Protokolle vom Februar 2016

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Schülerbeitrag
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Schülerbeiträge.

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Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 3.2.2016, Themen: Abituraufgabe 6, Hausaufgabe, Stochastik

Protokoll von----Deeka98OB 13:08, 7. Feb. 2016 (CET) (Schuljahr 2015 / 2016)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)
verbessert von----Deeka98OB 22:30, 15. Feb. 2016 (CET)

Abituraufgabe 6

In den ersten 45 Minuten des Unterrichts haben wir uns mit der Abiaufgabe 6 beschäftigt. Dabei haben Titus und Laurent an der Tafel erklärt, wie sie die Aufgaben gelöst haben und haben uns unsere Fragen beantwortet. Link zur Abituraufgabe 6: Europa-Schule_Obermayr/2015-2017_LK_M_11.1/Abituraufgaben_zur_Analysis/A6

Nullstellen der trigonometrischen Funktion Wir haben die trigonometrische Funktion f f(t)=3 \cdot sin( \frac{ \pi }{4} \cdot t) und wollen die Nullstellen herausfinden. Wir gucken uns dabei an, wann sin(x)=0 ist. sin(x) ist null, wenn x null, \pi oder 2\pi ist, das heißt \frac{ \pi }{4} \cdot t muss auch null,\pi oder 2\pi ergeben, damit wir die Nullstellen haben.

x_{1} =0= \frac{ \pi }{4} \cdot  t_{1}  \Rightarrow  t_{1} =0
 x_{2} = \pi = \frac{ \pi }{4} \cdot  t_{2}  \Rightarrow  t_{2} =4
 x_{3} = 2\pi = \frac{ \pi }{4} \cdot  t_{3}  \Rightarrow  t_{3} =8
Das heißt die Nullstellen liegen bei 0;4 und 8.

Rotationsvolumen Es gilt  cos^{2} +  sin^{2} =1, weshalb man für  \int(cos^2(\frac{\pi}{4}x))dx auch \int(1-sin^2(\frac{\pi}{4}x))dx schreiben kann. Zudem darf man für \int_{0}^{z}f(x)dx+\int_{z}^{4}f(x)dx=\int_{0}^{4}f(x)dx schreiben, da gilt \int_a^b xdx + \int_b^c xdx = \int_a^c xdx

Besprechung der Hausaufgaben

S.98 Im Lehrbuch
Aufgabe: 7
Die gemeinsame schiefe Asymptote aller Graphen der Funktionsschar f_{t}(x) ist gesucht. f_{t}(x) =  \frac{2 x^{2} -x(1+2t)}{x-t}
f_{t}(x) =  \frac{2 x^{2} -x-2xt}{x-t}
(2 x^{2} -x-2xt): (x-t)=2x-1+\frac{-t}{x-t}
-(2x^2-2xt)
_________________

-x-2xt
-(-x+t)
_________________

-t
Die Gleichung der gemeinsamen schiefen Asymptote aller Graphen der Funktionsschar lautet g(x)=2x-1.

Funktionsschar für t=1 bis t=5

mathe

Stochastik

Der Begriff Stochastik kommt aus dem altgriechischen und bedeutet "Kunst des Vermutens" oder auch "Ratekunst". Die Stochastik lässt sich in zwei Themen teilen. 1.) Statistik:

   Bei der Statistik steht ein "Versuch" am Anfang.
   Besipiel: Wie viele Männer sind größer als 1,70m?

2.) Wahrscheinlichkeit:

   Über die Wahrscheinlichkeit, überlege ich mir meine Gewinnchancen vorher. Der Begriff der 
   Wahrscheinlichkeit ist zentral für die Beschreibung von Phänomenen, die dem Zufall unterliegen. In der       
   Mathematik werden die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse von Zufallsexperimenten definiert.
   Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man eine 6 in einem Würfelspiel würfelt.

Einige Begriffe in der Stochastik - Zahl der Versuche n

 Beispiel: Wenn n=10 ist bei einem Würfelspiel, heißt es ich werfe 10 mal den Würfel.

- Absolute Häufigkeit: Unter Absolute Häufigkeit versteht man die Anzahl der bestimmten, gleichen Versuchsausgänge.

 H_{10}(6)=2
10 ist hier die Versuchsanzahl und 6 ist die Zahl, die gewürfelt wurde. Die Zahl 2 gibt, wie viel mal die 6 gewürfelt worden ist.

- Relative Häufigkeit: Unter Relative Häufigkeit versteht man, wie groß der Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl der Versuche ist.

 h(6)= \frac{ H_{10}(6) }{10}= 20%

Zufallsversuch

Wir haben im Unterricht in Partnerarbeit einen Zufallsversuch mit Würfeln durchgeführt, dabei hat jedes Team einen Würfel bekommen und sollte 30mal würfeln und in einer Tabelle eintragen, wie oft es eine Zahl gewürfelt hat. Die Werte wurden daraufhin in einer weiteren Tabelle an der Tafel zusammengetragen. In beiden Tabellen wurde die Absolute Häufigkeit und die Relative Häufigkeit eingetragen. "i" gibt hier die Zahlen auf dem Würfel an.
Tabelle an der Tafel:

