Zweite Kursarbeit

. Aufgabe.

. Aufgabe. Bearbeitet von --Deeka98OB 18:55, 22. Dez. 2016 (CET)

$H:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}2\\-2\\4\end{array} \right)+r\cdot\left( \begin{array}{c}-3\\1\\1\end{array} \right)+s\cdot\left( \begin{array}{c}-1\\-1\\1\end{array} \right)$
$\vec{n} = \left( \begin{array}{c}-3\\1\\1\end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c}-1\\-1\\1\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}2\\2\\4\end{array} \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{c}1\\1\\2\end{array} \right)= \vec{n}$
$H: \left[\vec{x}-\left( \begin{array}{c}2\\-2\\4\end{array} \right)\right] \cdot \left( \begin{array}{c}1\\1\\2\end{array} \right)=0$
$H: x_{1} + x_{2}+ x_{3} =2-2+8$
$H: x_{1} + x_{2} + x_{3} =8$
$\vec{ n_{xy} }=\left( \begin{array}{c}0\\0\\1\end{array} \right)$
$\vec{n}=\left( \begin{array}{c}1\\1\\2\end{array} \right)$

$cos( \alpha )= | \frac{\left( \begin{array}{c}0\\0\\1\end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{c}1\\1\\2\end{array} \right)}{ | \left( \begin{array}{c}0\\0\\1\end{array} \right) | \cdot \left( \begin{array}{c}1\\1\\2\end{array} \right)} | = \frac{2}{ \sqrt{6} }$
$\alpha = 35,3 ^ \circ$

. Aufgabe. Bearbeitet von --Deeka98OB 19:20, 22. Dez. 2016 (CET)

$H: x_{1} + x_{2} + x_{3} =8$
$x_{2} = x_{3} = 0 \longrightarrow x_{1} = 8 \longrightarrow S_{1} (8 | 0 | 0)$

$x_{1} = x_{3} = 0 \longrightarrow x_{2} = 8 \longrightarrow S_{2} (0 | 8 | 0)$

$x_{1} = x_{2} = 0 \longrightarrow x_{3} = 4 \longrightarrow S_{3} (0 | 0 | 4)$

. Aufgabe. Bearbeitet von --Deeka98OB 19:55, 22. Dez. 2016 (CET)

$\vec{ s_{1} }=\left( \begin{array}{c}8\\0\\0\end{array} \right)$
$\vec{ s_{2} }=\left( \begin{array}{c}0\\8\\0\end{array} \right)$
$\vec{ f }=\left( \begin{array}{c}3\\7\\0\end{array} \right)$

Spurgerade von $S_1$und $S_2$:
$g:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}8\\0\\0\end{array} \right)+r\cdot\left( \begin{array}{c}-8\\8\\0\end{array} \right)$
$H_1: \left[\vec{x}-\left( \begin{array}{c}3\\7\\0\end{array} \right)\right] \cdot \left( \begin{array}{c}-8\\8\\0\end{array} \right)=0$
$\left[\left( \begin{array}{c}8\\0\\0\end{array} \right)+r\cdot\left( \begin{array}{c}-8\\8\\0\end{array} \right)-\left( \begin{array}{c}3\\7\\0\end{array} \right)\right] \cdot \left( \begin{array}{c}-8\\8\\0\end{array} \right)=0$
$\left[\left( \begin{array}{c}5\\-7\\0\end{array} \right)+r\cdot\left( \begin{array}{c}-8\\8\\0\end{array} \right)\right] \cdot \left( \begin{array}{c}-8\\8\\0\end{array} \right)=0$
$128r=96$
$r= \frac{3}{4}$
$\vec{f_2} =\left( \begin{array}{c}8\\0\\0\end{array} \right)+ \frac{3}{4} \cdot\left( \begin{array}{c}-8\\8\\0\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}2\\6\\0\end{array} \right)$
$\vec{FF_2} = \vec{f_2} - \vec{f} =\left( \begin{array}{c}2\\6\\0\end{array} \right)-\left( \begin{array}{c}3\\7\\0\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}-1\\-1\\0\end{array} \right)$
$| \vec{FF_2} | = \sqrt{2} =1,414 \longrightarrow 14,14m$
A: Der Mindestabstand von 13m vom Maibaum bis zur Hangebene wird mit 14, 14m eingehalten.

