Protokolle vom April 2016

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Schülerbeitrag
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Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 13.4. und 15.4.2016, Themen Lottery Probabilities, Applying Combinatorics to the Path Rule, Pascal's Triangle

Protokoll von --Jonas98OB (Diskussion) 20:16, 14. Apr. 2016 (CEST) (Schuljahr 2015 / 2016)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von --Jonas98OB (Diskussion) 19:13, 29. Apr. 2016 (CEST)


Review of the Class Test

Link to the solution of Class Test


Lottery Probabilities

P\left( 6R \right)=\frac{ 1 }{ \binom{49}{6} }=0,00000715%

P\left( 5R \right)=\frac{ \binom{6}{1}\cdot \binom{42}{1} }{ \binom{49}{6} }=0,001802%

P\left( 5RZ \right)=\frac{ \binom{6}{1}\cdot 1 }{ \binom{49}{6} }=0,0000429%

P\left( 4R \right)=\frac{ \binom{6}{4}\cdot \binom{43}{2} }{ \binom{49}{6} }=0,0968%

P\left( 3R \right)=\frac{ \binom{6}{3}\cdot \binom{43}{3} }{ \binom{49}{6} }=1,765%


E: at least 3 correct

P\left( E \right)=P\left( 6R \right)+P\left( 5RZ \right)+P\left( 5R \right)+P\left( 4R \right)+P\left( 3R \right)= 1,86%

P\left( \overline {E} \right)= 98,14%


F: at most 2 correct

P\left( F \right)=P\left( 0R \right)+P\left( 1R \right)+P\left( 2R \right)=\binom{ 43 }{ 6 }+\binom{ 6 }{ 1 }\cdot\binom{ 43 }{ 5 }+\binom{ 6 }{ 2 }\cdot\binom{ 43 }{ 4 }


Application with the Calculator

Taschenrechner

Example:

\binom{ 6 }{ 2 }=15

\binom{ 8 }{ 3 }=56













Applying Combinatorics to the Path Rule

E: 2 six by 3 throws

Baumdiagramm

E:\left\{ \left\{ 1,2 \right\},\left\{ 1,3 \right\},\left\{ 2,3 \right\} \right\}

\binom{3}{2}= 3 convenient ways P\left( E \right)=\binom{ 3 }{ 2 }\cdot \left( \frac{ 1 }{ 6 } \right)^{ 2 }\cdot\left( \frac{ 5 }{ 6 } \right)







E: 2 six by 4 throws

baumdiagramm

P\left( E \right)=\binom{ 4 }{ 2 }\cdot \left( \frac{ 1 }{ 6 } \right)^{ 2 }\cdot\left( \frac{ 5 }{ 6 } \right)^{ 2 }=11,57%















E: 5 six by 17 throws

P\left( E \right)=\binom{ 17 }{ 5 }\cdot \left( \frac{ 1 }{ 6 } \right)^{ 5 }\cdot\left( \frac{ 5 }{ 6 } \right)^{ 12 }=8,93%


Pascal's Triangle

\left( a+b \right)^{ 2 }=\left( a+b \right)\cdot\left( a+b \right)=a^{ 2 }+2ab+b^{ 2 }

\left( a+b \right)^{ 3 }=\left( a+b \right)\cdot\left( a+b \right)\cdot\left( a+b \right)=a^{ 3 }+b^{ 3 }+\binom{ 3 }{ 1 }a^{ 2 }b+\binom{ 3 }{ 2 }b^{ 2 }a

\left( a+b \right)^{ 4 }=\left( a+b \right)\cdot\left( a+b \right)\cdot\left( a+b \right)\cdot\left( a+b \right)=a^{ 4 }+b^{ 4 }+\binom{ 4 }{ 1 }a^{ 3 }b+\binom{ 4 }{ 2 }a^{ 2 }b^{ 2 }+\binom{ 4 }{ 3 }ab^{ 3 }=a^{ 4 }+4a^{ 3 }b+6a^{ 2 }b^{ 2 }+4ab^{ 3 }+b^{ 4 }

\left( a+b \right)^{ 5 }=a^{ 5 }+5a^{ 4 }b+10a^{ 3 }b^{ 2 }+10a^{ 2 }b^{ 3 }+5ab^{ 4 }+b^{ 5 }

pyramide


















pyramide


















Example:

