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Die Aufgabe ist es die Gerade g in Abhängigkeit von a so zu bestimmen, dass sie sich mit der Geraden g schneidet. Gegeben ist die Abbildung ( vgl. S.209 Fig.2) eines Würfels. Durch diesen Würfel gehen die beiden Geraden g und g in Abhängigkeit von a. Durch ablesen können wir nun die Schnittpunkte der Geraden mit dem Würfel feststellen und bekommen so Punkte zur Bestimmung der Gleichungen. ( Die Punkte R und S sind die beiden Schnittpunkte der Geraden g mit dem Würfel)

Mathe LK


Für g_a

P(2 | 2 | a)

Q(0 | 0 | 2)


Für g

R(0 | 1 | 2)

S(2 | 0 | 1)


Da sich eine Gerade eindeutig durch zwei Punkte definieren lässt, können wir nun g und g_a bilden:

Mathe LK


Da in der Aufgabe nach einem Schnittpunkt gefragt wird setzen wir die beiden Gleichungen gleich und erstellen ein LGS.

Gleichsetzen:

Mathe LK



LGS:

Mathe LK


Ab jetzt können wir das LGS verlassen und mittels Algebra a berechnen.

Mathe LK


Nachdem wir a berechnet haben, können wir nun den Schnittpunkt beider Geraden angeben:

 S( \frac{2}{3 }  |  \frac{2}{3}  |  \frac{5}{3} )


Zum Schluss noch die Visualisierung der beiden Geraden:

Mathe LK


Dasselbe wird nun mit der Geraden h durchgeführt. Wir lesen jeweils unsere Punkte ab.

Für g_a

P(2 | 2 | a)

Q(0 | 0 | 2)

Für h

T(2 | 1 | 0)

A(1 | 2 | 2)


Da sich eine Gerade eindeutig durch zwei Punkte definieren lässt, können wir nun h und g_a bilden:

g_a: \vec{x}=\left( \begin{array}{c}0\\0\\2\end{array} \right)+s \left( \begin{array}{c}-2\\-2\\2-a\end{array} \right)

h: \vec{x}=\left( \begin{array}{c}2\\1\\0\end{array} \right)+ r \left( \begin{array}{c}-1\\1\\2\end{array} \right)


Nun setzen wir die beiden Geraden gleich und suchen nach einem Schnittpunkt.

Mathe LK

Nun setzen wir s und r in die untere Gleichung um a herauszubekommen.

(2-a) \cdot -0,75-2 \cdot 0,5=-2

-1,5+0,75a-1=-2

0,75a=0,5

a=\frac{2}{3}


Nun könnenw ir den Schnittpunkt berechnen

S(1,5 | 1,5|1)

Das besondere Problem