Gruppe/i 1 2 3 4 5 6 \Sigma
1.) H_{30}(i) 4 3 5 5 3 10 30
h_{30}(i) 0,13 0,1 0,13 0,13 0,1 0,33 1
2.) H_{60}(i) 4+4 3+5 5+6 5+3 3+8 10+4 60
h_{60}(i) 0,13 0,13 0,18 0,13 0,18 0,23 1
3.) h_{90}(i) 8+7 8+7 11+2 8+2 11+6 14+6 90
h_{90}(i) 0,16 0,16 0,14 0,1 0,18 0,22 1
4.) H_{120}(i) 15+5 15+4 13+6 10+4 17+4 20+7 120
h_{120}(i) 0,16 0,16 0,16 0,11 0,18 0,23 1
5.) H_{150}(i) 20+2 19+4 19+4 14+8 21+6 27+6 150
h_{150}(i) 0,15 0,15 0,15 0,15 0,18 0,22 1
6.)H_{180}(i) 22+2 23+4 23+5 22+7 27+6 33+6 180
h_{180}(i) 0,13 0,15 0,15 0,16 0,18 0,23 1

Die Werte der letzten beiden Zeilen wurden in ein Koordinatensystem eingefügt. Anhand der Zeichnung kann man erkennen, dass die Werte nicht auf einer Gerade liegen. Außerdem kann man bei der Wahrscheinlichkeit kein Grenzwert bestimmen, das heißt man kann bei der Wahrscheinlichkeit kein lim verwenden, da es sich hier um ein Zufallsversuch handelt und der Grenzwert auch ein Ergebnis sein kann.

mathe

Das Gesetz der großen Zahlen

Für n  \mapsto  \infty  stabilisiert sich die Relative Häufigkeit gegen \frac{1}{6} .
h_{n} (1) \mapsto 0,16

Gesetz der großen Zahl
Äsculapschlange, das Symbol der Ärzte

Zufallsversuch

determinierte Vorgänge = Vorgänge, von denen man weiß, wie sie ablaufen.

Beispiele:

-Die Gesetze im Makrokosmos sind determiniert.

-Die Gesetze im Mikrokosmos (Atom-,Kernphysik) sind nicht determiniert.


Ein Zufallsversuch hat mindestens 2 Versuchsausgänge (Wappen oder Zahl-->Münze) Ist nur ein Versuchsausgang möglich (determiniert), sprechen wir nicht von einem Zufallsversuch.

Erklärung der Begriffe anhand des Beispiels "Münze werfen" :

- Ergebnismenge S={Wappen, Zahl}

- Ereignis E={Wappen}

- P = Wahrscheinlichkeit

 P(E)=P({Wappen})= \frac{1}{2} = 50%

- Elementarereignisse:

  - Versuchsausgänge   e_1,  e_2
  - Wappen   e_1
  - Zahl   e_2
  - Ergebnismenge S={  e_1,  e_2}

- Zahl der möglichen Versuchsausgänge |S| = 2

 E \subseteq S(= Das Ereignis ist die Untermenge der Ergebnismenge)
\subseteq bedeutet Untermenge, d. h. x   \in E \Rightarrow x  \in S

Die Versuchsausgänge der Ergebnismenge müssen nicht in der Ereignismenge sein, aber die Elemente des Ereignisses sind in der Ergebnismenge.

Andere Beispiele zum Zufallsversuch:

Lotto

S={1,2,3,4...49}

E={2}

P(E)=\frac{1}{49}


Laplace-Versuch

Sind alle e_i gleich wahrscheinlich, sprechen wir von einem Laplace-Versuch.

P(e_1)=P(e_2)= ...= P(e_2)

Beispiele für einen Laplace-Versuch ist ein echter Würfel oder eine Münze.

Beispiele für keinen Laplace-Versuch ist ein gezinkter Würfel.

Protokoll vom 10.2.2016, Themen: Abituraufgabe 10, Hausaufgabe, Laplace, Pfadregel

Protokoll von--L.Wagner (Diskussion) 18:15, 10. Feb. 2016 (CET)Laurent99OB (Schuljahr 2016)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von----L.Wagner (Diskussion) 20:12, 23. Feb. 2016 (CET)Laurent99OB


Abituraufgabe 10

Am letzten Freitag bearbeiteten Nico und Katrin die Abituraufgabe 10. Die restlichen Schüler erhielten die Aufgabe diesen Mittwoch, den 10.2. Das Blatt ist auf Conseles zu finden. Bitte beachten: Auf dem ausgeteilten Blatt erkennt man die Funktion nicht gut. Die Funktion lautet g_a(x)=2ae^{-\frac{x^2}{4a^2}}. Bitte noch nachtragen

2.2

Man verifiziert die Stammfunktion, indem man die Ableitung der Stammfunktion bildet. Diese muss der Ausgangsfunktion entsprechen. Dabei gilt:

arctan(x)=tan^{-1}(x)

Arc ist die Abkürzung für Arcus und bedeutet auf lat. Bogen.

Beispiel

sin(\frac{\pi}{2})=1

arcsin(1)=0,5\pi

Das entspricht 90°

Für den Winkel 90° steht für ein Viertelbogen

f^{-1}(1)=0,5\pi

Dies gilt nur bei Trigometrie, nicht bei Wurzel

Beispiel

f^{-1}(\sqrt{x})=x

Bei 2.2 ist es wichtig, erstmals die Ableitung des tan(x) herauszufinden, um damit die Ableitung des arctan(x) zu berechnen.

tan'(x)=\frac{cos^2(x)+sin^2(x)}{cos^2(x)}=\frac{1}{cos^2(x)}=1+tan^2(x)

Beachte dabei die Regel:(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

arctan'(x)=\frac{1}{1+(tan(arctan(x)))^2}=\frac{1}{1+x^2}

Damit ist Ableitung von arctan(x) bewiesen.

Europa-Schule_Obermayr/2015-2017_LK_M_11.1/Abituraufgaben_zur_Analysis/A10

Hausaufgaben

Aufgabe 2

s=v\cdot t

ds=v(t)\cdot dt

\int_{R}^{\infty}(\frac{1000}{\sqrt{t+1}})dt=1000[2\sqrt{t+1}]_{R}^{\infty}=\lim_{z\to \infty}[2\sqrt{t+1}]_{R}^{z}=\lim_{z\to \infty} 2\sqrt{z+1}-2\sqrt{R+1}\rightarrow \infty

R gilt dabei als Erdradius, da die Rakete von dort startet.

