

Somit reichen laut unserer Rechnung die Impfdosen aus wobei bei dieser gerundeten Rechnung nicht genügend vorhanden sind.

Der Fakt, das ein Wahrscheinlichkeitsunterschied von 0,02% bei so großen Zahlen einen so großen Unterschied erzeugen, lässt die Frage aufkommen, wie genau die Statistik des Institutes ist. Diese herausgefundenen Werte können leicht um 2-3% vom eigentlichen Wert in der Realität abweichen.