B1

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.Aufgabe bearbeitet von (--L.Wagner (Diskussion) 20:30, 26. Nov. 2016 (CET)Laurent99OB)

Aus den Dreipunkten können wir nun unsere Ebenengleichung des Sonnensegels aufstellen.

P_1(\left( \begin{array}{c}5\\0\\7\end{array} \right);P_2\left( \begin{array}{c}5\\6\\1\end{array} \right);P_3\left( \begin{array}{c}-1\\6\\7\end{array} \right)

Dabei ist P1 unser Stützvektor und die jeweiligen Richtungsvektoren erhalten wir durch die Vektoren \vec{P_1P_2}und \vec{P_1P_3}

Somit ist unsere Ebenengleichung:

E:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}5\\0\\7\end{array} \right)+s\left( \begin{array}{c}0\\6\\-6\end{array} \right)+r\left( \begin{array}{c}-6\\6\\0\end{array} \right)

Aufgabe1


Nun sollen wir die jeweilige Normalengleichung dieser Ebene aufstellen.

Dafür benötigen wir erstmal unseren Normalenvektor. Dafür setzen wir die Voraussetzung \vec{n} \measuredangle \vec{u} und \vec{n} \measuredangle \vec{u}

Dafür gilt dann:

\vec{n} \cdot \vec{u}=0

\vec{n} \cdot \vec{v}=0

Aufgabe1

So erhalten wir unseren Normalenvektor:

\vec{n}=\left( \begin{array}{c}n_1\\n_2\\n_3\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}n_3\\n_3\\n_3\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}1\\1\\1\end{array} \right)

Jetzt die jeweiligen Vektoren in die Normalengleichung einsetzen.

E:\left[\vec{x}-\vec{p}\right] \cdot \vec{n}=0

\left[\vec{x}-\left( \begin{array}{c}5\\0\\7\end{array} \right)\right] \cdot \left( \begin{array}{c}1\\1\\1\end{array} \right)=0

Somit haben wir unsere Normalengleichung für die Ebene

.Aufgabe bearbeitet von --Ben99OB (Diskussion) 17:38, 1. Nov. 2016 (CET)

gegeben sind die Punkte:

A(5|0|7),B(5|6|1),C(-1|6|7)

Es soll gezegt werden, dass diese drei Punkte ein gleichseitiges Dreieck bilden.

Zu zeigen ist also:

\left| \overrightarrow { AB }  \right| =\left| \overrightarrow { BC }  \right| =\left| \overrightarrow { CA }  \right|

Den Betrag eines Vektors erhält man durch die Wurzel der Summe der Quadrate der einzelnen Komponenten:
Betrag von  \left( \begin{array}{c} { a }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } \end{array} \right) =\sqrt { { ({ a }_{ 1 }) }^{ 2 }+{ { (a }_{ 2 } })^{ 2 }+{ { (a }_{ 3 } })^{ 2 } } 

Zunächst müssen wir also alle Vektoren definieren und anschließend ihre Beträge vergleichen:

\overrightarrow { AB } =\vec { b } -\vec { a } = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 1 \end{array} \right)-\left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 7 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ -6 \end{array} \right)

\left| \overrightarrow { AB }  \right| =\sqrt { { 0 }^{ 2 }+{ 6 }^{ 2 }+{ \left( -6 \right)  }^{ 2 } } =6\sqrt { 2 }


\overrightarrow { BC } =\vec { c } -\vec { b } = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 6 \\ 7 \end{array} \right)-\left( \begin{array}{c} 5 \\ 6 \\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -6 \\ 0 \\ 6 \end{array} \right)

\left| \overrightarrow { BC }  \right| =\sqrt { { \left(-6\right) }^{ 2 }+{ 0 }^{ 2 }+{  6   }^{ 2 } } =6\sqrt { 2 }


\overrightarrow { CA } =\vec { a } -\vec { c } = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 7 \end{array} \right)-\left( \begin{array}{c} -1 \\ 6 \\ 7 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 6 \\ -6 \\ 0 \end{array} \right)

\left| \overrightarrow { CA }  \right| =\sqrt { { 6 }^{ 2 }+{ \left(-6\right) }^{ 2 }+{  0   }^{ 2 } } =6\sqrt { 2 }


A: Da man nun erkennt, dass alle Beträge der Vektoren gleich sind lässt sich sagen, dass es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt.

.Aufgabe bearbeitet von --Alex99OB (Diskussion) 18:12, 12. Jan. 2017 (CET)

Der Strahl, welcher den Gegenstand beleuchten würde, muss das Sonnensegel schneiden damit der Gegenstand im Schatten liegt. Dafür muss man eine Hilfsgrade bilden welche die Ebene und den Punkt orthogonal verbindet, Dabei muss der Durchstoßungspunkt der Graden im X1- Bereich zwischen -1 und 5 liegen, X2-Bereich zwischen 0 und 6 und im X3-Bereich zwischen 1 und 7, da die Ebene nicht nur das Sonnensegel beinhaltet.

x_{1}+x_{2}+x_{3}=12

\vec{n}=\left( \begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)

P\left ( -4/0/0 \right )

Aus diesem Punkt und dem Normalenvektor, der gleichzeitig die Sonnenstrahlen symbolisiert, muss eine Hilfsgrade gebildet werden damit man den Punkt auf der Ebene bestimmen kann.

h:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}-4\\0\\0\end{array}\right)+\lambda\left( \begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)

Jetzt wird die Gradengleichung in die Ebenengleichung eingesetzt.