6b

Es handelt sich dabei um eine hebbare Unstetigkeit (kürzen mit x) und aus diesem Grund gilt die 0 nicht als Polstelle.

6c

4x^3=-2

x^3=-0,5

   Thema Analysis ist hiermit beendet

Reißzweckenversuch

Die relative Häufigkeit, dass man die "Maikäferschutzlosposition" erhält liegt bei p=0,6=60%

Wiederholung wichtiger Begriffe

Die beiden wichtigsten Mengen sind die Ergebnismenge S und die Ereignismenge E

 E \underline { c } \mbox{S}

Die Ereignismenge ist eine Untermenge. Untermenge bedeutet, dass jedes Element in E auch in S vorhanden ist.

Ein wichtiges Gesetz ist dazu noch das Gesetz der großen Zahlen . In ihrer einfachsten Form besagen diese Sätze, dass sich die relative Häufigkeit eines Zufallsergebnisses in der Regel um die theoretische Wahrscheinlichkeit eines Zufallsergebnisses stabilisiert, wenn das zu Grunde liegende Zufallsexperiment immer wieder unter denselben Voraussetzungen durchgeführt wird.

Laplace-Experiment

Als Laplace-Experimente, benannt nach dem Mathematiker Pierre-Simon Laplace, werden Zufallsexperimente bezeichnet, für die die folgenden beiden Punkte erfüllt sind:

Es gibt nur endlich viele mögliche Versuchsausgänge.

Alle möglichen Ausgänge sind gleich wahrscheinlich.


Beispiel 1 mit einem Würfel

S={1;2..6}

E={6}

P(E)=\frac{1}{6}

\overline {E  } ={1;2;3;4;5;6}=Gegenereignis

P(\overline { E } )=\frac{5}{6}=1-P(E)


Beispiel 2

E=\mbox{ Menge aller ungeraden Augenzahlen}

E={1;3;5}

P(E)=0,5

\overline { E } ={2;4;6}

P(\overline { E } )=0,5=1-P(E)

Beispiel 3:

E={5;6}

P(E)=\frac{1}{3}

P(\overline { E } )=\frac{2}{3}=1-P(E)

Nur wenn alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind (Laplace-Experiment), gilt:

P(E)=\frac{\mbox{Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse}}{\mbox{Anzahl der möglichen Ergebnis}}

=\frac{|E|}{|S|}

Merke!: Mit Betrag meint man die Anzahl der Elemente in der Menge

Buch S.319

Beim Skat

Beispiel 1

|S|=32

E_1:Herzkarten

|E_1|=8

p(E_1)=25%=0,25

Beispiel 2

E_2: \mbox{Menge aller Bildkarten}

|E_2|=12

p(E_2)=\frac{3}{8}=37,5%

Beispiel 3: Urne mit Kugeln an denen Zahl stehen

S={1;2;3...20}

|S|=20

E:Primzahlen

E={2;3;5;7;11;13;17;19}

|E|=8

p(E)=\frac{2}{5}=40%

Beispiele für keine Laplace-Versuche

Keine Laplace-Versuche sind ein gezinkter Würfel, Reisnagelversuch und ein Glücksrad mit verschiedenen Winkeln (siehe Abb. S.305)

Beispiel 1

Urne mit 2 weißen, 3 roten Kugeln (3r,2w)

S={r_1,r_2,r_3,w_1,w_2}

P(rot)=\frac{3}{5}=60%

P(weiss)=40%

Weitere Laplace-Versuche

Beispiel 1

Wahrscheinlichkeit, dass ein Bekannter im März Geburtstag hat, liegt bei:

P(E)=\frac{31}{365}=8,5%

Beispiel 2

Wahrscheinlichkeit, dass der Bekannte nicht im Sommer Geburtstag hat, liegt bei:

P(E_2)=\frac{3}{4}=75%

Beispiel 3

Wahrscheinlichkeit, dass der Bekannte weder Montag, noch Dienstag Geburtstag hat, liegt bei:

P(E_3)=\frac{5}{7}=71%

Die Pfadregel

Beispiel wie die Pfadregel funktioniert

Beispiel 1

Die Hälfte der Klasse sind Mädchen, davon kommt ein sechstel aus Erbenheim

pfadregel1

Beispiel 2

\frac{2}{3} der Klasse haben Käsfüße, davon hat die Hälfte Plattfüße

protokoll 10.3 laurentwagner

Beispiel(Baumdiagramme)mit einer Urne

Beispiel 1 mit einem Baumdiagramm

Urne mit 2 roten und einer weißen Kugel (2r,1w)

Man zieht 2mal und legt die Kugel anschließend zurück

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit Kugeln mit der gleichen Farbe zu ziehen?

E: \mbox{gleiche Farbe}

Protokoll11.2

S={(r_1,r_1);(r_1,r_2);(r_2,r_1);(r_2,r_2);(r_1,w);(r_2,w);(w,r_2);(w,w);(w,r_1)}

|E|: 2rote

|S|=9

P(E)=\frac{5}{9}=56%

Optimierter Baum mit dem selben Beispiel (1)

Protokoll11,2 Baumdiagramm3

P(r,r)=\frac{4}{9}

P(w,w)=\frac{1}{9}

P(r,w)=\frac{2}{9}

P(w,r)=\frac{2}{9}

P(E)=\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}=56%


Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses:

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu erhalten, multipliziere ich entlang des Pfads

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses:

Addiere die Wahrscheinlichkeit aller Pfade, die zu diesem Ereignis gehören.