\binom{ 4 }{ 2 }+\binom{ 4 }{ 3 }=10=\binom{ 5 }{ 3 }

\binom{ 3 }{ 1 }+\binom{ 3 }{ 2 }=6=\binom{ 4 }{ 2 }

Vor.:

n,k\in\N_{ 0 },k\leq n

Beh.:

\binom{ n }{ k }+\binom{ n }{ k+1 }=\binom{ n+1 }{ k+1 }

Bew.:

\binom{ n }{ k }+\binom{ n }{ k+1 }=\frac{ n! }{ k!\left( n-k \right)! }+\frac{ n! }{ \left( k+1 \right)!\left( n-k-1 \right)!}=\frac{ n!\left( k+1 \right)+n!\left( n-k \right) }{ \left( k+1 \right)!\cdot\left( n-k \right)! }= \frac{ n!\left( n+1 \right) }{ \left( k+1 \right)!\cdot\left( n-k \right)! }= \frac{ \left( n+1 \right)! }{ \left( k+1 \right)!\cdot\left( n-k \right)! }=\binom{ n+1 }{ k+1 }q.e.d.


S. 311 Nr. 11

a) P\left( rrrrff \right)=\frac{ 6 }{ 49 }\cdot\frac{ 5 }{ 48 }\cdot\frac{ 4 }{ 47 }\cdot\frac{ 3 }{ 46 }\cdot\frac{ 43 }{ 45 }\cdot\frac{ 42 }{ 44 }=\frac{ 43!\cdot 6!\cdot 43\cdot 42 }{ 49!\cdot2! }=0,006475%

b) There are 4 elemental pieces of 6 elematal sections

c) P\left( E \right)=\binom{ 6 }{ 4 }-0,006475=0,097% vgl. P(4R)


Random Variable X (ZV)

Example: X= Number of the emblems by 3 throws

P\left( X=2 \right)=P\left( \left\{ \left( W,W,Z \right),\left( W,Z,W \right),\left( Z,W,W \right) \right\} \right)=\frac{ 3 }{ 8 }=37,5%

P\left( X\leq2 \right)=P\left( X=0 \right)+P\left( X=1 \right)+P\left( X=2 \right)= \frac{ 1 }{ 8 }+\frac{ 3 }{ 8 }+\frac{ 3 }{ 8 }=\frac{ 7 }{ 8 }=87,5%

P\left( \overline {E} \right)= P\left( X>2 \right)-P\left( X=3 \right)=\frac{ 1 }{ 8 }=12,5%


Expectancy Value E (X)= M

vgl. statistics of the class test

sfsff

\emptyset=1\cdot\frac{ 2 }{ 13 }+2\cdot\frac{ 4 }{ 13 }+3\cdot\frac{ 4 }{ 13 }+4\cdot\frac{ 3 }{ 13 }= 2,62

\overline{X}=\emptyset=h_{ 1 }\cdot 1+h_{ 2 }\cdot 2+h_{ 3 }\cdot 3+h_{ 4 }\cdot 4 =\sum_{i=1}^{6}h_{ i }\cdot i

Analog definieren wir : E\left( X \right)=\sum_{i=1}^{n}p_{ i }\cdot x_{ i }

Definition: A ZV. X has the datas x_{ 1 },x_{ 2 },x_{ 3 },...,x_{ n } with the probabilities P\left( X=x_{ 1 } \right),P\left( X=x_{ 2 } \right),...,P\left( X=x_{ n } \right) . E\left( X \right) i called the expactancy value of the ZV. X E\left( X \right)=x_{ 1 }\cdot P\left( X=x_{ 1 } \right)+x_{ 2 }\cdot P\left( X=x_{ 2 } \right)+...+x_{ n }\cdot P\left( X=x_{ n } \right)

Comment:

E\left( X \right)=\mu

E\left( X \right)=x_{ 1 }\cdot p_{ 1 }+x_{ 2 }\cdot p_{ 2 }+x_{ 3 }\cdot p_{ 3 }+...+x_{ n }\cdot p_{ n }=\sum_{i=1}^{n}x_{ i }\cdot p_{ i }


