Protokolle vom Mai 2016

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Schülerbeitrag
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Inhaltsverzeichnis

Protokoll vom 04.05.2016, Binomialverteilung

Protokoll von --David99OB (Diskussion) 22:35, 9. Mai 2016 (CEST) (Schuljahr 2015 / 2016)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)
verbessert von --David99OB (Diskussion) 20:57, 31. Mai 2016 (CEST)


Binomialverteilung

Bernoulli Versuch

Ein Bernoulli-Versuch wird n-mal durchgeführt. Zum Beispiel 20000 mal ein Münzwurf. Wichtig ist jeweils die gleiche Trefferwahrscheinlichkeit und die Unabhängigkeit der Versuche.

Bernoulli Kette

Würfeln n=3; p=\frac{1}{6} ;k=2

2 Treffer


Baumdiagramm zur Bernoulli Kette.png


Es gibt drei verschiedene Wege 2 Treffer zu erhalten. Die verschiedenen Gleichungen mit X=k gibt die verschiedenen Ergebnisse an. Zum Beispiel 0 Treffer, 1 Treffer, 2 Treffer oder gar 3 Treffer.

In dieser Stunde haben wir hauptsächlich verschiedene Beispiel für solche Rechnungen geübt.

\big\{\big\{1 ,2\big\}, \big\{1,3\big\}, \big\{2,3\big\} \big\}

P \big(X=2\big) = \binom{ 3 }{ 2 } \cdot \big( \frac{1}{6} \big)^{2} \cdot  \frac{5}{6}=3 \cdot  \frac{5}{216}= \frac{5}{72}

P \big(X=1\big) = \frac{25}{72}

P \big(X=3\big) = \frac{1}{216}

P \big(X=0\big) = \frac{125}{216}

P \big(X \geq 0\big) = \frac{125+75+15+1}{216} =\frac{216}{216}


n=4; k=2

P \big(X=2\big) = \binom{ 4 }{ 2 } \big( \frac{1}{6} \big)^{2} \cdot \big( \frac{5}{6} \big)^{2}=11,57 %

\big\{\big\{1 ,2\big\}, \big\{1,3\big\}, \big\{1,4\big\}\big\{2 ,3\big\},\big\{2 ,4\big\},\big\{3 ,4\big\} \big\}

P \big(X=0\big) =  48,23 %

P \big(X=1\big) =  38,58 %

P \big(X=3\big) =  1,54 %

P \big(X=4\big) =  0,08 %

P \big(X  \leq  0\big) =P \big(X=0\big)+...+>P \big(X=4\big)  = 100%


n=6; k=3

P \big(X=3\big) = \binom{ 6 }{ 3 } \big( \frac{1}{6} \big)^{2} \cdot \big( \frac{5}{6} \big)^{2}=5,36 %

P \big(X=0\big) =  33,49 %

P \big(X=1\big) =  40,19 %

P \big(X=2\big) =  20,09 %

P \big(X=4\big) =  0,8 %

P \big(X=5\big) =  0,06 %

P \big(X=6\big) =  0,0 %

P \big(X \leq 6\big)  \approx   100 %


Hier haben wir zunehmend verallgemeinert. Von Schritt zu Schritt haben wir mehr Werte durch Variablen ersetzt um so auf eine allgemeine Form zu kommen.

 n=6;p=\frac{1}{6} ; k -Treffer

P \big(X=k\big) = \binom{ 6 }{ k } \big( \frac{1}{6} \big)^{k} \cdot \big( \frac{5}{6} \big)^{6-k}

n; p=\frac{1}{6}; k

P \big(X=k\big) = \binom{ n }{ k } \big( \frac{1}{6} \big)^{k} \cdot \big( \frac{5}{6} \big)^{n-k}

n,k,p

P \big(X=k\big) = \binom{ n }{ k } \cdot p^{k} \cdot \big( 1-p \big)^{n-k}


Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung. Die Bernoulli-Kette besteht aus n-unabhängigen Versuchen mit den Trefferwahrscheinlichkeiten p. (Wahrscheinlichkeiten für k-Treffer)


n=10; k=7;p=\frac{1}{6}

P \big(X=7\big) = \binom{ 10 }{ 7 } \big( \frac{1}{6} \big)^{7} \cdot \big( \frac{5}{6} \big)^{3}=0,02 %


n=20; k=4;p=\frac{1}{6}

P \big(X=4\big) =4845 \cdot  \frac{1}{1295}  \cdot0,054= 20,22%


Die Binomialtabelle

Anstatt diese Wahrscheinlichkeiten zu berechnen haben wir im Unterricht eine andere Methode ausprobiert. Wir haben mit der Tabelle im Buch auf Seite 453 diese nachgeschlagen.

700px

Zuerst suchen wir uns unser passendes "p" in der Spalte. Wenn wir es oben nicht finden, dann müssen wir unten gucken.

Anschließend suchen wir unser "n" in der Zeile. Es gibt nur "10", "15" und "20".

Letztenendes nehmen wir noch unser "k".

Dann suchen wir zuerst unter den drei großen Zeilen das passende "p". Im Beispiel von unten 10, also die oberste Zeile. Als Unter punkt bzw. Unterzeile wählen wir dann unser "k". In unserem Beispiel 2. Dies muss im richtigen "p-Block" sein. Je nachdem ob das "p" auf der unteren grünen oder der oberen weißen Seite zu finden ist wählen wir das "p" und das "k" auch auf der richtigen Seite. Wenn unser "p" im Bereich von 0,02 bis 0,5 liegt, müssen wir das obere weiße nehmen und somit auch das linke weiße. Wenn jedoch das "p" im Bereich von 0,5 bis 0,98 liegt, müssen wir die untere grüne Seite für das "p" und die rechte grüne für "n" und "k" nehmen. Da unser "p", bei uns 0,4, im weißen Bereich liegt wählen wir den oberen und den linken.

Wirr gehen die Spalte und Zeile zusammen und am Schnittpunkt oder an der Stelle, wo beide sind, haben wir unser Ergebnis.