. Aufgabe. Bearbeitet von --Deeka98OB 19:56, 22. Dez. 2016 (CET)

$S(3 | 7 | 3)$
$\vec{v} =\left( \begin{array}{c}-3\\-3\\-1\end{array} \right)$
$g_1: \vec{x} =\left( \begin{array}{c}3\\7\\3\end{array} \right)+r\cdot\left( \begin{array}{c}-3\\-3\\-1\end{array} \right)$
$H: x_{1} + x_{2} +2 x_{3} =8$
$3-3r+7-3r+2(3-r)=8$
$1=r$
$\vec{s'} =\left( \begin{array}{c}3\\7\\3\end{array} \right)+1\cdot\left( \begin{array}{c}-3\\-3\\-1\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}0\\4\\2\end{array} \right)$
A: Der Schattenpunkt der Spitze S des Maibaumes auf der Hangebene H ist $S'(0|4|2)$.

---

Wenn wir bei der Projektion der Geraden $g_1$

$x_3$ gleich null setzen.
Dann erhalten wir die Gleichung:
$g_2: \vec{x} =\left( \begin{array}{c}3\\7\\0\end{array} \right)+r\cdot\left( \begin{array}{c}-3\\-3\\0\end{array} \right)$
Man kann als Richtungsvektor der Gleichung $g_2$ auch den Richtungsvektor $\left( \begin{array}{c}-9\\-9\\0\end{array} \right)$ benutzen, da es ein Vielfaches von dem Richtungsvektor ist und es sich somit immer noch um die gleiche Gleichung handelt.
$g_2: \vec{x} =\left( \begin{array}{c}3\\7\\0\end{array} \right)+r\cdot\left( \begin{array}{c}-9\\-9\\0\end{array} \right)$
Ermittlung des Schnittpunktes R von der Geraden $g_2$ und der Spurgeraden g:
$g_2: \vec{x} =\left( \begin{array}{c}3\\7\\0\end{array} \right)+r\cdot\left( \begin{array}{c}-9\\-9\\0\end{array} \right)$
$g:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}8\\0\\0\end{array} \right)+r\cdot\left( \begin{array}{c}-8\\8\\0\end{array} \right)$
$\left( \begin{array}{c}5\\-7\\0\end{array} \right)=s\cdot\left( \begin{array}{c}-9\\-9\\0\end{array} \right)-r\cdot\left( \begin{array}{c}-8\\8\\0\end{array} \right)$

$\vec{r} =\left( \begin{array}{c}8\\0\\0\end{array} \right)+ \frac{3}{4} \cdot\left( \begin{array}{c}-8\\8\\0\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}2\\6\\0\end{array} \right)$
R(2|6|0)

. Aufgabe. Bearbeitet von (--Karo99OB (Diskussion) 17:48, 16. Dez. 2016 (CET))

Voraussetzung:

$\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MB}$

Beweis:

$\begin{align} \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC} &=0 \\ \left( \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC} \right)& =0 \\ \left( \overrightarrow{MC}+\overrightarrow{AM} \right) \cdot \left( \overrightarrow{MC}-\overrightarrow{AM} \right)& =0 \\ \overrightarrow{MC}^2 - \overrightarrow{AM}^2 & =0 \\ |\overrightarrow{MC}|^2 &= |\overrightarrow{AM}|^2\\ \overrightarrow{MC} &= \overrightarrow{AM} \\ \end{align}$

Damit wurde bewiesen, dass der Punkt C auf einer Kreisbahn mit dem Durchmesser $\overline{AB}$ und damit dem Radius $\overline{AM}$ liegt.

. Aufgabe.

. Aufgabe. Bearbeitet von (--L.Wagner (Diskussion) 21:10, 18. Dez. 2016 (CET)Laurent99OB)

Um zu prüfen, ob 2 Ebenen sich schneiden, benötigen wir die Normalenvektoren.

Der Normalenvektor von E₂ ist $\vec{x} = \left( \begin{array}{c}3\\-6\\3\end{array}\right)$

Den Normalenvektor von E₁ müssen wir herausfinden in dem wir das Skalrprodukt wieder verwenden.

$\vec{n_1} \cdot \vec{u}=0$

$\vec{n_1}\cdot \vec{v}=0$

$\left( \begin{array}{c}n_1\\n_2\\n_3\end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}3\\2\\1\end{array}\right)$

Da wir nun unseren $\vec{n_1}$ haben, müssen wir die lineare Abhängigkeit der beiden Normalenvektor überprüfen.