Beispiel 1, jedoch ohne Zurücklegen

Eine andere Variante eines Wahrscheinlichkeitversuches ist es die Kugeln nicht in die Urne zurückzulegen.

Wie hoch ist dabei die Wahrscheinlichkeit 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen, ohne zurückzulegen?

Protokoll11,2

S={(r_1,r_2), (r_1,w), (r_2,r_1), (r_2,w), (w,r_1), (w,r_2)}

|S|=6

|E|=2

P(E)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=2\cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}

Wieso mal 2?

Wir haben nämlich 2 Wege, in denen die gleiche Farbe kommt, deshalb mal 2.

Damit ist die Wahrscheinlichkeit bei Zürucklegen größer als bei nicht Zurücklegen.

Die Wahrscheinlichkeit ist von 56% zu 33% gesunken.

Optimierter Baum mit dem selben Beispiel(1,ohne Zurücklegen)

Protokoll11.2 optimierter Baum

P(E)=P({r,r})=\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}=33%

Beispiel 3

In einer Urne befinden sich 2 schwarze, 2 rote und 6 weiße Kugeln. Die Kugeln werden anschließend zurückgelegt.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit Kugeln mit drei verschiedenen Farben zu ziehen?

Protokoll11.2Mathe

E:{(s,r,w),(s,w,r),(r,s,w),(r,w,s),(w,r,s),(w,s,r)}

P(E)=(\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{5})\cdot 6=6\cdot \frac{3}{125}=\frac{18}{125}=14,4%

mal 6, da es 6 verschiedene Wege gibt.


Beispiel(3) ohne Zurücklegen

Die Kugeln werden nun nicht zurückgelegt.

Protokoll11.2 Urne


P(E)=6 \cdot \frac{2}{10} \cdot \frac{2}{9} \cdot \frac{6}{8}=3 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{5}=20%

Organisatorisches

Heute am Freitag, den 12.2.2016, erhielten wir von Herr Schmitt das Blatt des "besonderen Ziegen-Problem". Desweiteren können wir uns auf Conseles das dazugehörige Spiel herunterladen( mit Virenprogramme geprüft).

Bitte beachten:Beim 3.Zug alles untereinander schreiben(im Baumdiagramm), sonst bekommt man Platzmangel!

Hausaufgaben

1c

Mit Zurücklegen

Protokoll12.2

P(E)=\frac{4}{7}\cdot\frac{4}{7}+\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{7}

=\frac{4}{7}(\frac{4}{7}+\frac{3}{7})+\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{7}

=\frac{4}{7}(1)+\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{7}

=\frac{4}{7}+\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{7}

=\frac{40}{49}=81,6%

Warum hat man jetzt ausgeklammert?

Da die Aufgabe war die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal rot auszurechnen, kann man sich somit den 2.Zug des ersten Astes (auf der linken Seite) sparen, da schon rot direkt vorkam.

Gegenereignis(mit Zurücklegen)

\overline{E}: 2 blaue

P(\overline{E})=(\frac{3}{7})^2=\frac{9}{49}

P(E)=1-P(\overline{E})=1-\frac{9}{49}=\frac{40}{49}

Gegenereignis(ohne Zurücklegen)

\overline{E}:2 blaue

P(\overline{E})=\frac{3}{7}\cdot\frac{2}{6}=\frac{1}{7}

P(E)=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}

Der Schritt mit dem Gegenereignis ausrechnen, ist ein schnellerer Weg um damit das eigentliche Ereignis zu finden.

2a

Protokoll Verbesserung

S={(g,g,g);(g,g,b);(g,b,g);(g,b,b);(b,b,b);(b,b,g)...}

|S|=8

P(E)\neq\frac{1}{8}

Es kann nicht ein Achtel herauskommen, da die Winkel des Glücksrad unterschiedlich groß sind und somit ist es kein Laplace-Versuch.

Das richtige Ergebnis lautet somit:

P(E)=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{64}

2c

Gelb erscheint mindestens einmal


P(\overline{E})=(\frac{3}{4})^3=\frac{27}{64}=P(\overline{E})

P(E)=1-P(\overline{E})=\frac{37}{64}=57,8%

Gleiches Verfahren wie oben

3a

Selbes Verfahren wie oben

Gegenereignis: \frac{63}{64}

Damit beträgt die wahrscheinlichkeit des Ereignisses 1,56%

4

E_1:1 Punkt

E_1=\lbrace(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);(6,1);(5,1)(4,1);(3,1);(2,1)\rbrace

P(E_1)=\frac{11}{36}

E_2=2 Punkte

P(E_2)=\frac{9}{36}

E_6={(6,6)}

P(E_6)=\frac{1}{36}

Aufgabe S.306 Nr.7

7a

Protokoll11.2 3

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mindestens eine 6 zu würfeln in 5 Versuchen?

E: \mbox {mindestens eine 6}

P(E)=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}+(\frac{5}{6})^2\cdot\frac{1}{6}+(\frac{5}{6})^3\cdot\frac{1}{6}+(\frac{5}{6})^4\cdot\frac{1}{6}

=\frac{1}{6}(1+\frac{5}{6}+(\frac{5}{6})^2+(\frac{5}{6})^3+(\frac{5}{6})^4)

=59,81%

Die Klammer erinnert uns an unser erstes Thema Gauß. Dafür gibt es eine andere Formel, um die Klammer schneller auszurechnen. Den Beweis werden wir die nächste Unterrichtsstunde besprechen. Die Wahrscheinlichkeit mit diesem Verfahren ist somit gleich:

\frac{1-(\frac{5}{6})^5}{1-(\frac{5}{6})}=\frac{1-(\frac{5}{6})^5}{\frac{1}{6}}=((-\frac{5}{6})^5+1)\cdot 6 \cdot \frac{1}{6}=59,81%

Man bezeichnet dieses Verfahren die geometrische Reihe

7b

Protokoll12.3 4

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit lauter verschiedene Augenzahlen zu erhalten?

