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Kurzinfo

Schülerbeitrag
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Inhaltsverzeichnis

Nachweis für die lineare Abhängigkeit von 3 Vektoren in der Ebene

Pdf20.gif Beweis aus früherem Kurs; Jonas Happel 2010

Nachweis für die lineare Abhängigkeit von 4 Vektoren im Raum

(Artur Using, 2012)

Im Mathematikunterricht haben wir bewiesen, dass drei beliebige Vektoren in einer Ebene ausnahmslos linear abhängig sein müssen, wobei dies im Protokoll vom 12.09.2012 vermerkt ist.


Wir möchten zunächst zeigen, dass 4 Vektoren im Raum immer linear abhängig sind. Also muss es möglich sein, einen Vektor durch die 3 anderen Vektoren darzustellen, wobei dies durch Linearkombination geschieht.

Sind diese drei Vektoren linear abhängig, dann ist alles gezeigt.

Nun wollen wir zunächst zeigen, dass drei Vektoren im Raum nicht immer linear unabhängig sind, sondern auch linear abhängig sein können.


Nachweis für mögliche lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren im Raum

Exemplarisch sind die drei folgenden Vektoren zu wählen, welche im dreidimensionalen Raum linear unabhängig sind.

\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \qquad \vec{b}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}  \qquad \qquad \vec{c}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}

Es wird deutlich, dass sich keiner der drei Vektoren durch die jeweilig anderen Vektoren darstellen lässt, womit schon erwiesen ist, dass durchaus drei Vektoren in einem dreidimensionalen Raum existieren, welche nicht linear abhängig voneinander sind.


Fallunterscheidung der linearen Unabhängigkeit von 3 Vektoren im Raum

Seien nun drei beliebige Vektoren linear unabhängig.

Zunächst formulieren wir jedoch folgende Gleichung.

r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b} + t \cdot \vec{c} = \vec{0}

Nun können wir die Koordinaten der Vektoren und die Skalare in einem linearen Gleichungssystem wie folgt darstellen und das Gauß-Verfahren anwenden.

Dabei soll zunächst der Skalar r bei der Addition wegfallen, wobei die zu addierenden Gleichungen durch Äquivalenzumformungen so umgeformt werden müssen, dass der Skalar r in den entstehenden Gleichungen nicht aufzufinden ist.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-15 um 10.28.38.png

Nun können wir die Skalare s und t in den neu entstandenen Gleichungen ausklammern.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-15 um 10.40.41.png

Nachdem wir die Skalare s und t ausgeklammert haben, können wir die neu entstandenen Gleichungen addieren, sodass der Skalar s in der neu entstehenden Gleichung nicht mehr aufzufinden ist.

Dabei sind die einzelnen Gleichungen, welche addiert werden, so umzuformen, dass bei der Addition der Skalar s wegfällt.

Die Äquivalenzumformung und die Addition werden dabei in einem Schritt ausgeführt.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-15 um 11.25.36.png

Nun klammern wir den Skalar t aus.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-15 um 11.38.01.png

Damit die lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren möglich ist, darf der mit t multiplizierte Term nicht der Null gleichen, da sonst der Skalar t eine beliebige Zahl annehmen könnte, wodurch die drei Vektoren linear abhängig wären.


Beweis der lineare Abhängigkeit von 4 Vektoren im Raum

Nun wollen wir überprüfen, ob Vektoren existieren, welche durch diese drei Vektoren im dreidimensionalen Raum nicht darstellbar sind, sodass auch bei vier Vektoren lineare Unabhängigkeit existieren könnte.

Wir überprüfen daher, ob jeder beliebiger Vektor im dreidimensionalen Raum ausnahmslos durch drei linear unabhängige Vektoren im Raum durch Linearkombination dargestellt werden kann.