Bei n=10, k=2 und p=0,4 steht 1209. Weil das nur die Nachkommastellen sind denken wir uns ein 0, davor. Dann haben wir 0,1209.

Weil wir unser Ergebnis noch in Prozent haben wollen, verschieben wir das Komma um zwei Stellen und haben das Ergebnis von 12,09%.


n=10; k= 2; p=0,4

P \big(X=2\big) =  12,09 %

Hier haben wir die Tabelle ausprobiert. Es gibt sowohl die linke Seite, die mit der oberen Seite funktioniert, als auch die rechte Seite, die mit der unteren funktioniert. (Wie oben in der Graphik gezeigt. Weiß mit weiß und grün mit grün.)

Wir haben die linke Seite genommen und da bei n=15 und k=2 mit p=0,4 den Wert 0,0219 gefunden. (Nicht in Prozent. Es werden nur die Nachkommastellen angezeigt.) Die rechte Seite zeigt auf dieser Höhe n=15 und k=13 mit p=0,6. Das haben wir dann nachgerechnet und kamen auf eine Übereinstimmung.

n=15; k=2; p=0,4

P \big(X=2\big) = \binom{ 15 }{ 2 } \cdot   0,4^{2} \cdot 0,6^{13}=  2,19 %

n=15; k=13; p=0,6

P \big(X=13\big) = \binom{ 15 }{ 13 } \cdot 0,6^{13} \cdot 0,4^{2}

P \big(X=13\big) = \binom{ 15 }{ 2 } \cdot   0,4^{2} \cdot 0,6^{13}= 2,19% =P \big(X=2\big) bei p=0,4


Beispielaufgaben

Münze

n=10; k=15; p=\frac{1}{2}  X=Zahl der Wappen

P \big(X=5\big) =  24,61 %


Reißnagel

n=20; k=15; p=0,6 X=Zahl der Rückenlagen

P \big(X=15\big) =  7,76 %


Würfel

n=10; k=5; p=0,5 X=Zahl der Primzahlen

P \big(X=5\big) =   24,61 %

P \big(X   \geq   8\big) =P \big(X=8\big)+P \big(X=9\big)+P \big(X=10\big)

P \big(X   \geq   8\big) =4,39%+0,98%+0,10%

P \big(X   \geq   8\big) =5,47

P \big(X   \leq   3\big)= 17,19%

P \big(X   \leq   7\big)= 1-P \big(X   \geq   8\big)

P \big(X   \leq   7\big)=100%-5,47%

P \big(X   \leq   7\big)=94,53%


Textaufgaben

Massenartikel werden in Paketen von je 15 Stück geliefert. Mit mehr als zwei beschädigten Produkten bleiben die Pakete unberechnet. Laut Werk sind 2% der Produkte beschädigt.

Wie viele Pakete (in %) bleiben unberechnet?

n=15; p=2% X=Zahl der beschädigten Produkte

P \big(X    > 2\big) =1-P \big(X \leq 2\big)=0,3%

P \big(X    \leq  2\big) =73,86%+22,61%+3,22%=99,7%


In einem Multiple Choice Test sitzt jemand, der nicht gelernt hat. Er kreuzt einfach immer zufällig eine aus drei möglichen antworten an. Die Wahrscheinlichkeiten sind unabhängig.

n=10; p=\frac{1}{3} X=Zahl der richtigen Antworten.

P \big(X=5\big) =  13,66 %

P \big(X=6\big) =  5,69 %

P \big(X=7\big) =  1,63 %

P \big(X=8\big) =  0,3%

P \big(X=9\big) =  0,03 %

P \big(X=10\big) =  0,00 %


Es werden Bierflaschen verkauft und einige beinhalten weniger Bier als auf der Verpackung vorgegeben. Ein Kasten besteht aus 20 Flaschen.

n=20; p=0,02 X=Zahl der Flaschen mit zu wenig Bier

P \big(X=2\big) =  5,28 %

P \big(X     \geq  2\big) =1-P \big(X \leq 1\big)=5,99%

P \big(X      \leq   2\big) =99,29%


WTR-Erlass

Später besprachen wir den "WTR-Erlass". Dieser Erlass bestimmt die Nutzbarkeit des WTR auch in der Abiturprüfung. Man kann nämlich mit seinen WTR sowohl die Nullstellen von Gleichungen bestimmen, als auch Integrale lösen.

Laut dem hessischen Kultusministerium darf man den WTR für solche fälle nutze. Jedoch muss unter den Operatoren "berechne" und "bestimme"/"ermittle" unterschieden werden. Beim Operator "berechne" muss mit erkennbarem Lösungsweg eigenständig die Lösung erzielt werden. Beim Operator "bestimme" oder "ermittle" darf mit den erweiterten Funktionalitäten des WTR gearbeitet werden.

Im Falle der Nullstellenbestimmung an der Gleichung x+1=2.

Auf dem Rechner gibt es oben links eine "ALPHA" Taste, welche alle rot gekennzeichneten Funktionen nutzbar macht. Dann wählen wir die Variable auf der Taste der schließenden Klammer. Dann wählen wir ganz normal das "+" und die "1". Für das "=" wählen wir wieder "ALPHA" und dann die Taste oben links für "CALC". Dann brauchen wir nur die "2" und wir haben die Gleichung. Um diese dann zulösen, wählen wir auch oben links "SHIFT" und wieder die Taste für "CALC". Dann bekommen wir den Text "Solve for X" und drücken auf die normale Taste für ein Ergebnis. Wir müssen dann einfach einen Startwert angeben, welcher jede beliebige Zahl sein kann. Bei mehreren Nullstellen müssen wir es einige Male ausprobieren und der Rechner gibt uns immer die Nullstelle, welche unserem Startwert am nächsten ist. Dann haben wir nochmal die Gleichung aufgeführt und darunter steht die Nullstelle mit X=1 in unserem Fall.