$\left( \begin{array}{c}3\\2\\3\end{array}\right)k \neq \left( \begin{array}{c}3\\-6\\3\end{array}\right)$

Da die Normalenvektoren l.u. sind, schneiden sie sich.

Nun müssen wir die Orthogonalität überprüfen.

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}=0$

$\left( \begin{array}{c}3\\2\\3\end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{c}3\\-6\\3\end{array}\right)=9-12+3=0$

Die Ebenen schneiden sich orthogonal

. Aufgabe. Bearbeitet von --Addie98OB (Diskussion) 09:46, 17. Dez. 2016 (CET)

Wir setzen $E_1$ in $E_2$ ein:

$\begin{align} 3(1 +r -s) -6(-1 -r +2s) + 3(3 -r -s) &= 6 \\ 3 + 3r - 3s + 6 + 6r - 12s + 9 - 3r - 3s &= 6 \\ 18 + 6r - 18s &= 6 \\ 6r &= 18s - 12 \\ r &= 3s - 2 \end{align}$

$g:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array} \right) + (3s-2) \cdot \left( \begin{array}{c}1\\-1\\-1\end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c}-1\\2\\-1\end{array} \right)$

$g:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c}3\\-3\\-3\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}-2\\2\\2\end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c}-1\\2\\-1\end{array} \right)$

$g:\vec{x}=\left( \begin{array}{c}-1\\1\\5\end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c}2\\-1\\-4\end{array} \right)$

. Aufgabe. Bearbeitet von --Kat99OB (Diskussion) 14:46, 17. Dez. 2016 (CET)

KF-> PF:

$\left( \begin{array}{c} x_1\\x_2\\x_3\end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} 2+2x_2-x_3\\x_2\\x_3\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2\\0\\0\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} 2x_2\\x_2\\0\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} -x_3\\0\\x_3\end{array} \right)$

$E:\vec{x}= \left( \begin{array}{c}2\\0\\0\end{array} \right)+\lambda\cdot \left( \begin{array}{c} 2\\1\\0\end{array} \right)+\mu \cdot \left( \begin{array}{c} -1\\0\\1\end{array} \right)$

. Aufgabe. Bearbeitet von --Deeka98OB 19:26, 22. Dez. 2016 (CET)

$x_{2} = x_{3} = 0 \longrightarrow x_{1} = 2 \longrightarrow S_{1} (2 | 0 | 0)$
$x_{1} = x_{3} = 0 \longrightarrow x_{2} = -1 \longrightarrow S_{2} (0 | -1 | 0)$
$x_{1} = x_{2} = 0 \longrightarrow x_{3} = 2 \longrightarrow S_{3} (0 | 0 | 2)$

. Aufgabe.

. Aufgabe. Bearbeitet von --Kat99OB (Diskussion) 10:49, 12. Jan. 2017 (CET)

4.1
$\vec{n}=\left( \begin{array}{c} 6\\-8\\12\end{array} \right)$

$\vec{u}=\left( \begin{array}{c} 6\\9\\6\end{array} \right)$

$\vec{n}\cdot \vec{u}=\left( \begin{array}{c} 6\\-8\\12\end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{c} 6\\9\\6\end{array} \right)=36-72+72=36 \neq 0$
$\vec{n}\quad,\vec{u}$ sind nicht orthogonal zueinander,deshalb schneiden sich die Ebene und die Gerade

Schnittpunkt:
$\begin{align}\left[\left( \begin{array}{c} 8\\-6\\2\end{array} \right)+\lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 6\\9\\6\end{array} \right)-\left( \begin{array}{c} 4\\-3\\2\end{array} \right)\right] \cdot \left( \begin{array}{c} 6\\-8\\12\end{array} \right) & =0\\ \left[\left( \begin{array}{c} 4\\-3\\0\end{array} \right)+\lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 6\\9\\6\end{array} \right)\right] \cdot \left( \begin{array}{c} 6\\-8\\12\end{array} \right) & =0\\ 24+24+\lambda (36-72+72) & =0\\ 36\lambda & =-48\\ \lambda & =- \frac{4}{3}\\\end{align}$

$\vec{s}=\left( \begin{array}{c} 8\\-6\\2\end{array} \right)+(- \frac{4}{3}) \cdot \left( \begin{array}{c} 6\\9\\6\end{array} \right)$

