Anwendung Integralrechnung

aus ZUM-Wiki, dem Wiki für Lehr- und Lerninhalte auf ZUM.de
Wechseln zu: Navigation, Suche

Problem:

CJSchmitt Kanal.jpg


. Lösungsvorschlag von --Hellmann 22:14, 8. Okt. 2013 (CEST)

a) ist gegeben.


b)

A=2\int_{0}^{4} (2-f (x)\,dx=2\int_{0}^{4} (2-\frac{1}{8}x^{2}) \,dx=2[2x-\frac{1}{24}x^{3}]^{4}_{0}=2[8-2\frac{2}{3}]=2(5\frac{1}{3})=10\frac{2}{3}m^{2}

l=2km=2000m

V=A\cdot l=10\frac{2}{3}m^{2}\cdot 2000m=21333\frac{1}{3}m^{3}


c)


\frac{V}{2}=\frac{A\cdot l}{2}=10666\frac{2}{3}m^{3}

\frac{A\cdot l}{2}=10666\frac{2}{3}m^{3}  |:2000m

\frac{A}{2}=5\frac{1}{3} m^{2}


f(a)=? und a=?


\frac{A}{2}= 2\int_{0}^{a} (f(a)-f (x))\,dx=2\int_{0}^{a} (\frac{1}{8}a^{2}-\frac{1}{8}x^{2}) \,dx=2[\frac{a^{2}}{8}\cdot x-\frac{1}{24}x^{3}]^{a}_{0}=2(\frac{a^{3}}{8}-\frac{a^{3}}{24})=2(\frac{1}{12}a^{3})=\frac{1}{6}a^{3}

\frac{1}{6}a^{3}=5\frac{1}{3} |\cdot 6

a^{3}=32

a=\sqrt[3]{32}\approx  3,17


\Rightarrow f(a)=\frac{1}{8}a^{2}=\frac{1}{8}(\sqrt[3]{32})^{2}\approx    1,26

2. Lösungsvorschlag von --Jugu5797 13:21, 26. Okt. 2013 (CEST)

a.)

f(x)= ax^2 + 2

f(4)=0= 16a + 2 |-2

-2 = 16a | :16

-\frac{1}{8} = a

f(x) = -\frac{1}{8}x^2 + 2

b.)

 A= \int_{-4}^{4} (-\frac{1}{8}x^2+2) \,dx = -\frac{1}{24}\cdot (128) + 2 \cdot (8)= -\frac{16}{3} + 16 = \frac{32}{3} \approx 10,67

 V= \frac{32}{3} m^2 \cdot 2000 m =21333,33 m^3


c.)

1.) Die Fläche halbieren

\frac{32}{3}m^2 : 2 = \frac{16}{3}m^2 \approx 5,33m^2

2.) Nullstellen für die Funktion f(x)= \frac{1}{8}x^2 + c

-\frac{1}{8}x^2 +c = 0

\sqrt{8c} = x

3.) Bis zu den Nullstellen integrieren

2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{8c} } (-\frac{1}{8}x^2 + c )\,dx = 2 \cdot (-\frac{2}{3}\sqrt{2c^3} + 2\sqrt{2c^3} )

4.) Mit der halbierten Fläche gleichsetzen

2 \cdot (-\frac{2}{3} \sqrt{2c^3}+ 2 \sqrt{2c^3}) = \frac{16}{3} |:2

\frac{4}{3} \sqrt{2c^3} = \frac{8}{3} | \cdot 3

\sqrt{32c^3} = 8 |( )^2

32c^3 = 64 |:32

c^3 = 2

c \approx  1,26

Die Höhe des Wasserspiegels beträgt bei der Hälfte 1,26m