Example: Cube

ZV. X with x_{ 1 }=1, x_{ 2 }=2,...,x_{ 6 }=6

dfefrr

\mu=\sum_{i=1}^{6}x_{ i }\cdot p_{ i }= 3,5


















Example: Roulette

Input: a Chips

Betting on red

X= Number of the revenue

X=2a

P\left( X=2a \right)=\frac{ 18 }{ 37 }

E\left( X \right)=\mu=2a\cdot\frac{ 18 }{ 37 }=\frac{ 36a }{ 37 }

"Prize" =-\frac{ 1a }{ 37 }


Example: Roulette

Input: a Chips

Betting on Colonne (An amount of 12 lenghtwise numbers)

X=3a

P\left( X=3a \right)=\frac{ 12 }{ 37 }

E\left( X \right)=\mu=3a\cdot \frac{ 12 }{ 37 }=\frac{ 36a }{ 37 }

"Prize" =-\frac{ 1a }{ 37 }


Example: Roulette

Input: a Chips

Betting on Carré (4 numbers in a square)

X=9a

P\left( X=9a \right)=\frac{ 4 }{ 37 }

E\left( X \right)=\mu=9a\cdot \frac{ 4 }{ 37 }=\frac{ 36a }{ 37 }

"Prize" =-\frac{ 1a }{ 37 }


Example: Roulette

Input: a Chips

Betting on Pleine (a full number)

X=36a

P\left( X=36a \right)=\frac{ 1 }{ 37 }

E\left( X \right)=\mu=36a\cdot \frac{ 1 }{ 37 }=\frac{ 36a }{ 37 }

"Prize" =-\frac{ 1a }{ 37 }


Fazit: Das Ergebnis ist bei jedem Besipiel relativ fair


S.328 Nr.2

X= number of male dogs, p=0,51

P\left( X=0 \right)=0,49^{ 3 }=11,76%

P\left( X=1 \right)=0,51\cdot 0,49^{ 2 }\cdot3=36,74%

P\left( X=2 \right)=0,51^{ 2 }\cdot 0,49 \cdot 3= 38,23%

P\left( X=3 \right)=0,51^{ 3 }= 13,27%

sdvsv

expectancy value : 1,53

Protokoll vom 20.4. und 22.4.2016, Themen Empirische Standardabweichung und Varianz und Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung in der Stochastik

Protokoll von --Ben99OB (Diskussion) 20:07, 25. Apr. 2016 (CEST) (Schuljahr 2015 / 2016)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von --Ben99OB (Diskussion) 12:02, 4. Mai 2016 (CEST)(Unterschrift)

Zuerst haben wir eine neue Tastenkombination auf unserem Taschenrechner erlernt:

Wir kennen bereits die Kombination SHIFT + \div welche uns den Binomialkoeffizient errechnet.

Nun kennen wir auch die Kombination SHIFT + \times was uns die Anzahl der Tupel verrät, die wir aus diesen Zahlen bekommen würden.

Wiederholung Erwartungswert

\sum _{ i=1 }^{ n }{ { x }_{ i }\cdot { p }_{ i } } =\mu =E(X)

Diese Beziehung ist wichtig für unsere neuen Erkenntnisse.


Im folgenden berechnen wir den Erwartungswert beim Lottospielen mit 5€ Einsatz:

Tabelle 1

Standardabweichung und Varianz (in der beschreibenden Statistik)

Eingeführt wurde dieses Thema an einem Beispiel einer Klausur:

Die Notenverteilung sieht wie folgt aus:

- Einmal gibt es lediglich 2x eine 3

- Beim zweiten Mal gibt es eine 2 und eine 4

Somit ist der Mittelwert der beiden Klausurenergebnisse \overline { x } =3

(\frac { 3+3 }{ 2 } =3 , \frac { 2+4 }{ 2 } =3)

Wir benötigen also noch ein weiteres Maß um die Klassenarbeit zu beurteilen!

Dieses Maß errechnet sich wie folgt:

Tabelle 2








Daraus lernen wir, dass die Summe der Beträge der Differenz geteilt durch n die mittlere lineare Abweichung vom Mittelwert ist und

die Summe der Quadrate der Differenz geteilt durch n die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert ist.

(Der Betrag, sowie die quadratische Rechnung bewirkt, dass nur positive Ergebnisse bei der Abweichung herauskommen)

Zur genaueren Definition:

Mittlere lineare Abweichung:

\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ |{ x }_{ i } } -\overline { x } |

Mittlere quadratischer Abweichung:

\frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ ({ x }_{ i } } -\overline { x } )^{ 2 }

Diese Summe der Quadrate nennt man auch Varianz.