$= \left( \begin{array}{c} 8\\-6\\2\end{array} \right)+ \left( \begin{array}{c} -8\\-12\\-8\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0\\-18\\-6\end{array} \right)$

$S(0|-18|-6)$

Schnittwinkel:

$sin( \alpha )= \frac{|\vec{n} \cdot \vec{u}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{u}|}$

$|\vec{n}|= \sqrt{6^2+8^2+12^2}=2 \sqrt{61}$

$|\vec{u}= \sqrt{6^2+9^2+6^2}=3 \sqrt{17}$

$\vec{n} \cdot \vec{u}=36$

$sin( \alpha )= \frac{36}{2 \sqrt{61}\cdot 3 \sqrt{17} }$

$sin(\alpha)=0,1863 |sin^{-1}$

$\alpha=10,74$°

. Aufgabe. Bearbeitet von --Joao99OB (Diskussion) 11:36, 12. Jan. 2017 (CET)

$P(8/5/1)$

$E: \left[\vec{x}-\left( \begin{array}{c}4\\-3\\2\end{array} \right)\right] \cdot \left( \begin{array}{c}6\\-8\\12\end{array} \right)=0$

$h: \vec{x} =\left( \begin{array}{c}8\\5\\1\end{array} \right)+\lambda \cdot\left( \begin{array}{c}6\\-8\\12\end{array} \right)$

$\left[\left( \begin{array}{c}8\\5\\1\end{array} \right)+\lambda \cdot\left( \begin{array}{c}6\\-8\\12\end{array} \right)-\left( \begin{array}{c}4\\-3\\2\end{array} \right)\right] \cdot \left( \begin{array}{c}6\\-8\\12\end{array} \right)=0$

$\left[\left( \begin{array}{c}4\\8\\-1\end{array} \right)+\lambda \cdot\left( \begin{array}{c}6\\-8\\12\end{array} \right)\right] \cdot \left( \begin{array}{c}6\\-8\\12\end{array} \right)=0$

$24-64-12+36\lambda+64\lambda+144\lambda=0$

$244\lambda=52$

$\lambda=\frac{13}{61}$

$\vec{f} =\left( \begin{array}{c}9,28\\3,3\\3,56\end{array} \right)$

$\vec{PF} =\left( \begin{array}{c}9,28-8\\3,3-5\\3,56-1\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}1,28\\-1,7\\2,56\end{array} \right)$

$\left |\vec{PF}\right |=3,33$
Der Abstand von dem Punkt P(8/5/1) zur Ebene E liegt bei 3,33.

. Aufgabe. Bearbeitet von --Joao99OB (Diskussion) 11:45, 12. Jan. 2017 (CET)

$2\lambda=\frac{26}{61}$

$h: \vec{x} =\left( \begin{array}{c}8\\5\\1\end{array} \right)+2\lambda \cdot\left( \begin{array}{c}6\\-8\\12\end{array} \right)$

$\vec{p'} =\left( \begin{array}{c}10,56\\1,6\\6,1\end{array} \right)$

$P'(10,56/1,6/6,1)$

. Aufgabe. Bearbeitet von --Joao99OB (Diskussion) 12:29, 12. Jan. 2017 (CET)

Die Punkte mit dem Abstand 7 LE zu E liegen auf zwei Ebenen, jeweils oberhalb von E und unterhalb von E mit d=7. Deshalb haben diese Ebenen den gleichen Normalvektor, weil sie parallel sind. Durch den Normaleinheitsvektor finden wir zwei Punkte auf den jeweiligen gesuchten Ebenen, indem wir zu dem Punkt P von E den Einheitsvektor einmal dazu addieren und einmal abziehen.