P(E)=\frac{6}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6}=\frac{5}{54}=9,25%

\frac{6}{6} benutzt man anfangs, da alle Augenzahl anfangs möglich sein können, so kann auch eine 3 anfangs gewürfelt werden beispielsweise.


Der Doppelwurf

Protokoll11.2 Baumdiagramm5

S={(1,1);(1,2);...;(1,6);...;(6,1);(6,6)}

|S|=36

Beispiel 1

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für ein Pasch?

E_1:Pasch

P(E_1)=\frac{1}{36}

Beispiel 2


Wie hoch ist Wahrscheinlichkeit, dass man wenigstens eine 6 würfelt?

E_2:\mbox{wenigstens eine 6}

|E_2|=11 (durch Abzählen!)

P(E_2)=\frac{11}{36}

Beispiel 3

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass man erst eine 5, dann eine 4 würfelt?

E_3:{(5,4)}

P(E_3)=\frac{1}{36}

Beispiel 4

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Augenzahl größer als die zweite?

Protokoll12.2 Baumdiagramm6


P(E)=\frac{15}{36}=41,67%

Protokoll vom 3.2.2016, Themen: Die geometrische Reihe, Anwendung in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Protokoll von----Joao99OB 18:03, 17. Feb. 2016 (CET) (Schuljahr 2016)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von------Joao99OB (Diskussion) 18:22, 29. Feb. 2016 (CET)


Die geometrische Reihe

Der Unterricht begann direkt mit 2 Beispielen, die die Behauptung der geometrischen Reihe zeigten.

Beispiele

 LT:1+3+3^{2}+3^{3}=40


RT:\frac{3^{4}-1}{3-1}= \frac{81-1}{2}=40



RT: 3^{0}+3^{1}+3^{^{2}}+3^{3}+3^{4}=121


LT:\frac{3^{5}-1}{3-1}=\frac{243-1}{2}=121

Für die Vorraussetzung nehmen wir die Variable q für die Basis. Die geometrische Reihe lässt sich im Rahmen aller reellen Zahlen, ausgeschlossen der Zahl 1 und 0 definieren.

Voraussetzung


q\epsilon \mathbb{R},n\epsilon\mathbb{N}_{0} , q\neq 0,q\neq 1

Behauptung

q^{0}+q^{1}+q^{2}+....+q^{n-1}=\frac{q^{n}-1}{q-1}

 \sum_{i=0}^{n-1}q^{i}=\frac{q^{n}-1}{q-1}

Induktionsbeweis

Induktionsanfang

Nun setzen wir für die Potenz n=3 ein und wollen anhand dieses Beispieles erreichen, dass der linke Term gleich wie der rechte Term ist.

A(3):q^{0}+q^{1}+q^{2}=\frac{q^{3}-1}{q-1}

(q^{3} -1) : (q-1) = q^{2}+q+1
\underline{-(q^3-} \underline{q^2)}
q^2 -1
\underline{-} \underline{(q^2)} \underline{-q)}
q -1
\underline{-} \underline{(q} \underline{-1)}
0


 RT:q^{^{0}}+q^{1}+q^{2}

Induktionsschluss

Zuerst zeigen wir, dass die Behauptung auch bei A(n+1) zutrifft, wenn diese bei A(n) stimmt. Es gilt bei der Induktionsbehauptung das "Straight-Forward-Prinzip". Man rechnet einfach bis der rechte Term herrauskommt.
RT=LT

A(n)\Rightarrow A(n+1)

Annahme
A(n):\sum_{i=0}^{n-1}q^{i}=\frac{q^{n}-1}{q-1}


Behauptung
A(n+1):\sum_{i=0}^{n}q^{i}=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}



LT:\sum_{i=0}^{n}q^{i}=\sum_{i=0}^{n-1}q^{i}+q^{n}=\frac{q^{n}-1}{q-1} +q^{n}


=\frac{q^{n}-1+q^{n}(q-1)}{q-1}


=\frac{q^{n}-1+q^{n+1}-q^{n}}{q-1}


=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}=RT
q.e.d.

Sonderfall |q|<1

Der Betrag der Basis ist kleiner als 1 also |q|<1 .Wir fangen mit einem Beispiel mit \frac{1}{2} an :


\frac{1}{2}^{0}+\frac{1}{2}^{^{1}}+\frac{1}{2}^{2}+\frac{1}{2}^{3}=1\tfrac{7}{8}


\frac{(\frac{1}{2})^{4}-1}{\frac{1}{2}-1}=(\frac{1}{16}-1)\cdot (-2)


=\frac{30}{16}=1\tfrac{7}{8}


Führt man eine geometrische Reihe mit der Base 1/2 durch,ist es wie mit zwei Quadraten. Die nicht befüllte Fläche des zweiten Quadrates wird dabei nach jeder Addition eines weiteren 1/2 und seiner nächsten Potenz halbiert und befüllt. Bis irgendwann bei \left ( \frac{1}{2} \right )^{n} beide Quadrate die volle befleckte Fläche enthalten. Es sind dann schließlich 2 Quadrate. Mathe lk q=\frac{1}{2}

Nachweis

\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=0}^{n-1}(\frac{1}{2})^{i}=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1-(\frac{1}{2})^{n}}{1-\frac{1}{2}}


=\frac{1}{\frac{1}{2}}=1\cdot 2=2

Entwicklung der Formel für n gegen unendlich und |q|<1

\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=0}^{n-1}q^{i}


=\lim_{n \to \infty }\frac{1-q^{n}}{1-q}


Mathe formel

=\frac{1-0}{1-q}


\frac{1}{1-q}
Wenn also die Potenz n gegen Unendlich verläuft und |q|<1, gilt diese Formel!