Möchte man nun auf die Empirische Standardabweichung schließen so nimmt man die Wurzel der Varianz:

\sqrt { \frac { 1 }{ n } \sum _{ i=1 }^{ n }{ ({ x }_{ i }-\overline { x } )^{ 2 } }  } =\sigma

Die Empirische Standardabweichung wird mit einem kleinen gr. Sigma gekennzeichnet.

Eine wichtige Eigenschaft der Standardabweichung ist das Intervall:

I=\left[ \overline { x } -\sigma ;\overline { x } +\sigma  \right]

Innerhalb dieses Intervalls liegt nach Gauß 68% der Gesamtverteilung (Gauß´sche Glockenkurve)

Ein weiteres Beispiel:

Bei einem Notenspiegel von 1-5 kommt jede Note genau einmal vor.

\overline { x } =3

Tabelle 3a








Somit ist die Varianz \frac { 10 }{ 5 } =2 und \sigma =\sqrt { 2 } =1.4 die Standardabweichung

Das zu bildende Intervall lautet dann:

I=\left[ 1.59;4.41 \right]

Das heißt, im Notenbereich 2-4 liegen 3 von 5 =0.6=60% der Schüler

Anwendung auf unsere Mathe-Klausur

Der Notenspiegel lautete:

1- 2 mal - \frac { 2 }{ 13 }

2- 4 mal - \frac { 4 }{ 13 }

3- 4 mal - \frac { 4 }{ 13 }

4- 3 mal - \frac { 3 }{ 13 }

Wir haben zuvor auch den Mittelwert bestimmt \overline { x } =2.62

Nun müssen wir die Varianz und die Standardabweichung anpassen:

V(X)=\sum _{ i=1 }^{ 6 }{ { h }_{ i } } ({ x }_{ i }-\overline { x } )^{ 2 }

\sigma =\sqrt { \sum _{ i=1 }^{ 6 }{ { h }_{ i } } ({ x }_{ i }-\overline { x } )^{ 2 } } 

Eingesetzt erhält man:

\sigma ^{ 2 }=\frac { 2 }{ 13 } \cdot \left( 1-2.62 \right) ^{ 2 }+\frac { 4 }{ 13 } \cdot \left( 2-2.62 \right) ^{ 2 }+\frac { 4 }{ 13 } \cdot \left( 3-2.62 \right) ^{ 2 }+\frac { 3 }{ 13 } \cdot \left( 4-2.62 \right) ^{ 2 }=1.005

\sigma =1.003

I=\left[ 2.62-1.003;2.62+1.003 \right]

I=\left[ 1.617;3.623 \right]

Zwischen den Noten 2 und 3 sind: \frac { 8 }{ 13 }=61.5% der Schüler

Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert \mu : Die Standardabweichung in der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wichtigster Ausdruck (unter anderem ist die Formel motiviert durch die Statistik):

\sigma =\sqrt { ({ x }_{ 1 }-\mu )^{ 2 }\cdot p_{ 1 }+({ x }_{ 2 }-\mu )^{ 2 }\cdot p_{ 2 }+({ x }_{ 3 }-\mu )^{ 2 }\cdot p_{ 3 }+...+({ x }_{ n }-\mu )^{ 2 }\cdot p_{ n } }

\sigma =\sqrt { \sum _{ i=1 }^{ n }{ (x_{ i }-\mu )^{ 2 } } \cdot p_{ i } } 

Als Beispielsrechnung bietet sich die Nr.2 auf der Seite 328 an:

Tabelle 4a








Mit V(X)=0.74 Ergibt sich für \sigma =0.86

I=\left[ 1.53-0.86;1.53+0.86 \right]

I=\left[ 0.67;2.39 \right]

P(1\le X\le 2)=0.37+0.38=0.75=75%

Chuck-a-Luck

Wer die Regeln des ursprünglichen Seemanns Spiels nochmal nachvollziehen möchte kann das über diesen Link tuen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Chuck_a_Luck