Protokoll vom 11.05. und 13.05.2016

Protokoll von --Alex99OB (Diskussion) 21:17, 11. Mai 2016 (CEST) (Schuljahr 2015 / 2016)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von--Alex99OB (Diskussion) 13:48, 21. Mai 2016 (CEST)

WTR Hilfe

Am Beispiel von x^{ 4 }+x=2

drgeatgetg





















Danach muss man erst einen geeigneten Startwert eingeben. Dies tut man indem man sich den Grafen grob vorstellt und dann einen geeigneten Startwert findet. Die Zahl der Lösungen spielt auch eine Rolle da der Rechner nur eine Lösung angibt. Diese ist am nächsten zum Startwert, deswegen muss man den Startwert ändern damit die nächste Lösung angezeigt wird.

Chuck a Luck Klassenversuch

Chuck a luck



Das sind jeweils die Gewinne bei 100 Wurf.

Gewinn bei 1400 Würfen.

Mit Adeline:

 \bar{x} = \frac{9}{1400}=0,006

Ohne Adeline:

 \bar{x} = \frac{-17}{1300}=-0,013

Da Adeline ein unglaubwürdiges Ergebnis hat, müssen man sie rausnehmen, weil sonst der Gewinn zu hoch ist.

Durch das Gesetz der großen Zahlen nähern wir uns mit 1400 Versuchen nah an den theoretischen Gewinn, trotzdem ist unser Ergebnis nicht perfekt da der eigentliche Gewinn -0,07 ist.

Kumulierte Wahrscheinlichkeit

n=15;p=0,2

P\left ( X\leq 2 \right )=P\left ( X= 0 \right )+P\left ( X=1 \right )+P\left ( X=2 \right )

Um den Wert für P\left ( X\leq 2 \right ) muss man alle Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen 0-2 addieren.

=0,0352+0,1319+0,2309

=0,398=F_{15;0,2}\left ( 2 \right )



















Tabellenübung

1.

n=10;p=0,1

F_{10;0,1}\left ( 2 \right )=34,87%+38,74%+19,37=92,98%=P\left ( X\leq 2 \right )

2.

n=100;p=0,5

P\left ( X\geq 50 \right )=1-P\left ( X\leq 2 \right )=1-46,02%=53,98%

3.

n=25;p=\frac{1}{6}

P\left ( 4\leq X\leq 8 \right )=P\left ( X\leq 8 \right )+P\left ( X\leq 3 \right )=60,27%

Erwartungswert für n=4

Erwartungswert







\mu =4p\left ( 1+3p^{2}-3p-p^{3} \right )+12p^{2}\left ( 1-2p+p^{2} \right )+12p^{3}-12p^{4}+4p^{4}

\mu =4p+12p^{3}-12p^{2}-4p^{4}+12p^{2}-24p^{3}+12p^{4}+12p^{3}-12p^{4}+4p^{4}

\mu =4p

Daraus entsteht die Formel:

\mu =\sum_{k=0}^{n}k\left ( _{k}^n{}\textrm{} \right )\cdot p^{k}\cdot \left ( 1-p \right )^{n-k}


Wiederholung des binomischen Lehrsatz

\left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

=\left ( _{0}^{3}\textrm{} \right )a^{3}+\left ( _{3}^{1}\textrm{} \right )a^{2}b+\left ( _{3}^{2}\textrm{} \right )ab^{2}+\left ( _{3}^{3}\textrm{} \right )b^{3}

=\sum_{k=0}^{3}\left ( _{k}^{3}\textrm{} \right )a^{3-k}\cdot b^{k}



\left ( a+b \right )^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left ( _{k}^{n}\textrm{} \right )a^{n-k}\cdot b^{k}

Diese Formel nennt man den Binomischen Lehrsatz A(n).

Induktionsbeweis des Binomischen Lehrsatzes

Induktionsanfang


A(2):

\left ( a+b \right )^{2}=\left ( _{0}^{2}\textrm{} \right )a^{2}+\left ( _{1}^{2}\textrm{} \right )ab+\left ( _{2}^{2}\textrm{} \right )b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

Induktionsschluss

A\left ( n \right )\Rightarrow A\left ( n+1 \right )

A(n+1):

\left ( a+b \right )^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\left ( _{k}^{n+1}\textrm{} \right )a^{n+1-k}b^{k}

RT: \sum_{k}^{n+1}\left ( _{k}^{n+1}\textrm{} \right )a^{n+1-k}b^{k}=\sum_{k=0}^{n}\left ( _{k}^{n+1}\textrm{} \right )a^{n+-k}b^{k}+\left ( _{n+1}^{n+1}\textrm{} \right )a^{n+-\left ( n+1 \right )}b^{n+1}

Da \left ( _{n+1}^{n+1}\textrm{} \right )und  a^{0} 1 ergeben wird nur noch b^{n+1} addiert.

Substitution m=n+1

\sum_{k=0}^{m-1}\left ( _{k}^{m}\textrm{} \right )a^{m-k}b^{k}+b^{n+1}

Damit im Summenoperator nur m steht gleichen wir die Gleichung mit -b^{m} aus.

\sum_{k=0}^{m}\left ( _{k}^{m}\textrm{} \right )a^{m-k}\cdot b^{k}-b^{m}+b^{m}

=\left ( a+b \right )^{m}

Rücksubstitution n+1=m

=\left ( a+b \right )^{n+1}=LT q.e.d.

Anwendung

Summe der Wahrscheinlichkeiten B_{n;p}

\sum_{k=0}^{n}\left ( _{k}^{n}\textrm{} \right )p^{k}\left ( 1-p \right )^{n-k}=\left ( \left ( 1-p \right )+p \right )^{n}=1

Erwartungswert bei der Binomialverteilung

Vor. Eine Bernoulli-Kette der Länge n Trefferwahrscheinlichkeit p

Beh. \mu =n\cdot p

Bew.