Wenn aber die Potenz n nicht gegen Unendlich verläuft, gilt ganz normal die andere Formel:

\frac{1-q^{n}}{1-q}


Beispiel mit 1/4

\left( \frac{1}{4} \right )^{0}+\left ( \frac{1}{4} \right )^{1}+\left ( \frac{1}{4} \right )^{2}=1\tfrac{5}{16}\approx 1,3


\lim_{n \to \infty }\sum_{i=0}^{n-1}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}


\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}=1\tfrac{1}{3}\approx 1,3

S.306 Nr.7a

Die nächste Aufgabe besteht daraus, aus 5 Würfen mit einem Würfel die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs zu berechnen. Später dann für 50 Würfe.

Optimierter Baum

optimierter baum mathe lk

Rechnung

P(E)=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}+ \left ( \frac{5}{6} \right )^{2}\cdot \frac{1}{6}+ \left ( \frac{5}{6} \right )^{3}\cdot \frac{1}{6}+ \left ( \frac{5}{6} \right )^{4}\cdot \frac{1}{6}


=\frac{1}{6}(1+\frac{5}{6}+ \left ( \frac{5}{6} \right )^{2}+ \left ( \frac{5}{6} \right )^{3}+ \left ( \frac{5}{6} \right )^{4})

=\frac{1}{6}\cdot (\frac{1- \left ( \frac{5}{6} \right )^{5}}{1-\frac{5}{6}})

=\frac{4651}{7776}=59,81%

n=50


=\frac{1}{6}(1+\frac{5}{6}+ \left ( \frac{5}{6} \right )^{2}+ \left ( \frac{5}{6} \right )^{3}+...+ \left ( \frac{5}{6} \right )^{49})


Bei n=50 ist die Kette der Summanden sehr lang, deswegen bietet sich die neue Formel der geometrischen Reihe an für |q|<1.


=\frac{1}{6}\cdot\frac{1- \left ( \frac{5}{6} \right )^{50}}{1-\frac{5}{6}}=99,98%


Heute am 19.02.2016 schrieben wir eine HÜ, wo Wahrscheinlichkeitsrechnung und geometrische Reihe beinhaltet waren.

Hausaufgaben zum 19.02.2016

Bei den Hausaufgaben gingen wir speziell auf die Aufgaben S.313 Nr.2a, Ü2 Nr.2b und S. 306 Nr.7a ein.

S.313 Nr.2a


Bei dieser Aufgabe geht es um eine Schale mit 20 Kugeln mit den Zahlen 0 bis 19. Eine Kugel wird blind gezogen. Wie groß soll die Warscheinlichkeit sein, dass die Zahl auf der Kugel eine Primzahl oder durch 5 teilbar ist?


S= \left \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 \right \}


E_{1}=\left \{ 2,3,5,7,11,13,17,19 \right \}


E_{2}=\left \{ 0,5,10,15 \right \}


Schnittmenge


Hier liegt nun eine Schnittmenge an. Die Schnittmenge zweier Mengen enthält alle Elemente, die in beiden Mengen vorkommen.

Dies bedeutet:


E_{1}\bigcap E_{2} (d.h. Menge aller Elemente,die in E1 und E2 vorkommen)

Vereinigungsmenge


Eine Andere ist die Vereinigungsmenge. Sie enthält alle Elemente von E1 oder E 2.


E_{1}\bigcup  E_{2}(d.h. Menge aller Elemente, die in E1 oder E 2 vorkommt )


Da es sich aber in der Aufgabe 2a.) um eine Schnittmenge handelt ist das gemeinsame Element von E1 und E2:

E=\left \{ 5 \right \}=1=E_{1}\bigcap E_{2}

P(E)=\frac{1}{20}=5%

Ü2 Nr.2b.)


Ein Würfel mit den Augenzahlen 1,2,2,3,3,3 wird dreimal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augensumme der 3 Würfe größer als 6 ?


E= \left \{(1,3,3),(3,1,3),(3,3,1),(2,2,3)(2,3,2)(3,2,2),(2,3,3)(3,2,3)(3,3,2) \right\}=10

Optimierter Baum

Mathe

p_{1}=\frac{1}{6}

p_{2}=\frac{1}{3}

p_{3}=\frac{1}{2}

P(E)=3\cdot \frac{1}{6}\cdot  \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+ 3\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{2}\cdot \frac{1}{2}+3\cdot    \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}\cdot \frac{1}{3} + \left ( \frac{1}{2} \right )^{3}=\frac{2}{3}=66,66%

Aufgabe zu S.306 Nr.7a.)

Nun errechnen wir die Warscheinlichkeit bei unendlich Würfen mit einem Würfel eine Sechs zu bekommen.

n=\infty

P(E)=\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{6}\left ( \left ( \frac{5}{6} \right ) ^{0}+ \left ( \frac{5}{6} \right )^{1}+ \left ( \frac{5}{6} \right )^{2}+....+ \left ( \frac{5}{6} \right )^{n-1} \right )
Da n gegen Unendlich verläuft verwenden wir die Formel:

\frac{1}{1-q}


P(E)=\frac{1}{6}\left ( \frac{1}{1-\frac{5}{6}} \right )=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{\frac{1}{6}}=1=100%

Gegenereignis

Das Gegenereignis ist es, keine 6 bei unendlich viele Würfen zu haben.