Rechnung

Ausgabe=1€

ZV X = Einnahme in €

P(X=0)=\left( \frac { 5 }{ 6 }  \right) ^{ 3 }=\frac { 125 }{ 216 }

P(X=1)=\left( \frac { 5 }{ 6 }  \right) ^{ 2 }\cdot \frac { 1 }{ 6 } \cdot 3=\frac { 75 }{ 216 }

P(X=2)=\left( \frac { 1 }{ 6 }  \right) ^{ 2 }\cdot \frac { 5 }{ 6 } \cdot 3=\frac { 15 }{ 216 }

P(X=3)={ \left( \frac { 1 }{ 6 }  \right)  }^{ 3 }=\frac { 1 }{ 216 }

\mu =\sum _{ i=0 }^{ 3 }{ { x }_{ i }\cdot { p }_{ i } } =0.5

Gewinn=Auszahlung-Einsatz

Damit betrüge der Gewinn: 0.5-1=-0.5

Man würde also auf Dauer 50 cent Verlust machen.

V(X)=\sum _{ i=0 }^{ 3 }{ ({ x }_{ i }-\mu )^{ 2 } } \cdot { p }_{ i }=0.263

\sigma =0.513

Eishockey-Spiel Beispiel

vgl. S.329 Nr. 11

X = Zahl der Spiele

Idee:

P(AAA)=\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) ^{ 3 }=\frac { 1 }{ 8 }

Dies würde bedeuten Team A gewinnt 3 mal direkt hintereinander!

Mit diesem Ansatz lassen sich nun die verschiedenen Kombinationen erschließen, die in diesem Beispiel eintreten können.


P(X=3)=2\cdot \frac { 1 }{ 8 } =\frac { 1 }{ 4 }

P(X=4)=\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) ^{ 4 }\cdot 3=\frac { 3 }{ 8 }

P(X=5)=\left( \frac { 1 }{ 2 }  \right) ^{ 5 }\cdot 6\cdot 2=\frac { 3 }{ 8 }

Es sind nur die Fälle bis X=5 zu betrachten, da es nicht mehr Spiele geben kann, denn bei 5 Spielen muss immer ein Team 3 mal hintereinander gewinnen.

Bemerkung: Es sind jeweils Multiplikatoren wie 2 zu verwenden, da diese Wahrscheinlichkeiten für beide Teams eintreten können!

\mu =\sum _{ I=3 }^{ 5 }{ ({ x }_{ i }\cdot { p }_{ i }) } =\frac { 33 }{ 8 } =4.125

V(X)=\sum _{ I=3 }^{ 5 }{ ({ x }_{ i }-\mu )^{ 2 }\cdot p_{ i } } =0.6095

\sigma =0.781

Urnen-Beispiel

vgl. Nr.8 S.335

Ausgabe = 20 cent

X = Auszahlung in cent (Einnahmen)

Baum 1

P(X=0)=0,4\cdot \frac { 1 }{ 5 } +0.6\cdot \frac { 2 }{ 4 } =\frac { 19 }{ 50 } =0.38

P(X=10)=0,4\cdot \frac { 3 }{ 5 } +0.6\cdot \frac { 1 }{ 4 } =0.39

P(X=20)=0,4\cdot \frac { 1 }{ 5 } =0.08

P(X=50)=0,6\cdot \frac { 1 }{ 4 } =0.15




\mu =13

V(X)=275

V(X)={ \sigma  }^{ 2 }=16.6

Gewinn=13-20=-7

Man würde über einen längeren Zeitraum 7 cent Verlust machen

Protokoll vom 27.4. und 29.4.2016, Themen Multiple Random Variables, Descriptive Statistics and Binomial Distribution

Protokoll von (Karo99OB (Diskussion) 18:31, 27. Apr. 2016 (CEST)) (Schuljahr 2015 / 2016)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von (--Karo99OB (Diskussion) 17:01, 5. Mai 2016 (CEST)Unterschrift)






Homework Review

We started the lesson with a homework review that had the topic: "Standard deviation and variance".

Here is the link to the homework review:

Link: 3. Homework Review




Chuck-a-luck

In the following we tried the game Chuck-a-luck by ourselves that is originally an sailor game. It is played with three dice. The players have to lay their bets on a number from 1 to 6. Then the dealer rolls the three dice and the payoffs follow. For a single you get your bet back, for a double you get twice the amount and on triples you get paid three to one. If your bet is wrong you loose your money.