\mu =\sum_{k=0}^{n}k\cdot P\left ( X=k \right )

\mu =\sum_{k=0}^{n}k\cdot \left ( _{k}^{n}\textrm{} \right )p^{k}\left ( 1-p \right )^{n-k}

\mu =\sum_{k=1}^{n}k\frac{n!}{k!\left ( n-k \right )!}\cdot p^{k}\left ( 1-p \right )^{n-k}

Man holt n\cdot p aus der rechten Term heraus, da das die Behauptung ist und damit man nur noch den restlichen Term vereinfacht und nur noch dieser Term übrig bleibt.

\mu =n\cdot p\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)!}{\left ( k-1 \right )!\left ( n-k \right )!}\cdot p^{k-1}\left ( 1-p \right )^{n-k}

\mu =n\cdot p\sum_{k=1}^{n}\left ( _{k-1}^{n-1}\textrm{} \right )\cdot p^{k-1}\left ( 1-p \right )^{n-k}

1. Substitution k-1=l

=n\cdot p\sum_{l=0}^{n-1}\left ( _{l}^{n-1}\textrm{} \right )p^{l}\left ( 1-p \right )^{n-1-\left ( k-1 \right )}

=n\cdot p\sum_{l=0}^{n-1}\left ( _{l}^{n-1}\textrm{} \right )p^{l}\left ( 1-p \right )^{n-1-l}

2.Substitution n-1=m

=n\cdot p\sum_{l=0}^{m}\left ( _{l}^{m}\textrm{} \right )p^{l}\left ( 1-p \right )^{m-l}

Ersatz durch Binomischen Lehrsatz.

=n\cdot p\left ( p+\left ( 1-p \right ) \right )^{m}

Da \left ( p+\left ( 1-p \right ) \right )^{m} dieser Term 1 ergibt bleibt nur noch unsere Behauptung übrig.

=n\cdot p q.e.d.

Standardabweichung bei der Biomenialverteilung

Standartdabweichung








B_{3;0,4}

\mu = 1,2=0,4\cdot 3

V\left ( X \right )=0,72=1,2\cdot 0,6

\sigma =0,85

V\left ( X \right )=n\cdot p\cdot \left ( 1-p \right )

 I=\left [ \mu -\sigma ;\mu +\sigma  \right ]=\left [ 0,35;2,05 \right ]

P\left ( X\epsilon I \right )=P\left ( 1\leq X\leq 2 \right )=0,432+0,288=0,72=72%

Galton Brett

Ein Galton Brett besteht aus Stäben. Diese Stäbe sind in Form eines Dreiecks angeordnet sodass in der darauffolgenden Reihe unter immer ein Stab mehr ist. Auf dies Stäbe fallen Kugeln welche nach x Reihen in ein Loch fallen und gezählt werden.Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel in eine Seite abgelenkt wird, beträgt p=0,5. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung in welches Loch die Kugeln gefallen sind kann man mit einem Histogramm darstellen. Durch dieses Galton Brett wird die Binomialverteilung verdeutlicht, da die Kugeln mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf die Stäbe fallen, aber trotzdem in verschieden Fächer reinfallen und dadurch verschiedene Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Löcher entstehen.

P\left ( x=5 \right )=\left ( _{5}^{10}\textrm{} \right )\cdot 0,5^{5}\cdot 0,5^{5}=0,2461=24,61%

Diese Binomialverteilung zeigt wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist das die Kugel ins 5 Loch fällt. Sie ist dort am höchsten, da dies der Erwartungswert ist.

Galton brett

Zeichnen von Histogrammen

1. n=10;p=0,5

Dieses Histogramm zeigt die Binomialverteilung bei gleicher Wahrscheinlichkeit der Ereignisse, wodurch das Histogramm seinen Höhepunkt bei dem Erwartungswert hat und in beide Richtungen sind die Wahrscheinlichkeiten gleichmäßig verteilt.


Histogramm 1


2. n=10;p=0,7

Bei diesem Histogramm wurde die Wahrscheinlichkeit nach rechts verschoben, wodurch sich das ganze Histogramm mit nach rechts verschiebt.

Histogramm 2

3. n=10;p=0,2

Bei diesem Histogramm wurde die Wahrscheinlichkeit nach links verschoben, wodurch sich das ganze Histogramm mit nach links verschiebt.

Histogramm3

4. n=100;p=0,5

Bei diesem Histogramm wird gezeigt, wie gering die Wahrscheinlichkeit mancher Ereignisse ist. Dies ist so, da die Anzahl der Würfe verändert wurde.

Histogramm 4

Sigma Regeln

\mu =n\cdot p

V\left ( X \right )=n\cdot p\left ( 1-p \right )

\sigma =\sqrt{n\cdot p\left ( 1-p \right )}

Wenn man der Erwartungswert vervierfacht wird verdoppelt sich die Standardabweichung , da in der Wurzel die Vervielfachung zu einer Verdopplung führt. Das heißt mit großem n sind 68% der Werte immer dichter an dem Erwartungswert.

4\mu =4n\cdot p

2\sigma =\sqrt{4n\cdot p\left ( 1-p \right )}

Dadurch für eine Veneunfachung von dem Erwartungswert zu einer Verdreichfachung der Standardabweichung.

1-Regel

P\left ( \mu -\sigma \leq X\leq \mu +\sigma  \right )\approx 68%

2-Regel

P\left ( \mu -2\sigma \leq X\leq \mu +2\sigma  \right )\approx 95%

3-Regel

P\left ( \mu -3\sigma \leq X\leq \mu +3\sigma  \right )\approx 99%

Protokoll vom 18.05. und 20.05.2016 Sigma-Intervalle, Testen von Hypothesen (Einführung)

Protokoll von --Kat99OB (Diskussion)--Kat99OB (Diskussion) 18:14, 18. Mai 2016 (CEST) (Schuljahr 2015 / 2016)
Lehrer C.-J. Schmitt (5 Unterrichtsstunden)
verbessert von--Kat99OB (Diskussion) 20:55, 30. Mai 2016 (CEST)

Sigma-Regeln 4-6

Wir haben zu den ersten drei Sigma-Regeln noch drei weitere dazu gelernt:


4.) P( \mu -1,64 \sigma  \leq X \leq  \mu +1,64 \sigma ) \approx 90%

5.)P(  \mu  -1,96\sigma \leq X \leq  \mu +1,96 \sigma ) \approx 95%

6.)P( \mu -2,58 \sigma  \leq X \leq  \mu +2,58 \sigma ) \approx 99%



Die jeweiligen Dezimalen vor dem Sigma führen dazu, dass wir ungefähr die Prozentzahlen 90, 95 und 99 erhalten. Die Dezimalen liegen zwischen den Zahlen 1 und 3. Bei diesen Regeln werden die Wahrscheinlichkeiten ohne Nachkommastellen angegeben (bei den Regeln 1-3 sind die Nachkommastellen angegeben).

