B5

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. Aufgabe bearbeitet von --Tws98OB (Diskussion) 18:51, 3. Dez. 2016 (CET)

Für die Hangebene sind die Punkte:

A( 8 | 0 | -2 )

B( 8 | 8 | -2 )

C( 0 | 8 | 0 )

D( 0 | 0 | 0 )

gegeben.

Damit können wir entweder mithilfe eines Gleichungssystems direkt die Koordinatenform herausfinden oder die Parameter- und Normalform nutzen.


Hier der Weg mithilfe der Parameterform:


E:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}0\\0\\0\end{array} \right) + r \cdot \left( \begin{array}{c}8\\0\\-2\end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c}8\\8\\-2\end{array} \right)

Die beiden Spannvektoren wurden mithilfe der gegeben Punkte herausgefunden.

Nun kann man durch das Vektorprodukt den Normalvektor ermitteln, welcher zu beiden Spannvektoren orthogonal ist.


\left( \begin{array}{c}8\\0\\-2\end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c}8\\8\\-2\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}0 - (-16)\\-16 - (-16)\\64 - 0\end{array} \right) =\left( \begin{array}{c}16\\0\\64\end{array} \right)


Somit ist der Normalvektor:


\vec{n}=\left( \begin{array}{c}1\\0\\4\end{array} \right)


und die Normalform:


E:\left[\vec{x} \right] \cdot \left( \begin{array}{c}1\\0\\4\end{array} \right)=0


Somit lautet die gesuchte Koorinatenform:


E:x_1 + 4x_3 = 0


Den Winkel zwischen dem Vektor \vec{v} und der Hangebene ermitteln wir mithilfe der Formel:


\begin{align}

sin(\alpha) &= \frac{\vec{n} \cdot \vec{u}}{|\vec{n}|\cdot|\vec{u}|} \\

&= \frac{-1-3 \cdot 4}{\sqrt{1+3^2+3^2}\cdot \sqrt{1+4^2}} \\

sin(\alpha) &= -0,72 \\

\alpha &= 46,33 \\


\end{align}


. Aufgabe bearbeitet von --Tws98OB (Diskussion) 18:51, 3. Dez. 2016 (CET)

Parameterform der Dachfläche HEKI:


E:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}0\\0\\4\end{array} \right) + r \cdot \left( \begin{array}{c}8\\0\\0\end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c}8\\4\\4\end{array} \right)


Und somit die Normalform:

E:\left[\vec{x}-\left( \begin{array}{c}0\\0\\4\end{array} \right) \right] \cdot \left( \begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array} \right)=0


Um den kürzesten Punkt auf der Ebene von der Spitze des Mastes herauszufinden bilden wir zuerst eine Gerade mit dem Normalvektor der Ebene und nehmen als Stützvektor die Mastenspitze.


h:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}4\\-8\\25\end{array}\right) + \lambda \left( \begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array} \right)


Nun setzt man dies in die Normalform ein:


E:\left[\left( \begin{array}{c}4\\-8\\25\end{array}\right) + \lambda \left( \begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array} \right)-\left( \begin{array}{c}0\\0\\4\end{array} \right) \right] \cdot \left( \begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array} \right)=0

Löst man dies auf kommt raus:

\lambda = -14,5

Setzt man dies in die Gerade ein so bekommen wir den Schattenpunkt P auf der Dachebene:

P( 4 | 6,5 | 10,5 )

Bei näherem Überlegen fällt einem auf, dass dieser Punkt zwar auf der Dachebene liegt, jedoch nicht auf der durch die vier Punkte Eingeschränkte Dachfläche.

Um nun den Punkt herauszufinden, welcher auf dem Dach liegt und am nächsten am Schattenpunkt liegt, konstruieren wir eine Gerade, welche die Dachseite IK darstellt, und finden den Puntk auf dieser, welcher dem Schattenpunkt P am nächsten ist.

Die Gerade IK:

i:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}8\\4\\8\end{array}\right) + r \left( \begin{array}{c}-8\\0\\0\end{array} \right)

Den Punkt F finden wir durch Konstruieren einer Ebene, welche durch den Punkt P läuft und den Richtungsvektor der Geraden als Normalvektor besitzt.