\left ( -4+\lambda  \right )+\lambda +\lambda =12

3\lambda =16

\lambda =\frac{16}{3}

Diesen Wert für Lambda muss man in die Gradengleichung einsetzt um den Punkt auf der Ebene zu bestimmen.

\vec{f}=\left( \begin{array}{c}-4\\0\\0\end{array}\right)+\frac{16}{3}\left( \begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)


\vec{f}=\left( \begin{array}{c}\frac{4}{3}\\\frac{16}{3}\\\frac{16}{3}\end{array}\right)

Da alle X-Werte im angegebenem Bereich liegen,wird der Sonnenstrahl, welcher den Punkt Q treffen würde, vom Sonnensegel aufgefangen, wodurch der Punkt Q im Schatten vom Sonnensegel liegt.

.Aufgabe bearbeitet von (Laurent99OB)

Der Softball fällt senkrecht auf die Ebene E und trifft auf den Punkt R(4|2|6). Der Ball rollt nun die Ebene runter. Nun müssen wir erstmals die Gerade bestimmen vom Weg des Balles. Der Lehrer von Moritz gibt uns dabei den Hinweis, dass die Gerade g die Schnittgerade von der Ebene E und F ist. Dabei liegt die Ebene F senkrecht auf die xy-Ebene und enthält den Normalenvektor von E als Richtungsvektor. Somit muss die Ebene noch dazu den Normalenvektor der xy-Ebene als Richtungsvektor enthalten.

Als erstes bestimmen wir die Ebene F. Dabei gehen wir davon aus, dass der R unser Stützvektor ist. Da wir den Normalenvektor der Ebene E schon in der Aufgabe 1 berechnet haben, benötigen wir nur noch den Normalenvektor von der xy-Ebene.

\vec{n}=\left( \begin{array}{c}n_1\\n_2\\n_3\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}0\\0\\1\end{array} \right)

Nun können wir unsere Ebene F bestimmen. Sie lautet somit:

F:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}4\\6\\2\end{array} \right)+a\left( \begin{array}{c}0\\0\\1\end{array} \right)+b\left( \begin{array}{c}1\\1\\1\end{array} \right)


Da wir wissen, dass sich die Ebenen E und F schneiden, können wir F in die Koordinatenform von E einsetzen.


E:\left[ \vec{x}-\left( \begin{array}{c}5\\0\\7\end{array} \right)\right]\left( \begin{array}{c}1\\1\\1\end{array} \right)

x_1+x_2+x_3-5-7=0

E:x_1+x_2+x_3=12


4+b+2+b+6+a+b=12

12+3b+a=12

3b=-a

b=-\frac{1}{3}a

g:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}4\\2\\6\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}0\\0\\1\end{array} \right)a+\left( \begin{array}{c}1\\1\\1\end{array} \right)\cdot (-\frac{1}{3}a)

g:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}4\\2\\6\end{array} \right)+a\left( \begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\end{array} \right)


Nun sollen wir den Punkt finden, wo der Ball von der Ebene E runterrollt. Also sozusagen den Schnittpunkt zwischen der Gerade g und einer der Seiten von der Ebenen E.

Als erstes die jeweiligen Geradengleichungen der Seiten der Ebene E aufstellen.

h_1:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}5\\0\\7\end{array} \right)+r\left( \begin{array}{c}0\\6\\-6\end{array} \right)

h_2:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}5\\6\\1\end{array} \right)+r\left( \begin{array}{c}-6\\0\\6\end{array} \right)

h_3:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}5\\0\\7\end{array} \right)+r\left( \begin{array}{c}-6\\6\\0\end{array} \right)

Nun die Gleichungen mit der Gerade g gleichstellen. Wenn für r die gleiche Zahl herauskommt dann schneiden sie sich. (Die Gerade h3 können wir außer Acht lassen, da ein Ball nicht hochrollen kann.

h_1=g

\left( \begin{array}{c}5\\0\\7\end{array} \right)+r\left( \begin{array}{c}0\\6\\-6\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}4\\2\\6\end{array} \right)+a\left( \begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\end{array} \right)

r\left( \begin{array}{c}0\\6\\-6\end{array} \right)-a\left( \begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}-1\\2\\-1\end{array} \right)

Aufgabe4

\vec{s}:\left( \begin{array}{c}5\\0\\7\end{array} \right)+0,5 \cdot \left( \begin{array}{c}0\\6\\-6\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}5\\3\\4\end{array} \right)


Der Schnittpunkt beträgt also S(5|3|4) un das ist der Punkt, wo der Softball runterrollt. Graphisch sieht dies so aus