B2

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.Aufgabe bearbeitet von --Karo99OB (Diskussion) 15:48, 18. Okt. 2016 (CEST)(Unterschrift)

Um die Menge der gemeinsamen Punkte der Geraden E_1 und E_2 zu bestimmen, stellen wir ein Gleichungssystem auf:


Lineares Gleichungssystem























\mathbb{L} = \big\{(1-2r;1-3r;r)\big\}


x_1=1-2r

x_2=1-3r

x_3=r


\left( \begin{array}{c}1-2r\\1-3r\\r\end{array}\right) =>


g:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right) + \lambda \left( \begin{array}{c}-2\\-3\\1\end{array} \right)


Ebenen

.Aufgabe

.Aufgabe bearbeitet von --Karo99OB (Diskussion) 17:44, 31. Jan. 2017 (CET)

A=\begin{pmatrix}
 1& 0 & 2\\
 0 & 1 & 3\\
 0 & 0 & 0
 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
 1& 0 & 2\\
 0 & 1 & 3\\
 0 & 0 & 0
 \end{pmatrix} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) =  \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)

\begin{align}

x_1 + 2 x_3 & = x_1 \\

x_3 &=0 \\

\end{align}


E: x_3=0


B=\begin{pmatrix}
 1& 0 & 2\\
 0 & 1 & 3\\
 0 & 0 & 1
 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix}
 1& 0 & 2\\
 0 & 1 & 3\\
 0 & 0 & 1
 \end{pmatrix} \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) =  \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right)

x_3=0

.Aufgabe bearbeitet von --Karo99OB (Diskussion) 17:45, 31. Jan. 2017 (CET)

A \cdot \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)


\overrightarrow{x}=\left( \begin{array}{c} -2r \\ -3r \\ r \end{array} \right)


g: \overrightarrow{x}=\lambda \left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \\ 1 \end{array} \right)

Ursprungsgerade


Probe

A=\begin{pmatrix}
 1& 0 & 2\\
 0 & 1 & 3\\
 0 & 0 & 0
 \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ -3 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)

Geometrisch ist diese Gerade parallel zu der Schnittgeraden aus Aufgabe 1, jedoch versetzt.

.Aufgabe bearbeitet von --Karo99OB (Diskussion) 17:45, 31. Jan. 2017 (CET)

2.3

A ist eine Projektionsmatrix, wodurch nicht jeder projezierte Punkt einen eindeutigen Ursprung besitzt. Dies wird dadurch gezeigt, dass die Spaltenvektoren linear abhängig sind:


2 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + 3 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \end{array} \right)


 0 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right) + 0 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)

.Aufgabe

.Aufgabe bearbeitet von --Tws98OB (Diskussion) 15:45, 5. Feb. 2017 (CET)

A=\begin{pmatrix}
 1& 0 & 2\\
 0 & 1 & 3\\
 0 & 0 & 0
 \end{pmatrix}

Zu untersuchen ist ob A eine Projektionsmatrix ist. Ist dies der Fall, muss gelten: A^2=A

\begin{pmatrix}
 1& 0 & 2\\
 0 & 1 & 3\\
 0 & 0 & 0
 \end{pmatrix} \cdot 
\begin{pmatrix}
 1& 0 & 2\\
 0 & 1 & 3\\
 0 & 0 & 0
 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
 1& 0 & 2\\
 0 & 1 & 3\\
 0 & 0 & 0
 \end{pmatrix}

=> die Matrix A ist eine Projektion.

Ergebnis (2.1): alle Bildpunkte liegen auf der Grundebene. Alle Punkte im R^3 werden auf die xy-Ebene projiziert.

Ergebnis (2.2): Alle Punkte der Geraden g werden auf den Ursprung projiziert.


.Aufgabe bearbeitet von --Tws98OB (Diskussion) 15:45, 5. Feb. 2017 (CET)

Vor.

C^2=C (für Projektion gibt es keine Inverse.

 C \cdot C^{-1}=E


Beh.

C=E


Bew.

C=C\cdot E = C \cdot C \cdot C^{-1} = C \cdot C^{-1}=E

q.e.d.

Geometrische Deutung:

\overrightarrow{p} ->^{C} \overrightarrow{p}' ->^{C^{-1}}\overrightarrow{p}

\overrightarrow{p}->^C ->\overrightarrow{p}' ->^C \overrightarrow{p}' ->^{C^{-1}} \overrightarrow{p}'

Dies kann nur der Fall sein wenn C=E.