P(\overline {E })=\lim_{n\rightarrow \infty }  \left ( \frac{5}{6} \right )^{n} =0=0%

Aufgabe mit gefragter Anzahl n

Wie bei 7a.) handelt es sich hier um einen Würfelversuch. Jedoch stellt sich die Frage, wie oft man würfeln muss,um mit mindestens 60% Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu bekommen.

E: Mindestens eine 6 bei n Wurf.

Das Gegenereignis ist es, keine 6 zu bekommen.

P(\overline {E })=\left ( \frac{5}{6} \right )^{n}

P(E)=1-P(\overline E) 


1-\left ( \frac{5}{6} \right )^{n}\geq 0,6


1-\left ( \frac{5}{6} \right )^{n}\geq 0,6 |+\left ( \frac{5}{6} \right )^{n}-0,6

0,4\geq\left ( \frac{5}{6} \right )^{n}

log(0,4)\geq n\cdot log\left ( \frac{5}{6} \right )|\div log\left ( \frac{5}{6} \right )

\frac{log(0,4)}{log(\frac{5}{6})}\leq n


5\leq n

n_{0}=6


Die Ungleichheitszeichen wurde umgedreht, da bei äquivalenter Umformung einer Ungleichung Punktrechnungen es nötig machen, die

Vergleichsoperatoren (<;>) zu drehen. Es muss 6 mal gewürfelt werden, damit eine Warscheinlichkeit von 60% vorliegt.

Das Geburtstagsproblem

Zur nächsten Unterrichtsstunde am 24.02.2016 werden wir das Geburtstagsproblem besprechen. Darin handelt es sich um die Frage, wie viel Leute sich treffen müssen, damit mit 50%er Warscheinlichkeit wenigstens 2 Leute im gleichen Monat Geburtstag haben.

Protokoll vom 24.2.2016, Themen: Set Theory, Event Theory, De Morgan, Birthday Problem, Clay Pigeon Problem, Bayes

Protokoll von --Addie98OB (Diskussion) 19:22, 28. Feb. 2016 (CET) (Schuljahr 2016)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von --Addie98OB (Diskussion) 19:49, 29. Feb. 2016 (CET)

Set Theory

Intersection:

Intersection






E_1 \cap E_2 = \{e| e \in E_1 \wedge e \in E_2\}


Union:

Union






E_1 \cup E_2 = \big\{e|e \in E_1 \vee e \in E_2\big\}


Exclusive or:

One is true, the other is false. For example: The baby will either be a girl or a boy.

Inclusive or:

One or more of the arguments are true. For example: When Jonas gets home, he will do his maths homework or watch TV. (It is possible for him to do both).


Event Theory

E: At most one mushroom is poisonous.

All outcomes that are not part of the event define the complementary event. The complementary event includes all elements where the event will not occur.

If at most one mushroom is allowed to be poisonous, the event will not occur if more than one mushroom is poisonous. Therefore the complementary event is that at least two mushrooms are poisonous.

\overline{E}: At least two mushrooms are poisonous.


5 mobile phones were stolen during a concert.

E: At least 2 mobile phones were stolen.

This event does not occur if only 1 mobile phone or none were stolen. Therefore the complementary event is:

\overline{E}: At most 1 mobile phone was stolen.


De Morgan's First Law

\overline{A  \cap B} = \big\{ e | it is false that e \in A AND e \in B\big\}

\overline{A  \cap B} = \big\{e | e  \notin A  \vee e \notin B\big\}

If the element is not in the event it must be in the complementary event.

\overline{A  \cap B} = \big\{e | e  \in  \overline{A} \vee e \in  \overline{B}\big\}

\overline{A  \cap B} =  \overline{A}  \cup  \overline{B}


This law can be expressed in words as: The negation of a conjunction is the disjunction of the negations.

\overline{A}  \cup  \overline{B} = S \backslash A \cap B = \overline{A \cap B}

De Morgan 1

As you can see in the Venn diagram, the areas that are red or green are the same as the blue area.


De Morgan's Second Law

\overline{A  \cup  B} = \big\{e | it is false that e \in A OR e \in B \big\}

\overline{A  \cup B} = \big\{e | e  \notin A   \wedge  e \notin B\big\}

If the element is not in the event it must be in the complementary event.

\overline{A  \cup B} = \big\{e | e  \in  \overline{A}  \wedge  e \in  \overline{B}\big\}

\overline{A \cup B} =  \overline{A}   \cap   \overline{B}


This law can be expressed in words as: The negation of a disjunction is the conjunction of the negations.

\overline{A \cup B} = S \backslash A \cup B = \overline{A}  \cap  \overline{B}

De Morgan 2

As you can see in the Venn diagram, the area that is both red and green is the same as the area that is blue.


The Birthday Problem


Calculation with months

How many people have to meet, for there to be at least a 50% chance that two people have their birthday during the same month?

2 people meet:

The first person can have their birthday in any of the twelve months. The second person has to have their birthday in the same month, leaving them with only one option. Therefore the probability for two people having their birthday in the same month is \frac{1}{12}.

2 people months

4 people meet:

4 people months

Before the third person there are two people that have their birthday in different months, therefore this person has 2 options. This principle has to be applied to every new person.

P(E) =  \frac{1}{12} +  \frac{11}{12}\cdot  \frac{2}{12} +  \frac{11}{12} \cdot  \frac{10}{12}\cdot  \frac{3}{12}  =  \frac{41}{96} = 42,71%

The probability for the event can also be calculated with the complementary event.