Here you can see our layout for the game:


Spielfeldchuckaluck


Below is also a picture of the dice (Link: http://www.androidappsgame.com/chuck-a-luck-fish-prawn-crab/de)


Chuck-a-luck-fish-prawn-crab-

Below you can find the results of our game:


Nr. Einnahmen Nr. Einnahmen Nr. Einnahmen
1. 2 18. 1 35. 0
2. 0 19. 2 36. 2
3. 0 20. 0 37. 0
4. 1 21. 1 38. 1
5. 0 22. 0 39. 0
6. 0 23. 1 40. 0
7. 2 24. 0 41. 1
8. 2 25. 0 42. 0
9. 1 26. 1 43. 2
10. 2 27. 0 44. 2
11. 1 28. 0 45. 0
12. 1 29. 1 46. 1
13. 2 30. 0 47. 1
14. 1 31. 1 48. 0
15. 1 32. 1 49. 1
16. 1 33. 1
17. 1 34. 0 E(X) \frac{39}{49}=0,80


The law of large numbers states that the relative frequency of a random result gets closer to the theoretical probability of this outcome, the more often the random experiment is carried out. This means that in order to get to the theoretical probability of this outcome (0,5), the more often we would have to play Chuck-a-luck.

Joao did the same experiment at home with his brother and had a different result (n=100):

E(X)=\overline {x}= \frac{51}{100}=0,51


You can find a simulation of the Chuck-a-luck game on the "Conseles"-Website and try it out.


Page 328 #5b

Mr. Schmitt's solution:

Mr. Schmitt solved the task by modifying the random variables:

This is just an example. You can of course solve it in another way.

x_i -e 0 e 5
p_i \frac{2}{3} \frac{1}{6} \frac{1}{10} \frac{1}{15}


Then he solved the equation for e:

-e \cdot \frac{2}{3} + 0 \cdot \frac{1}{6} + e \cdot \frac{1}{10} + 5 \cdot \frac{1}{15}=0

e=0,59


If e is 0.59, the game is fair.

Sinan's solution:

Sinan solved the task by arranging a new table where X= payout (in the book X= profit):

x_i 0 1 2 5
p_i \frac{2}{3} \frac{1}{6} \frac{1}{10} \frac{1}{15}
x_i \cdot p_i 0 \frac{1}{6} \frac{2}{10} \frac{5}{15}


He then calculated the expectancy value:


E(X)= \frac{1}{6}+ \frac{2}{10}+ \frac{5}{15}=0,7


We know from Joao: Profit = Payout - Bet


So the profit has to be zero in order the game to be fair. After that Sinan inserted the numbers and solved the equation:


0=0,7 - x

x=0,7


This means the bet has to be 0,7 € so that the game is fair.



Multiple Random Variables

In this lesson we also started a new topic. We started with a simple example:


X= number on the first dice

Y= number on the second dice

Z= X+Y

x_i 1 2 3 4 5 6
p_i \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6}


\mu=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}+\frac{6}{6}=3,5

V\left(X\right)=\dfrac{25}{24}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{25}{24}=\dfrac{35}{12}


y_i 1 2 3 4 5 6
p_i \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6} \frac{1}{6}


\mu=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{4}{6}+\frac{5}{6}+\frac{6}{6}=3,5

V\left(X\right)=\dfrac{25}{24}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{1}{24}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{25}{24}=\dfrac{35}{12}


Then we added the variables from X and Y (Z= X+Y) and filled the table with the corresponding probabilities:

z_i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p_i \frac{1}{36} \frac{2}{36} \frac{3}{36} \frac{4}{36} \frac{5}{36} \frac{6}{36} \frac{5}{36} \frac{4}{36} \frac{3}{36} \frac{2}{36} \frac{1}{66}


\mu=\frac{2}{36}+\frac{6}{36}+\frac{12}{36}+\frac{20}{36}+\frac{30}{36}+\frac{42}{36}+\frac{40}{36}+\frac{36}{36}+\frac{30}{36}+\frac{22}{36}+\frac{12}{36}=7


If we add the expectancy values from X and Y we come to the same result:

E\left(Z\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)

E\left(Z\right)=3,5+3,5=7


V\left(Z\right)=\dfrac{25}{36}+\dfrac{8}{9}+\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{35}{36}+\dfrac{35}{36}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{35}{12}+\dfrac{8}{9}+\dfrac{25}{36}=\dfrac{35}{6}