E:\left[\vec{x}-\left( \begin{array}{c}4\\6,5\\8,5\end{array} \right) \right] \cdot \left( \begin{array}{c}-8\\0\\0\end{array} \right)=0


Nun setzen wir ein:


E:\left[\left( \begin{array}{c}8\\4\\8\end{array}\right) + r \left( \begin{array}{c}-8\\0\\0\end{array} \right)-\left( \begin{array}{c}4\\6,5\\8,5\end{array} \right) \right] \cdot \left( \begin{array}{c}-8\\0\\0\end{array} \right)=0

Damit wissen wir, dass r=\frac{1}{2}

Durch einsetzen wissen wir nun den Punkt F, welcher dem Schattenpunkt am Nächsten ist aber immer noch auf der Dachfläche liegt.

F( 4 | 4 | 8 )


. Aufgabe bearbeitet von --Tws98OB (Diskussion) 18:51, 3. Dez. 2016 (CET)

. Aufgabe

S( 4 | -8 | 25 )


\vec{v}=\left( \begin{array}{c}1\\1\\11\end{array} \right)


Somit ist die Gerade, welche den Weg des Lichtes von der Spitze des Mastes darstellt:


g:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}4\\-8\\25\end{array}\right) + \lambda \left( \begin{array}{c}-1\\3\\-3\end{array} \right)


E_{Hang}:x_1+4x_3=0


\begin{align}

 (4- \lambda ) + 4(25 - 3 \lambda) &= 0 \\

-13 \lambda & = -104 \\

\lambda &= 8 \\

\end{align}


S'( -4 | 16 | 1 )


. Aufgabe

S'( -4 | 16 | 1 )

C( 0 | 8 | 0 )


\vec{CS'}=\left( \begin{array}{c}-4\\8\\1\end{array}\right)


 |\vec{CS'}| = 9


Um den Punkt zu finden, welcher am nähesten an der Hauswand ist, müssen wir wie bei den Aufgaben zuvor eine orthogonale Hilfsgerade konstruieren und dann deren Schnittpunkt mit der Hausebene berechnen.

. Aufgabe. Bearbeitung von --Kat99OB (Diskussion) 20:58, 22. Jan. 2017 (CET)

Mastspitze S (4|-8|25)

M \cdot\left( \begin{array}{c}4\\-8\\25\end{array} \right)

= \frac{1}{13} \begin{pmatrix}
{12} & {0} & {-4}\\
{3} & {13} & {12}\\
{-3} & {0} & {1}
\end{pmatrix} \left( \begin{array}{c}4\\-8\\25\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}-4\\16\\1\end{array} \right)

B(8|8|-2)

M \cdot\left( \begin{array}{c}8\\8\\-2\end{array} \right)
= \frac{1}{13} \begin{pmatrix}
{12} & {0} & {-4}\\
{3} & {13} & {12}\\
{-3} & {0} & {1}
\end{pmatrix} \left( \begin{array}{c}8\\8\\-2\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}8\\8\\-2\end{array} \right) (Fixpunkt)

Bildpunkte

\frac{1}{13} \begin{pmatrix}
{12} & {0} & {-4}\\
{3} & {13} & {12}\\
{-3} & {0} & {1}
\end{pmatrix} \left( \begin{array}{c}a\\b\\c\end{array} \right)
= \frac{1}{13}\left( \begin{array}{c}12a-4c\\3a+13b+12c\\-3a+c\end{array} \right) =\vec{p}'

H:x_1+4x_3=0
Um zu zeigen, dass alle Punkte des Raumes auf die Hangebene abgebildet werden, setzen wir die einzelnen Komponenten des Bildpunktes in die Ebene ein

\frac{1}{13}(12a-4c+4(-3a+c))=\frac{1}{13}(0)=0
-> P'\in E


--Addie98OB (Diskussion) 19:08, 23. Jan. 2017 (CET)

Die Eigenschaft M^2 = M \cdot M bedeutet, dass zweimal hintereinander eine Projektion ausgeführt wird.

Ein Punkt P wird durch die Matrix also erst auf einen Schattenpunkt P' abgebildet und dieser nochmal auf seinen Schattenpunkt P.

Durch diese Überlegung wird klar, dass M^2 = M gelten muss, da die Projektion ('Schattenabbildung') eines Schattenpunkts den gleichen Punkt ergibt.


M \cdot \vec{p} = \vec{p'}

M \cdot \vec{p'} = \vec{p''}

M \cdot (M \cdot \vec{p}) = \vec{p''}

(M \cdot M) \cdot \vec{p} = \vec{p''}

M \cdot \vec{p} = \vec{p''}

\vec{p'} = \vec{p''}