Wahrscheinlichkeit eines Sigma-Intervalls bestimmen

n=100\qquad p=0,5\qquad \mu=n\cdot p=50\qquad \sigma=5



\sigma- Intervall

P
( \mu- \sigma  \leq X \leq  \mu + \sigma )=P(45 \leq X \leq 55)= P(X \leq 55)-P(X \leq 44)=0,8644-0,1356=72,88%
(Wir zerlegen das Intervall, damit wir die Werte bzw. die Summen jeweils in der Tabelle ablesen können)


2\sigma-Intervall

P( \mu -2 \sigma  \leq X \leq  \mu +2 \sigma )=P(40 \leq X \leq 60)=P(X \leq 60)-P(X \leq 39)=0,9824-0,0176=96,48%



3\sigma-Intervall

P( \mu -3 \sigma  \leq X \leq  \mu +3 \sigma )=P(35 \leq X \leq 65)=P(X \leq 65)-P(X \leq 34)=0,9991-0,0009=99,82%

\rightarrow Man sieht, dass die Ergebnisse in der Nähe der Wahrscheinlichkeiten der Sigma Regeln 1-3 liegen.

n=100\qquad p=0,3\qquad \mu=30\qquad\sigma=4,58



P( \mu-  \sigma  \leq X \leq  \mu + \sigma )=P(25,42 \leq X \leq 34,58)=P(25 \leq X \leq 35)=P(X \leq 35)-P(X \leq 24)=0,8839-0,1136=77,03%
(Hier haben wir ein Beispiel, wo wir die Grenzen des Intervalls auf ganze Zahlen runden um dann die Wahrscheinlichkeit wie oben berechnen zu können)


p=0,3\qquad n=20\qquad\mu=6\qquad\sigma=2,05

p=0,3\qquad n=80\qquad\mu=24\qquad\sigma=4,1

p=0,3\qquad n=180\qquad\mu=54\qquad\sigma=6,15
Wenn sich das n verneunfacht, verneunfacht sich der Erwartungswert und die Standardabweichung verdreifacht sich. Vervierfacht sich n, dann vervierfacht sich auch der Erwartungswert.
\rightarrow Wenn n also größer wird, zieht sich die Standardabweichung immer enger um den Erwartungswert herum, das heißt der Bereich um den Erwartungswert wird dichter. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Testen von Hypothesen

Einleitung

Anfangs haben wir uns ein geeignetes Beispiel überlegt, um in das große Kapitel "Testen von Hypothesen" einzusteigen. Wir kamen auf ein Beispiel in Bezug auf einen Angeklagten im Gericht und damit auf das Sprichwort:
In dubio pro reo= Im Zweifel des Angeklagten

Wir stellen zuerst eine Hypothese auf: Der Angeklagte ist unschuldig.
Man geht davon aus, dass sie entweder wahr oder falsch ist. Ist sie wahr, dann ist der Angeklagte wirklich unschuldig, wenn sie falsch ist dann ist der Angeklagte eigentlich schuldig.
Dann können wir die Hypothese entweder annehmen oder ablehnen.

Die verschiedenen möglichen Kombinationen kann man in einer Tabelle darstellen:

Tabelle Hypothesentest 1
Der Fokus liegt mehr auf dem Fehler 1.Art, denn es ist "schlimmer"bzw. ein größerer Fehler, wenn die wahre Hypothese irrtümlich abgelehnt wird. In unserem Beispiel würde es bedeuten, dass der eigentlich unschuldige Angeklagte für schuldig erklärt wird und seine Strafe im Gefängnis absitzen muss. Der Fehler 2.Art bei unserem Beispiel würde heißen, dass der eigentlich schuldige Angeklagte nicht verurteilt wird.
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Annahme-und Ablehnungsbereich

Beispiel:
Jemand behauptet, er kann mit 70prozentiger Wahrscheinlichkeit gifitige von ungiftigen Pilzen unterscheiden.

H_0: Jonas kann mit 70 prozentiger Wahrscheinlichkeit giftige von ungiftigen Pilzen unterscheiden.
\rightarrowwenn wir annehmen, dass diese Hypothese wahr ist und wir sie ablehnen, ist es nicht so schlimm, deswegen formulieren wir die Nullhypothese anders:

H_0: Jonas rät mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% (also p=0,5).
\rightarrow wenn wir annehmen, dass diese Hypothese wahr ist und wir sie ablehnen, sind die Folgen schlimmer, da wir davon ausgehen, dass Jonas nicht rät. Wir gehen also ein Risiko ein, giftige Pilze zu essen.