$E: \left[\vec{x}-\left( \begin{array}{c}4\\-3\\2\end{array} \right)\right] \cdot \left( \begin{array}{c}6\\-8\\12\end{array} \right)=0$

$\vec n_{e}=\left( \begin{array}{c}6\\-8\\12\end{array} \right)\cdot \frac{1}{15,62 }$

$\vec{p_{1}}-\left( \begin{array}{c}4\\-3\\2\end{array} \right)+7\vec n_{e}=\left( \begin{array}{c}6,74\\-6,66\\7,48\end{array} \right)$

$E_{1}: \left[\vec{x}-\left( \begin{array}{c}6,74\\-6,66\\7,48\end{array} \right)\right] \cdot \left( \begin{array}{c}6\\-8\\12\end{array} \right)=0$
$\left |\vec{P_{1}P}\right |=7$

$\vec{p_{2}}-\left( \begin{array}{c}4\\-3\\2\end{array} \right)-7\vec n_{e}=\left( \begin{array}{c}1,26\\0,66\\-3,43\end{array} \right)$

$E_{2}: \left[\vec{x}-\left( \begin{array}{c}1,26\\0,66\\-3,43\end{array} \right)\right] \cdot \left( \begin{array}{c}6\\-8\\12\end{array} \right)=0$
$\left |\vec{P_{2}P}\right |=7$

. Aufgabe. Bearbeitet von --Joao99OB (Diskussion) 12:51, 12. Jan. 2017 (CET)

$P(8/5/1)$

$g: \vec{x} =\left( \begin{array}{c}8\\-6\\2\end{array} \right)+\lambda \cdot\left( \begin{array}{c}6\\9\\6\end{array} \right)$
Nun benötigen wir eine Hilfsebene, der den Punkt P und den Richtungsvektor der Geraden einschließt.

$E: \left[\vec{x}-\left( \begin{array}{c}8\\5\\1\end{array} \right)\right] \cdot \left( \begin{array}{c}6\\9\\6\end{array} \right)=0$

$\left[\left( \begin{array}{c}0\\-11\\1\end{array} \right)+\lambda \cdot\left( \begin{array}{c}6\\9\\6\end{array} \right)\right] \cdot \left( \begin{array}{c}6\\9\\6\end{array} \right)=0$

$153\lambda=93$

$\lambda=\frac{31}{51}$

$\vec{f} =\left( \begin{array}{c}11,65\\-0,53\\5,65\end{array} \right)$

$\vec{PF} =\left( \begin{array}{c}3,65\\-5,53\\4,56\end{array} \right)$

$\left |\vec{PF}\right | =8,1$
Der Abstand vom Punkt P und der Geraden ist 8,1 LE.

. Aufgabe. Bearbeitet von (--L.Wagner (Diskussion) 19:48, 21. Dez. 2016 (CET)Laurent99OB)

Erstmals müssen wir schauen, ob die beiden Geraden parallel zueinander sind. Dabei betrachten wir die beiden Richtungsvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$. Sind sie l.a dann sind sie parallel und wenn sie l.u sind dann schneiden sie sich oder sind windschief.

$\left( \begin{array}{c}20\\14\\0\end{array}\right) \neq \left( \begin{array}{c}18\\6\\-3\end{array}\right)k$

Für k gibt es keine Zahl, daher sind $\vec{u}$ und $\vec{v}$ und schneiden sich somit oder sind windschief.

Nun betrachten wir, ob $\vec{u}$ und $\vec{v}$ und $\vec{q-p}$ l.a sind. Wenn ja dann schneiden sie sich. Wenn nicht dann sind sie windschief.

$\left( \begin{array}{c}20\\14\\0\end{array}\right)x+\left( \begin{array}{c}18\\6\\-3\end{array}\right)y$$+\left( \begin{array}{c}a-3\\-3\\3-a\end{array}\right)z=0$

NR:

$30z+7az-21z+66z-22az=0$

$75z-15az=0$

$z(75-15az)=0$

Wenn wir für a=5 einsetzen dann kann z jede reele Zahl annehmenund somit sind $\vec{u}$ und $\vec{v}$ und $\vec{q-p}$ l.a. Die Geraden schneiden sich. Wenn aber $a \neq 5$ ist, dann sind $\vec{u}$ und $\vec{v}$ und $\vec{q-p}$ l.u. Z müsste also 0 sein und die Geraden sind windschief.

. Aufgabe. Bearbeitet von --Tws98OB (Diskussion) 19:02, 10. Jan. 2017 (CET)

$E_1= \overrightarrow{x}= \overrightarrow{p} + \lambda \overrightarrow{u} + \mu \overrightarrow{v}$

$E_2= \overrightarrow{x}= \overrightarrow{p}^* + r \overrightarrow{u}^* + s \overrightarrow{v}^*$

Ebenen sollen sich schneiden. Bedingungen:

$\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{u}^* => l.u$

Oder

$\overrightarrow{u};\overrightarrow{v};\overrightarrow{v}^* => l.u$