Landesabitur Hessen 2010 A2

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Lösungsvorschlag von --Jugu5797 (Diskussion) 16:53, 9. Feb. 2014 (CET)

Aufgabe 1

1.1


skizze

Ansatz: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d und f'(x)= 3ax^2 + 2bx + c -> Vier Bedingungen

Bedingungen:

-f(6)=4 -> Die Funktion muss den Punkt (6|4)schneiden. -> f(6)= 216a + 36b + 6c + d - 4

-f'(6)=0 -> f'(6)= 108a + 12b + c

-f(0)=0 -> Die Funktion geht durch den Ursprung. -> f(0)= d = 0

-f'(0)=1 -> f'(0)= c = 1

f(6)= 216a + 36b + 6-4 = 108a + 18b +1 = 0

-> f'(6) mit f(6) mit Hilfe des Additionsverfahrens.

216a+36b+4=0

108a+12b+1=0 | \cdot2

216a+36b+2=0

(-)216a+24b+2=0

______________________

12b = 0 => b=0

-> Einsetzen in f(6)um den Parameter a zu bestimmen.

108a + 1 = 0

a = -  \frac{1}{108}

-> Alle bestimmten Parameter in die Ausgangsfunktion einsetzen.

f(x)= - \frac{x^3}{108}  + x

__________________________________________

1.2

f(x)=- \frac{x^3}{108}  + x

f'(x)=  \frac{-x^2}{36} +1

f''(x)=  \frac{-x}{18} < 0 -> Rechtskurve Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): für x \epsilon [0;6]


__________________________________________

Aufgabe 2

-> Erste Annäherungsmethode durch die Berechnung von Teilstücken (P bis R & R bis Q)

Ergaendzend

Man sieht in dem Bild deutlich, dass die Anwendung des Satzes des Pythagoras ( a^2+b^2=c^2)) als sehr sinnvoll erscheint

Wir berechnen also die jeweilig angegebenen Teilstücke mithife des Pythagoras...

L_1 = 4,07

L_2=3,25

... und addieren sie dann,um die gesamte Länge herauszufinden.

L_1 + L_2 = 7,32

Zulletzt errschenen wir die Prozentuale Differenz zur tatsächlichen Länge, in dem wir unser Ergebnis von dem Tatsächlichen abziehen und wieder durch das Tatsächliche teilen.

\frac{7,38-7,32}{7,38}  \cdot 100 = 0,8%

-> Zweite Annäherungsmethode mit Hilfe der Keplerschen Fassregel

Uns ist die Formel der Keplerschen Fassregel angegeben. Durch einsetzen der Faktoren erhalten wir ein Ergebnis.

L= \int_0^6 \sqrt{1 + [f'(x)]^2}d x =\frac{1}{6} \cdot 6 [g(0)+4g(3)+4g(6)]

g(x)=  \sqrt{1 + [f'(x)]^2}

L=  \frac{1}{6}  \cdot 6 \cdot  [   \sqrt{2} +4 \cdot (g(3))+1] = ( \sqrt{2} + 4  \cdot   \sqrt{a1+ \frac{9}{16} } +1) = 7,41

Dann untersuchen wir wieder die prozentuale Differenz zur tatsächlichen Länge:

 | \frac{7,38-7,41}{7,38} |  \cdot 100= 0,4%

______________________________________________

Wir müssen feststellen, das wir mit der Keplerschen Fassregel näher an dem tatsächlichen Wert sind, als mit der Nährungsmethode.

Aufgabe 3

(1)

A=6= \int_0^a f(x)dx + (6-a)  \cdot f(a)  \Rightarrow a  \approx 1,11

skizze

(2)

A=6= a  \cdot f(a) -  \int_0^a f(x)dx =  \int_0^a f(a)-f(x)dx  \Rightarrow  \approx 3,9

Ergaenzend