Tabelle Pilze


\alpha bezeichnet man auch als  Signifikanzniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit.
\alpha ist also die Wahrscheinlichkeit für die irrtümliche Ablehnung einer wahren Hypothese (Fehler 1.Art)
\alpha sollte unter 10% sein, also \alpha<10%

Wir wenden das Beispiel jetzt für 100 Pilze an:
H_0:p=0,5\qquad n=100\qquad \mu=50\qquad

X=Zahl der richtig erkannten Pilze

Ablehnungsbereich

\overline{A}=[51;100]
Wir lehnen die Hypothese ab, wenn Jonas mehr als 50 Pilze (Erwartungswert) richtig erkennt, da wir dann vermuten, dass er nicht rät.
 \alpha =P_{p=0,5}(X \geq 51)=1-P_{p=0,5}(X \leq 50)=46,02% (P_{p=0,5} können wir für uns als Hilfe schreiben, ist aber nicht notwendig, aber okay am Anfang)

Annahmebereich

A=[0;50]=\{X|0 \leq X \leq 50\wedge X\epsilon \mathbb{N} \}=\{0,1,2,3...50\}
Wir nehmen die Hypothese an, wenn Jonas 50 oder weniger Pilze richtig erkennt, obwohl die Hypothese falsch ist, er also nicht rät.
\beta =P_{p=0,7}(X \leq 50)=0%

Da die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art sehr groß ist und eigentlich kleiner als 10% sein sollte, testen wir weitere Ablehnungs-und Annahmebereiche:

Ablehnungsbereich

\overline{A}=[55;100]
\alpha=P(X\geq55)=1-P(X\leq54)=18,41%

Annahmebereich

A=[0;54]
\beta=P_{p=0,7}(X\leq54)=0,05%

Wir sehen, dass die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art immerhin kleiner geworden ist.

\overline{A}=[60;100]
\alpha=P(X\geq60)=1-P(X\leq59)=2,84%

A=[0;59]
\beta=P(X\leq59)=1,25%

Hier ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art schon kleiner als 10%.
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Signifikanzniveau

Um ohne probieren heraus zu finden, wann die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens 10% ist, legen wir ein Signifikanzniveau fest (sozusagen eine Obergrenze).
\alpha\leq10%

\overline{A}=[a;100]
A=[0;a-1]


\begin{align}

P_{p=0,5}(X \geq a)=1-P(X \leq a-1)  & \leq 0,1\\


 0,9  & \leq P(X \leq a-1)\\

0,9033 & =P(X \leq 56)\\

0,8644 & =P(X \leq 55)\\
\end{align}

=>a-1=56=>a=57
Es wird empfohlen zwei Werte jeweils aus der Tabelle heraus zu suchen. Einmal etwas mehr als 0,9 (also 0,9033) und einmal weniger als 0,9 (also 0,8644).

Wir können jetzt den Ablehnungs-und Annahmebereich aufstellen

\overline{A}=[57;100]
A=[0;56]

Probe:

\alpha=P_{p=0,5}(X\geq57)=1-P(X\leq56)=1-0,9033=9,67%
\beta=P_{p=0,7}(X\leq56)=0,21%
\rightarrow Der Fehler 1. Art ist unter 10%.

Jetzt legen wir ein anderes Signifikanzniveau fest:
(Der Rechenweg ist der gleiche)

\alpha\leq5%


\begin{align}
P_{p=0,5}(X \geq a)=1-P(X \leq a-1)  & \leq 0,05\\


 0,95  & \leq P(X \leq a-1)\\

0,9557 & =P(X \leq 58)\\

0,9344 & =P(X \leq 57)\\
\end{align}

=>a-1=58=>a=59

\overline{A}=[59;100]
A=[0;58]

Probe:

\alpha=P_{p=0,5}(X\geq59)=1-P(X\leq58)=1-0,9557=4,43%
\beta=P_{p=0,7}(X\leq58)=0,72%
\rightarrow Der Fehler 1. Art ist unter 5%.

Übersicht über alle Ergebnisse:

Ablehnung ab \alpha \beta
51 46,02% 0%
55 18,41% 0,05%
57 9,67% 0,21%
59 4,43% 0,72%
60 2,84% 1,25%

Je später wir ablehnen, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, also, dass wir die wahre Hypothese irrtümlich ablehnen.
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Besprechung wichtiger Hausaufgaben

S.348

13c.)
Gesucht ist die kleinste Anzahl der Tipps, die Frau Meyer abgeben muss, damit sie mit mindestens 90% mindestens einen Gewinn erzielt.

p=0,0186

Ansatz

\begin{align}
P(X\geq1) & \geq0,9\\

1-P(X=0) & \geq0,9\\

P(X=0) & \leq0,1\\

\binom{n}{0}\cdot 0,0184^0\cdot (1-0,0184)^n & \leq0,1\\


0,9814^n & \leq0,1\qquad|log()\\
n\cdot log(0,9814) & \leq log(0,1)\\

n & \geq122,64\\

n_0 & =123\\
\end{align}

14c.)
Hier sollen wir die Funktion W(p) zeichnen, die beim Infektionsrisiko  p mit 0\leq p \leq 0,25 die Wahrscheinlichkeit angibt, dass sich der Hund infiziert.
Wir können die Funktion aufstellen:

P(X\geq1)= 1-P(X=0) ( dass sich der Hund infiziert, muss er sich mindestens eine Zecke einfangen, deswegen P(X\geq1))

Wir können P(X=0) ersetzen und für n=10 einsetzen


P(X\geq1)= 1-(1-p)^{10} (man kann(1-p)schreiben, da \binom{n}{0}\cdot p^0\cdot(1-p)^n= (1-p)^n)

Graph W(p)

S.350

7d.)
Die Frage lautet: Wie viele Fahrgäste müssen mindestens befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens zwei davon unzufrieden sind?