Ein beliebiger Vektor im dreidimensionalen Raum soll daher einer Linearkombination dreier linear unabhängiger Vektoren im Raum gleichen, wobei dies im Folgenden mathematisch formuliert wird.

x \cdot \vec{a} + y \cdot \vec{b} + z \cdot \vec{c} =\vec{d}

Nun überprüfen wir, ob lineare Abhängigkeit oder lineare Unabhängigkeit vorliegt, indem wir lineare Gleichungssysteme verwenden und das Gauß-Verfahren anwenden.

Wir legen für den Beweis die folgende Voraussetzung und Behauptung fest, um dann mit dem Beweis zu beginnen.

Voraussetzung:

Die Vektoren \vec{a} ,  \vec{b} und  \vec{c} sind linear unabhängig.

Behauptung:

Die Vektoren \vec{a} ,  \vec{b},  \vec{c} und \vec{d} sind linear abhängig.

Beweis:

Das Vorgehen verläuft analog zu dem obigen Verfahren.

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-15 um 12.38.00.png

\, \Leftrightarrow

Liberté Bildschirmfoto 2012-09-15 um 13.21.51.png


Der Übersicht halber betrachten wir uns die unterste, neu erstellte Gleichung einzeln, wobei wir den Skalar z direkt ausklammern können.

z \cdot \left( \left(c_1\cdot \left( -a_2\right) + c_2 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot a_3 - b_3 \cdot a_1\right) +\left( c_1 \cdot \left( -a_3\right) + c_3 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot \left(-a_2\right) + b_2\cdot a_1 \right) \right) 
= \left( d_1\cdot \left( -a_2 \right) + d_2 \cdot a_1 \right) \cdot \left(-\left(b_1 \cdot (-a_3) + b_3 \cdot a_1 \right) \right) + \left( d_1 \cdot \left( -a_3\right) + d_3 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot \left(-a_2)+b_2\cdot a_1 \right) \right)

Nun ist festzustellen, dass der Term, mit welchem der Skalar z multipliziert wird, ungleich Null ist, da wir dies durch vorige Rechnungen festgestellt haben.

Daher können wir die Gleichung nach dem Skalar z umformen.

z \cdot \left( \left(c_1\cdot \left( -a_2\right) + c_2 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot a_3 - b_3 \cdot a_1\right) +\left( c_1 \cdot \left( -a_3\right) + c_3 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot \left(-a_2\right) + b_2\cdot a_1 \right) \right)= \left( d_1\cdot \left( -a_2 \right) + d_2 \cdot a_1 \right) \cdot \left(-\left(b_1 \cdot (-a_3) + b_3 \cdot a_1 \right) \right) + \left( d_1 \cdot \left( -a_3\right) + d_3 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot \left(-a_2)+b_2\cdot a_1 \right) \right) | : \left( \left(c_1\cdot \left( -a_2\right) + c_2 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot a_3 - b_3 \cdot a_1\right) +\left( c_1 \cdot \left( -a_3\right) + c_3 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot \left(-a_2\right) + b_2\cdot a_1 \right) \right)


z= \frac{\left( d_1\cdot \left( -a_2 \right) + d_2 \cdot a_1 \right) \cdot \left(-\left(b_1 \cdot (-a_3) + b_3 \cdot a_1 \right) \right) + \left( d_1 \cdot \left( -a_3\right) + d_3 \cdot a_1 \right) \cdot 
\left( b_1 \cdot \left(-a_2)+b_2\cdot a_1 \right) \right)}{\left(c_1\cdot \left( -a_2\right) + c_2 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot a_3 - b_3 \cdot a_1\right) +\left( c_1 \cdot \left( -a_3\right) + c_3 \cdot a_1 \right) \cdot \left( b_1 \cdot \left(-a_2\right) + b_2\cdot a_1 \right) }

Nun ist es möglich, dass der Skalar z durch Koordinaten der vier beliebigen Vektoren beschrieben werden kann, weshalb wir z mithilfe der aufgestellten Formel bestimmen können.

Damit ist erwiesen, dass die lineare Abhängigkeit von vier beliebigen Vektoren ausnahmslos im dreidimensionalen Raum gilt.

q.e.d.

--Liberté 13:58, 15. Sep. 2012 (CEST)