C4

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.Aufgabe bearbeitet von:Karo99OB (Diskussion) 09.53, 24. Mär. 2016 (CET)

Es werden 10 % der 1500 teilnehmenden Sportler getestet, also 0,1 \cdot 1500=150 . Die Variable Z sei die Anzahl der Sportler.


Z= 150 \cdot 0,12 =18


Man kann also erwarten, dass 18 Sportler der Stichprobe gedopt haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe die Anzahl der positiv getesteten Sportler genau dem Erwartungswert entspricht liegt (wenn Z=18 ist) bei:


P(Z)=\binom{150}{18} \cdot 0,12^{18} \cdot 0,88^{132}=0,0998=9,98%


Die Wahrscheinlichkeit für 18 gedopte Sportler in der Stichprobe liegt also bei 9,98%.

.Aufgabe bearbeitet von:Karo99OB (Diskussion) 09.53, 24. Mär. 2016 (CET)

2.1)

D: gedopte Person

P: positives Testergebnis


P(D)=12%=0,12

P(\overline{D})=88%=0,88

P_{D}(P)=99%=0,99

P_{\overline{D}}(\overline{P})=97%=0,97


P(D\cap P)= P(D) \cdot P_{D}(P)=0,12  \cdot 0,99= 0,1188

P(\overline{D}\cap \overline{P})= P(\overline{D}) \cdot P_{\overline{D}}(\overline{P})=0,88  \cdot 0,97= 0,8536


D \overline{D}
P 0,1188 0,0264 0,1452
\overline{P} 0,0012 0,8536 0,855
0,12 0,88 1


Die Wahrscheinlichkeit, dass der Test ein positives Ergebnis zeigt kann man nun an der Vierfeldertafel ablesen:

P(P)=0,1452=14,52%


Die erwartete Anzahl der positiv getesteten Sportler (hier als E bezeichnet) berechnet man, indem man die Anzahl der getesteten Sportler (10% von 1500 Teilnehmern) mit der Wahrscheinlichkeit der positiven Testergebnis multipliziert:

P(E)=150 \cdot P(P)=21,8

Es ist mit ungefähr 22 positiven Testergebnissen zu rechnen.




2.2)

P_{P}(\overline{D})=\frac{P(\overline{D} \cap P)}{P(P)}=\frac{0,0264}{0,1452}=0,1818


Die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getesteter Sportler Unrecht verdächtig wird beträgt also ungefähr 18%.

.Aufgabe bearbeitet von:--Tws98OB (Diskussion) 19:12, 26. Jun. 2016 (CEST)

Gegebene Tabelle:

k 1 1+n
P(X=k) 0,88^n 1-0,88^n

X=Anzahl an benötigten Tests


In diesem Fall haben wir nur zwei mögliche Anzahlen an Tests.

1 Test, da dieser Test alle Sportler gleichzeitig abdeckt. Damit es bei einem Test bleibt, müssen alle Testteilnehmer Dopingmittel-frei sein. Somit 0,88^n

1+n Test, da wenn der erste Test ein positives Ergebnis auf Dopingmittel zeigt, jede Person einzeln getestet wird. Deshalb 1 (erster Test) plus n Test (Gruppengröße) für jeden Sportler einzeln.

Die Wahrscheinlichkeit dafür ist dabei das Gegenereignis zu einem Test: 1-0,88^n


3.2)

Wir sollen nun die zu erwartende Anzahl an Test berechnen, die eine Person machen muss.

Die zu erwartende Anzahl sagt uns, dass wir den Erwartungswert berechnen müssen.


\begin{align}

\mu & = 1 \cdot (0,88^n) + (1+n) \cdot (1-0,88^n)=0,88^n + 1 - 0.88^n +n - n \cdot 0,88^n\\

& = 1+n-n0,88^n\\

\end{align}

Damit haben wir die zu erwartende Anzahl an Tests für die gesamte Gruppe berechnet. Wir wollen nun jedoch den Erwartungswert pro Person, weshalb wir dies jetzt durch unsere Gruppengröße teilen müssen.

\frac{1+n-0,88^n}{n}=\frac{1}{n} + 1 -0,88^n


3.3)


Der gegebene Graph stellt in einer Funktion unseren gerade errechneten Erwartungswert pro Person dar.

Die x-Achse ist dabei die Gruppengröße, also n und die y-Achse ist die zu erwartende Anzahl von Tests pro Person.

Aus diesem Graphen kann man lesen, dass bei einer Gruppengröße von 3-4 Personen am wenigsten Test pro Person nötig sind, da dort der Tiefpunkt der Funktion ist.