X= Zahl der Unzufriedenen
p=0,05

Ansatz

P(X\geq2)\geq0,9

1-(P(X=0)+P(X=1))\geq0,9

0,1\geq0,95^n+n\cdot0,05\cdot 0,95^{n-1}
Hier haben wir dann den Taschenrechner zur Hilfe genommen, um einen Wert für n heraus zu bekommen.
n\geq76,34
n_0=77
Man kann den Graphen auch mit MatheGrafix zeichnen

Graph
Man erkennt, dass sich die beiden Graphen ungefähr bei x=76 schneiden. Für n0 kommt dann ein Wert in Frage, der größer als 76 ist. Anhand des Graphen kann man dies auch erkennen, da die Funktionswerte der blauen Funktion ab ca.x=77 kleiner als die der roten Funktion sind (also y=0,1)

S.362

1a.)
Bei dieser Aufgabe rechnen wir wie bei dem Beispiel mit den Pilzen mit einem gegebenen Signifikanzniveau
Rechtsseitiger Test:

p_0=0,5\qquad n=50\qquad \alpha=5%

\overline{A}=[a;50]
A=[0;a-1]

\begin{align}
P(X\geq a) & \leq 0,05\\
1-P(X\leq a-1) & \leq 0,05\\
P(X\leq a-1) & \geq 0,95\\
P(X\leq31) & = 0,9675\\ 
\end{align}
=>a-1=31=> a=32

\overline{A}=[32;50]
A=[0;31]

Irrtumswahrscheinlichkeit ausrechnen

\begin{align}
\alpha= P(X\geq 32) & =1-P(X\leq31)\\
& =1-0,9675=3,25%\\
\end{align}
S.363

9.)
Hypothese: "Ein-Euro-Münzen zeigen beim Münzwurf bevorzugt das Ergebnis Kopf"
\alpha=0,05\qquad n=25\qquad p=0,5\qquad \mu=12,5
Rechtsseitiger Test
H_0:p=0,5
H_1:p=0,7
Ablehnungsbereich: \overline{A}=[a;25]
Annahmebereich: A=[0;a-1]


\begin{align}
P(X\geq a) & \leq 0,05\\
1-P(X\leq a-1) & \leq 0,05\\
0,95 & \leq P(X\leq a-1)\\
0,9784 & = P(X\leq 17)\\
a & =18\\
\end{align}
\overline{A}=[18;25]
A=[0;17]
Als Hauaufgabe haben wir dann 25 mal eine Ein-Euro-Münze geworfen (die Stichprobe)

Protokoll vom 25.05.2016 Besprechung wichtiger Hausaufgaben, links- und rechtsseitiger Test

Protokoll von ----Deeka98OB 15:41, 26. Mai 2016 (CEST)----Deeka98OB 15:41, 26. Mai 2016 (CEST) (Schuljahr 2015 / 2016)
Lehrer C.-J. Schmitt (3 Unterrichtsstunden)
verbessert von --Deeka98OB 18:42, 2. Jun. 2016 (CEST)

Am Anfang des Unterrichts haben wir die vierte HÜ geschriebenEuropa-Schule_Obermayr/2015-2017_LK_M_11.2/Hausaufgabenüberprüfungen,_Musterklausuren_und_Leistungsnachweise_11.2. Daraufhin wurden die letzten drei Blätter des Skripts über das Testen von Hypothesen ausgeteilt.


Besprechung wichtiger Hausaufgaben

S.351

Aufgabe:5

a.)

Frage: Wie oft muss man mindestens würfeln, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% eine sechs erzielt wird.

X = Zahl der Sechsen
p= \frac{1}{6}

P(X \geq 1) \geq  0,99
1-P(X=0) \geq 0,99 | +P(X=0)
1 \leq 0,99+P(X=0) | -0,99
0,01 \geq P(X=0)
0,01 \geq  (\frac{5}{6} )^{n} | log()
log(0,01) \geq n \cdot log(\frac{5}{6}) |  : log( \frac{5}{6} )
25,25 \leq n

< A: Man muss mindestens 26 mal würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% eine sechs zu erzielen.

Aufgabe:6
a.)
Frage: Welche Werte kann p annehmen, wenn p so groß ist, dass es mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens einen Treffer gibt.
n=5
r=1

P(X \geq 1) \geq  0,75
1-P(X=0) \geq 0,75 | +P(X=0)
1 \leq 0,75+P(X=0) |-0,75
0,25 \geq P(X=0)
0,25 \geq  (1-p)^5 | \sqrt[5]{()}
0,76 \geq 1-p |+ p
0,76+p \leq 1 |- 0,76
p \geq 0,24

Aufgabe: 7

e.)

Frage: Wie groß ist der Anteil der zufriedenen Gäste, wenn die Wahrscheinlichkeit, höchstens einen unzufriedenen Fahrgast unter 100 Fahrgästen zu finden, auf 5 % gestiegen ist ?
Ansatz
X = Zahl der unzufriedenen Fahrgäste

p = Anteil der zufriedenen Fahrgäste in Prozent

\begin{align}
P(X \leq 1) & = 0,05\\

P(X=0)+P(X=1)& = 0,05\\

(1-p)^{100}+100p \cdot (1-p)^{99}& =0,05\\

p & = 0,047\\

\end{align}
Die Gleichung kann nur mit dem WTR gelöst werden.
(1-p)^{100} bedeutet, dass es 100 zufriedene Fahrgäste gibt, was heißt, dass es keine unzufriedene Fahrgäste gibt.
Außerdem bedeutet 100 \cdot p, dass es für den einen unzufriedenen Fahrgast 100 Möglichkeiten gibt.

Protokoll31.jpg

Aufgabe: 10
a.)
Bei der D soll man die Wahrscheinlichkeit, dass nur die letzten drei entnommenen Sicherungen defekt sind, bestimmen.
Hier braucht man keine Bernoulli-Kette, da man hier entlang eines Pfades eines Baumdiagrammes die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis errechnet.

Mathe


(0,95)^{47}\cdot  (0,05)^{3}=0,0012%
b.)
Die erste Frage lautet, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, wenn die erste Sendung angenommen wird.
Damit die Sendung angenommen wird, müssen die zwei entnommenen Sicherungen der Sendung einwandfrei sein, das heißt sie müssen gut sein.
Wir müssen also die Wahrscheinlichkeit von zwei guten Sicherungen berechnen.
P(2Gute)=(0,95)^{2} = 0,9025=90,25%
A: Eine Sendung wird mit der Trefferwahrscheinlichkeit 90,25% angenommen.

Die zweite Frage lautet, mit welcher Wahrscheinlichkeit mindesten zehn Sendungen angenommen werden.