If we add the variances from X and Y we come to the same result:

V\left(Z\right)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)

V\left(Z\right)=\dfrac{35}{12}+\dfrac{35}{12}=\dfrac{35}{6}




When the random variables are independent you can add the expectancy value and the variance:

E\left(Z\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)

V\left(Z\right)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)


Here is another example we did in class:

x_i -1 0
p_i 0,5 0,5
p_i \cdot (x_i - \mu)^2 \frac{1}{8} \frac{1}{8}

\mu=-0,5

V\left(X\right)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=0,25


y_i 0 1
p_i 0,1 0,9
p_i \cdot (y_i - \mu)^2 0,081 0,009

\mu=0,9

V\left(Y\right)=0,081+0,009=0,09


z_i -1 0 1
p_i 0,05 0,5 0,45
p_i \cdot (z_i - \mu)^2 0,098 0,08 0,162

And again we are adding the expectancy values/ variances from X and Y to get the expectancy value/ variance from Z:

E\left(Z\right)=E\left(X\right)+E\left(Y\right)

E\left(Z\right)=\mu=\overline { x }=-0,5+0,9=0,4

V\left(Z\right)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)

V\left(Z\right)=0,098+0,08+0,162=0,34

\sigma=\sqrt{(-1-0,4)^2\cdot0,05+(0-0,4)^2\cdot0,5+(1-0,4)^2\cdot0,45}=0,58 (Klassenmitte vgl. Buch S.322)



In the beginning of the lesson on friday, Laurent, Sinan and Titus presented their solution of the homework review. Again the link : Link: 3. HÜ


Page 335 #13

After that we discussed a difficult task of the homework:


X= number of red balls (as a random variable)

x= number of red balls in the urn (as a algebraic variable)

We had the information that the urn contains 10 green balls, x red balls and the expectancy value for the number of red balls when dragging 3 balls from the urn is 1. We then went along and filled a table with the known information:


x_i 0 1 2 3
p_i (\frac{10}{10+x})^3 3 \cdot (\frac{10}{10+x})^2 \cdot \frac{x}{10+x} 3 \cdot \frac{10}{10+x} \cdot (\frac{x}{10+x})^2 (\frac{x}{10+x})^3
x_i \cdot p_i   0 3 \cdot (\frac{10}{10+x})^2 \cdot \frac{x}{10+x} 6 \cdot \frac{10}{10+x} \cdot (\frac{x}{10+x})^2 3 \cdot(\frac{x}{10+x})^3


After that we calculate x with the condition: \mu=1.


\mu=E\left( x\right)=\frac{3x^3+60x^2+300x}{(10+x)^3}=1


x=5




To solve the equation you can use "MatheGrafix" and look where the functions have their intersection:


graph
















Another possibility to solve this equation is to use a function of the calculator that solves the equation for you. Important to know is that "Alpha" and ")" creates an X and '"Alpha" and "Calc" create an equality sign(=). Now to solve the equation that you created you simply have to press the button "Shift" and "Calc".


Taschenrechner








































Binomial Distribution

The Bernoulli trial is an experiment with exactly two kind of results (winner or blank).


Example:

1) Winner: throwing a 6

T: 6

p=\frac{1}{6}

N: 1,2,3,4,5

p=\frac{5}{6}


2) Winner: thumbtack helpless

T: thumbtack helpless

p=0,6

P(N)=0,4:



3) Winner: emblem

T: emblem

p=0,5



Abitur Operatoren

Determine (Bestimmen): you are allowed to use your calculator (WTR)

If there is a task where you have to determine the integral of a function, you can use your calculator.


Calculate (Berechnen): you have to record your steps of calculation

If there is a task where you have to calculate the integral of a function, you first have to build the corresponding antiderivative.

Exact explaination:

Vorgaben des Ministeriums für einen WTR (Wissenschaftlicher Taschenrechner)


Below you can find the link for more "Abitur Operatoren":

Abitur Operatoren




Pictures

Katrin and Joao as the "Glücksfee" and "Croupier":


Glücksfee und Croupier II


The left side of the math class while calculating the standard deviation from a task:


Kurs und Standardabweichung II


And the right side of the math class:


Kurs und Standardabweichung