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Inhaltsverzeichnis

Newton Iteration von --Addie98OB (Diskussion) und --Karo99OB (Diskussion)

Einleitung

--Karo99OB (Diskussion)

Oft kommt man mit elementaren Standardverfahren beim Berechnen von Nullstellen nicht weiter. So hat man schon Probleme bei Polynomfuntionen wie dieser:

f(x)=3x^6+4x^5+5x^4+76x^3+45

Beim Berechnen der Nullstellen dieser Funktion stellen die verschiedenen Hochzahlen ein Problem dar, da man nicht einfach wie bei einer quadratischen Gleichung die Wurzel ziehen kann. Man kann also nicht nach x auflösen.

Das Tangentenverfahren, auch Newton-Verfahren nach seinem Entdecker genannt, ist ein Näherungsverfahren, mit welchem man Nullstellen (ungefähr) solcher Funktionen bestimmen kann.

Wiederholung der Tangentengleichung

--Addie98OB (Diskussion)

t(x) = f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0)


f(x) = x^2 -4

f'(x) = 2x

Erstes Beispiel

--Addie98OB (Diskussion)

Erste Tangente:

x_0=1

t(x) = 2 \cdot 1 (x-1) + 1^2 -4

t(x) = 2x - 2 +1 -4

t(x) = 2x-5

0 = 2x-5

\Rightarrow

x_1 = 2,5

Newton Tangente 1

















Zweite Tangente an der Stelle 2,5:

x_1=2,5

t(x) = 2 \cdot 2,5(x-2,5)+2,5^2-4

t(x) = 5x - 12,5 + 6,25 -4

t(x) = 5x - 10,25

0 = 5x - 10,25

\Rightarrow

x_2 = 2,05

Newton Tangente 2

















Dritte Tangente an der Stelle 2,05:

x_2= 2,05

t(x) = 2 \cdot 2,05(x-2,05) +2,05^2-4

t(x) = 4,1x-8,405+4,2025-4

t(x) = 4,1x - 8,2025

0 = 4,1x - 8,2025

\Rightarrow

x_3 = 2

Newton Tangente 3

















Zweites Beispiel

--Karo99OB (Diskussion)


f(x)=x^3 -2

graph













f'(x)=3x^2


Erste Tangente:

x_0=1

t(x) = f'(1) (x-1) + f(1)

t(x) = 3 (x-1) -1

t(x) = 3x-3-1

t(x) = 3x-4

Nullstelle: \dfrac{4}{3}


graph















Zweite Tangente:

x_1=\dfrac{4}{3}

t(x) = f'(\dfrac{4}{3}) (x-\dfrac{4}{3}) + f(\dfrac{4}{3})

t(x) = \dfrac{16}{3} (x-\dfrac{4}{3}) + \dfrac{10}{27}

t(x) = \dfrac{16}{3} x - \dfrac{64}{9} +  \dfrac{10}{27}

t(x) = \dfrac{16}{3} x - \dfrac{182}{27}


Nullstelle: 1,26


graph












Nullstelle rechnerisch berechnen:

f(x)= x^3 -2

 x^3 -2=0

 x^3 =2

 x =\sqrt  [3] {2}

 x 1
\approx 1,2599

Anleitung

--Karo99OB (Diskussion)


1. Ableitung der Funktion bilden (f'(x))


2. Suchen eines Anfangswert, an welchen man die erste Tangente anlegt. (x_0)

-> Dieser sollte möglichst in der Nähe der Nullstelle liegen


3. Bilden der Tangentengleichung an dem Punkt x_0


t(x) = f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0)


4. Tangentengleichung mit 0 gleichsetzen


 f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0)=0


5. Diese dann nach x auflösen, um die nächste Stelle zu erhalten:


 f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0)=0


 f'(x_0) (x-x_0) =- f(x_0)


 (x-x_0) = \dfrac {-f\left( x_{0}\right) }{f'\left( x_{0}\right) }


 x = x_0 - \dfrac {f\left( x_{0}\right) }{f'\left( x_{0}\right) }


6. Für alle weiteren Tangenten nun in die oben hergeleitete, allgemeine Formel einsetzen:


 x_{z+1} = x_z - \dfrac {f\left( x_{z}\right) }{f'\left( x_{z}\right) }


So erhält man eine Folge von Näherungen, deren Grenzwert die Nullstelle ist.


->Schwachpunkt des Newton Verfahren ist, dass, wenn die gewählte Funktion mehrere Nullstellen besitzt, möglicherweise die „falsche“ Nullstelle herausgefunden wird und keine Konvergenz vorliegt bei einem ungeschickten Startwert.

Konvergenzverhalten

--Addie98OB (Diskussion)

Konvergent bedeutet, dass sich eine Funktion im Unendlichen immer mehr an eine Zahl bzw. an einen Grenzwert annähert.

Beispiel:

f(x)=  \frac{x}{x+1}

Bei immer größeren x-Werten nähert sich f(x) immer mehr an 1 an.


Wenn f(x) gegen unendlich geht, ist die Funktion divergent.

Beispiel:

f(x) = x


Satz:

Sei f zweimal stetig differenzierbar, f(x)= 0 und f'(x) \neq 0. Dann gibt es eine Umgebung U(x), sodass das Newtonverfahren fur jeden Startwert x_0 \in U(x) quadratisch gegen x konvergiert.

Quadratische Konvergenz bedeutet, dass bei jedem Iterationsschritt die Anzahl der genauen Dezimalstellen verdoppelt werden.


Wenn man beim Newton-Verfahren den falschen Startwert nimmt, verläuft die Folge an x-Werten nicht gegen einen Grenzwert, sie ist also nicht konvergent.

Wählt man zum Beispiel den Hochpunkt oder Tiefpunkt einer Funktion aus (hier gilt f'(x) = 0), gibt es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse und man kann den nächsten x-Wert nicht bestimmen.

Konvergenzverhalten