Y = Zahl der angenommenen Sendungen, da X = Zahl der einwandfreien Sicherungen ist.
Die Länge der Bernoulli-Kette ist n=12.


\begin{align}
P(Y \geq 10) & = 1-P(Y \leq 9)\\

& = 1- 0,1046\\
& = 0,8954\\
& = 89,54%\\

\end{align}
A: Es werden mindestens zehn Sendungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 89,54% angenommen.


Beispielaufgaben

S.362
Aufgabe:2
a.)
Es handelt sich hier um einen rechtseitigen Test.
H_{0}:p= \frac{2}{3}

H_{1} : p >  \frac{2}{3}

\alpha = 0,05
n=25
k=20, k ist das Stichprobenergebnis.

A= [0; a-1]
\overline{A}=[a;25]

Wenn sich k, also das Stichprobenergebnis, im Annahmebereich befindet, wird die Hypothese angenommen. Wenn sich k im Ablehnungsbereich befindet, lehnen wir die Hypothese ab.
Um die Hypothese ablehnen bzw. annehmen zu können, müssen wir a berechnen, damit wir den Ablehnungs- bzw. Annahmebereich haben.

P(X \geq a) \leq 0,05
1-P(X \leq a-1) \leq 0,05 |+P(X \leq a-1)-0,05
0,95 \leq P(X \leq a-1)

Nun müssen wir in unserer Tabelle für die Binomialsummenfunktion nachgucken, wann P(X \leq a-1) größer ist als 0,95.
\begin{align}
80,8% & = P(X=19)\\

95,38% & = P(X=20)\\
\end{align}
Bei a-1=20 ist die Wahrscheinlichkeit größer als 0,95.
a-1=20
a=21
A= [0; 20]
\overline{A}=[21;25]

A: Somit wird die Hypothese angenommen, weil das Stichprobenergebnis 20 im Annahmebereich ist.



S.362
Aufgabe:6
a.)
Es handelt sich hier um einen rechtseitigen Test.
H_{0}:p= 0,75

H_{1} : p >  0,75

\alpha = 0,05
n=100

A= [0; a-1]
\overline{A}=[a;100]

P(X \geq a) \leq 0,05
1-P(X \leq a-1) \leq 0,05 | +P(X \leq a-1)-0,05
0,95 \leq P(X \leq a-1)

Nun müssen wir wieder in unserer Tabelle nachgucken, wann P(X \leq a-1) größer ist als 0,95.
\begin{align}
0,9624 & P(X=82)\\

a-1 & =82\\

a& =83\\
\end{align}

A= [0; 82]
\overline{A}=[83;100]

A: Der Bürgermeister wird die Hypothese ab 83 ablehnen(obwohl er weiß, dass p=0,75 mit 5% richtig sein kann). Das heißt die Stadtverwaltung sieht sich bestätigt, wenn mindestens 83 Leute zustimmen.
b.)
Es handelt sich hier um einen linksseitigen Test.
H_{0}:p= 0,75

H_{1} : p <  0,75


\alpha = 0,05
n=100

A= [a;100]
\overline{A}=[0;a-1]

\begin{align}
P(X \leq a-1) & \leq 0,05\\

a-1 & = 67\\

a& = 68\\
\end{align}
A= [68;100]
\overline{A}=[0;67]

A: Die Bürgerinitiative sieht sich bestätigt, wenn höchsten 67 Leute zustimmen.
c.)
Bei einem Annahmebereich von A=[68;82] kann weder die Stadtverwaltung noch die Bürgerinitiative die Nullhypothese verwerfen.


Aufgabe:: In einer Straße fahren 30% der Autofahrer zu schnell. Ein Rentner liegt auf der Lauer und behauptet mindestens 50% der Autofahrer fahren zu schnell.
Es handelt sich hier um einen linksseitigen Test.
H_{0}:p= 0,5

H_{1} : p =0,3


\alpha = 0,01
n=100

A= [a;100]
\overline{A}=[0;a-1]

\begin{align}
P(X \leq a-1) & \leq 0,05\\
P(X=37) & = 0,0060\\

P(X=38) & = 0,0105\\

a-1& = 37\\
a& = 38\\

\end{align}
A= [38;100]
\overline{A}=[0;37]

Der Opa hat Recht, dass 50% zu schnell sind. Die Oma zählt jedoch 40 Raser. 40 befindet sich im Annahmebereich., das heißt die Hypothese kann angenommen werden.


WTR-Hilfe

Mit unserem Taschenrechner können wir auch Binomialsummenfunktionen ausrechnen.

1.) Man muss zuerst auf die Taste "Mode" drücken.

2.) Dann muss man die Taste "4" drücken.

3.) Daraufhin muss man die Taste "Replay" mit dem Pfeil nach unten drücken.

WTR22.jpg

4.) Danach muss man die Taste "1" betätigen.

5.) Zum Schluss muss man die Taste "2" drücken.
Schließlich kann man für X, n und p die bestimmten Werte einsetzen.





Beispiel:
F_{100;0,5}(61)
Für X setzt man 61 ein.
Für n setzt man 100 und für p 0,5 ein. Als Ergebnis kommt dann 0,9895 raus.

"Liste"- Funktion des WTR (von Titus)

Wir können unseren Taschenrechner zusätzlich nutzen um die Binomialverteilung in Listenform zu sehen.

Zuerst müssen die Schritte 1 bis 4 der vorherigen Hilfe durchgeführt werde. Anstatt nun 2 zu drücken betätigen wir die 1 ("List")

Nun können sie in der Spalte X ihre eigenen Werte einstellen, welche sie wissen möchten. Zum Beispiel 1, 2, und 3 aber auch 25 falls dies ein Wert ist, welcher sie interessiert.

Nachdem sie ihre gewünschten Werte eingegeben haben drücken sie die =-Taste und haben nun die Möglichkeit den n- und p-Wert einzugeben. Wenn sie damit fertig sind sehen sie nun in der Spalte "Ans" die addierten Wahrscheinlichkeiten bis zu ihrem Wert X .