P(\overline{E}) =  \frac{12}{12} \cdot  \frac{11}{12} \cdot  \frac{10}{12} \cdot  \frac{9}{12} =  \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{12^4} =  \frac{12!}{12^4 \cdot 8!} =  \frac{55}{96} = 57,29%

The first person can have their birthday in any of the twelve months, hence the fraction \frac{12}{12}. The factorial in the numerator is only supposed to go to 9, so the remaining multiplications are cancelled out with the factorial of 8 in the denominator.

P(E) = 1 - P(\overline{E}) = 1 - \frac{55}{96} = \frac{41}{96} = 42,71%

A meeting of 4 people is not enough to reach a 50% chance of two same birthday months.

Complementary event for 5 people:

P(\overline{E}) =  \frac{12}{12} \cdot  \frac{11}{12} \cdot  \frac{10}{12} \cdot  \frac{9}{12} \cdot  \frac{8}{12} =  \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{12^5} =  \frac{12!}{12^4 \cdot 7!} =38,19%

P(E) = 1 - P(\overline{E}) = 1 - 0,3819 = 0,6181 = 61,81%

At least 5 people need to meet for there to be at least a 50% chance of two people having their birthday in the same month.


General formula for the complementary event (months)

Let n be the amount of people that meet

P(\overline{E}) = \frac{12!}{12^n \cdot (12-n)!}


Calculation with days

2 people meet. What is the probability that they have their birthday on the same day?

This can be worked out in the same way as the Birthday Problem with months. The first person can have their birthday on any of the 365 days, leaving the second person with only one option. Therefore the probability of two people sharing a birthday is \frac{1}{365}.

Example - 4 people:

(Diagram for 4 people):

P(E) =  \frac{1}{365} +  \frac{364}{365}\cdot \frac{2}{365}+ \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot  \frac{3}{365} = 1,64%

Before the third person there are two people that have their birthday on different days, therefore this person has 2 options. This principle has to be applied to every new person.

P(\overline{E})=  \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \frac{362}{365}  =  \frac{365!}{365^4\cdot 361!} = 98,36%

For the complementary event the third person must have a different birthday to the first two people. For this reason the third person can have their birthday on all but two days of the year (363 = 365-2). This prinicple once again has to be applied to every new person.


General formula for the complementary event (days)

Let n be the amount of people that meet

P(\overline{E}) = \frac{365!}{365^n \cdot (365-n)!}


The Clay Pigeon Problem

Nico and David shoot at a clay pigeon at almost the same time. David has twice the accuracy that Nico has. With which probability is Nico at best allowed to hit the pigeon, so that it has at least a 50% chance of not getting hit?

N - Nico hits the pigeon with p

\overline{N} - Nico doesn't hit the pigeon with 1-p

D - David hits the pigeon with 2p

\overline{D} - David doesn't hit the pigeon with 1-2p

Clay Pigeon Tree

P(E):

(1-p)\cdot(1-2p)  \geq 0,5

1-p-2p+2p^2  \geq 0,5 |-0,5

2p^2 -3p +0,5  \geq 0 |:2

p^2 - 1,5p + 0,25  \geq 0

p_{1,2} = - \frac{(-1,5)}{2}  \pm  \sqrt{\left( \frac{-1,5}{2}\right)^2-0,25}

p_1 = 0,19

p_2 = 1,31

Clay Pigeon Graph

As the outcome must be positive and the probability has to be smaller than 1 the only amounts that come into question are between 0 and 0,19.

Nico will not hit the pigeon with 1 - 0,19 = 0,81

David will not hit the pigeon with 1 - 2 \cdot 0,19 = 0,62

P(E)= 0,81 \cdot 0,62 = 0,5022 = 50,22%

Nico can at best only have a 19% probability of hitting the pigeon for it to have a 50% chance of not getting hit.

Example disproving values over 0,19:

p = 0,2

P(E) = (1-p) \cdot (1-2p) = 0,8 \cdot 0,6 = 0,48 = 48%


Bayes' Law

Bayes' theorem describes the probability of an event, based on preceding outcomes (conditions related to the event).

The preceding result is written as a subscript.

For example, the probability of rolling a 6 after already having rolled a 6 is written like this: P_6(6)


We have a bag with 2 red balls and 8 blue balls.

A: Red for the first draw

B: Blue for the second draw

The balls get replaced:

mit Zurücklegen

P(A) =  \frac{2}{10}

P(B) =  \frac{2}{10} \cdot \frac{8}{10} + \left( \frac{8}{10}\right)^2 =  \frac{16}{100}+  \frac{64}{100} =  \frac{80}{100} = 80%

P(A \cap B) =  P(A) \cdot P_A(B) = \frac{2}{10} \cdot \frac{8}{10} =  \frac{16}{100} = 16%

P_A(B) =  \frac{P(A \cap B)}{P(A)} =  \frac{0,16}{0,2} = 80%

P_A(B) = P(B) = 80%

Event B is independent of event A because A does not change the probability for B.



The balls do not get replaced:

ohne Zurücklegen

P(A) =  \frac{2}{10} = 0,2 = 20%

P(B) =  \frac{2}{10} \cdot  \frac{8}{9} +  \frac{8}{10} \cdot \frac{7}{9} =  \frac{16}{90} + \frac{56}{90} = 0,8 = 80%

P(A  \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) =  \frac{2}{10} \cdot \frac{8}{9} =  \frac{16}{90} = 0,17  = 17%

P_A(B) =  \frac{P(A \cap B)}{P(A)} =  \frac{0,17}{0,2} = 0,85 = 85%

P(B)  \neq P_A(B)

Event B is dependent of event A because A can change the probability for B.


Bayes' Law: P(A \cap B ) = P(A) \cdot P_A(B)

P (A \cap B) =  \frac{|A \cap B|}{|S|}

P_A(B) = \frac{|A \cap B|}{|A|}