Erste HÜ

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Erste HÜ
Punkteverteilung
Aufg. 1) 5
Aufg. 2) 5
Aufg. 3) 10
Lesbarkeit / Form 1

Phi = 7,7 (nicht wie in der Mail angegeben)


Inhaltsverzeichnis

. Aufgabe.; bearbeitet von --Karo99OB (Diskussion) 13:49, 23. Feb. 2017 (CET)

f(x)=x^2e^{x^3}


\int x^2e^{x^3} =\frac{1}{3} \int h(g(x)) g'(x)dx=\frac{1}{3}H(g(x))= \frac{1}{3} \cdot \int x^2e^{x^3} = \frac{1}{3}e^{x^3} + c

Überlegungsbox
g(x)=x^3

g'(x)=3x^2
h(t)=e^t
 H(t)=e^t


Probe

F(x)=\frac{1}{3}e^{x^3} + c

\begin{align}
F'(x)&=\frac{1}{3}e^{x^3} \cdot 3x^2 \\

&= x^2e^{x^3}=f(x)

\end{align}

. Aufgabe.; bearbeitet von --Tws98OB (Diskussion) 13:57, 23. Feb. 2017 (CET)

f(x)=\sqrt{2 \cdot e^{2x} + k}

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2 \cdot e^{2x} + k}} \cdot 4e^{2x}

a)

Zu überprüfen ist:

f'(x) \cdot f(x) = 2 \cdot e^{2x}

LT:

\frac{1}{2\sqrt{2 \cdot e^{2x} + k}} \cdot 4e^{2x} \cdot \sqrt{2 \cdot e^{2x} + k}


=\frac{4e^{2x} \cdot \sqrt{2 \cdot e^{2x} + k}}{2\sqrt{2 \cdot e^{2x} + k}}


=2e^{2x}

LT=RT

b)

\begin{align}

f(0)=\sqrt{2 \cdot e^{0} + k}&=2 \\

\sqrt{2+k}&=2\\

2+k&=4\\

k&=2\\

\end{align}

Somit lautet die Funktion, welche durch den Punkt P(0|2) verläuft f(x)= \sqrt{2 \cdot e^{2x} + 2}

. Aufgabe.; bearbeitet von --Deeka98OB 22:01, 22. Feb. 2017 (CET)

f'(x)=10-f(x)
\frac{f'(x)}{10-f(x)} =1
\int\frac{f'(x)}{10-f(x)} dx= \int1dx
Weil f(x)<10 ist, muss 10-f(x) positiv sein, weshalb man es durch f'(x) teilen kann.

Überlegungsbox
\int\frac{f'(x)}{10-f(x)} dx= - \int h(g(x)) g'(x)dx=-H(g(x))=-ln(10-f(x))=F(x)

g(x)=10-f(x)
g'(x)=-f(x)
h(t)=\frac{1}{t}
 H(t)=ln(t)

-ln(10-f(x))=x+c
e^{-ln(10-f(x))}= e^{x+c}
 \frac{1}{e^{ln(10-f(x)}}= ke^x
\frac{1}{10-f(x)}= ke^x
1=ke^x(10-f(x))
\frac{1}{ke^x} = 10-f(x)
f(x)=10- \frac{1}{ke^x}

Probe:
LT: f'(x)= \frac{1}{(ke^{x})^2} \cdot (ke^x)=  \frac{1}{ke^x}
RT:10-10+ \frac{1}{ke^x} = \frac{1}{ke^x}
LT=RT

. Aufgabe

bearbeitet von --Addie98OB (Diskussion) und --Kat99OB (Diskussion) 21:05, 23. Feb. 2017 (CET)

f'(x) =  \frac{2}{f(x)}

f'(x) \cdot f(x) = 2

\int f'(x) \cdot f(x) dx= \int 2 dx


Denkbox:

g(x) = f(x)

g'(x) = f'(x)

h(t) = t

H(t) =  \frac{t^2}{2}


\int h(g(x)) \cdot g'(x) dx = H(g(x)) =  \frac{(f(x))^2}{2}

\Rightarrow

\frac{(f(x))^2}{2} = 2x + c \qquad |\cdot 2

(f(x))^2=4x+2c\qquad |\sqrt{}

f(x)=\sqrt{4x+2c}

bearbeitet von --Nico98OB (Diskussion) 11:02, 23. Feb. 2017 (CET)


f'\left( x \right) =\frac { 2 }{ f\left( x \right)  }
f'\left( x \right) \cdot f\left( x \right) =2

Partielle Integration :

\int { u\cdot v'dx=uv-\int { u'v\quad dx }  }
Spezialfall:
\int { u\cdot u'dx={ u }^{ 2 }-\int { u'u\quad dx }  }
2\int { u\cdot u'dx={ u }^{ 2 } }


LT:\int { f(x)\cdot f'(x)dx=\frac { 1 }{ 2 } { (f(x)) }^{ 2 } } +C
RT:\int { 2dx } =2x+k
2x+k=\frac { 1 }{ 2 } { f(x) }^{ 2 }
4x+2k={ f(x) }^{ 2 }
\sqrt {  4x+2k }={ f(x) }, negatives Vorzeichen entfällt wegen Voraussetzung

Probe:
{ f'(x)=\frac { 2 }{ \sqrt { 4x+2k }  }  }={ \frac { 2 }{ f(x) }  }