Landesabitur Hessen 2011 A1

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Inhaltsverzeichnis

.Aufgabe Lösungsvorschlag von--Hellmann 17:22, 14. Nov. 2013 (CET)

1.1 Dauer und größte erreichte Höhe

h(t)=2t^{2} \cdot (1,5-ln(t))


Startet bei t=0 und h=0


Dauer: f(x)=0


2t^{2} \cdot (1,5-ln(t))=0

\ 2t^{2}=0 \vee  1,5-ln(t)=0

\ t^{2}=0 \vee  ln(t)=1,5

\ t=0 \vee  t=e^{1,5}


t=e^{1,5}\approx 4,48h


Antwort: Die Dauer der Ballonfahrt beträgt ca. 4,48 Stunden, also ungefähr 4 Stunden und 30 Minuten.


größte erreichte Höhe: Maximum\Rightarrow f'(x)=0

h'(t)=4t \cdot (1,5-ln(t))+2t^{2} \cdot (-\frac{1}{t})=6t-4t \cdot ln(t)-2t=4t-4t \cdot ln(t)=4t \cdot (1-ln(t))


4t \cdot (1-ln(t)) =0

\ 4t=0 \vee 1-ln(t)=0

\ t=0 \vee ln(t)=1

\ t=0 \vee t=e


t=0 hat die Höhe h=o, daher kein Maximum.


h.B. für Maximum: \ h''(t)<0

\ h''(t)=-4ln(t)

\ h''(e)=-4ln(e)=-4(1)=-4<0


t=e ist das Maximum des Grafen.


h(e)=2e^{2} \cdot (1,5-ln(e))=2e^{2} \cdot (1,5-1)=2e^{2} \cdot (0,5)=e^{2}\approx 7,39


h=e^{2} \cdot 100=738,91m


Antwort: Die größte erreichte Höhe der Ballonfahrt beträgt 738,91 Meter.

1.2

n.B.: h''(t)=0


h''(t)=4 \cdot (1-ln(t))+4t \cdot (-\frac{1}{t})=4-4 \cdot ln(t)-4=-4 \cdot ln(t)


-4 \cdot ln(t)=0

ln(t)=0

t=1


h.B.: \ h'''(t) \ne 0

\ h'''(t)=- \frac{4}{t}

\ h'''(1)=- \frac{4}{1}=-4 \ne 0


h'(1)=4 \cdot (1) \cdot (1-ln(1))=4 \cdot (1-0)=4

v=4 \cdot 100=400\frac{m}{h}


h(1)=2 \cdot (1^{2}) \cdot (1,5-ln(1))=2 \cdot (1,5-0)=3

h=3 \cdot 100=300m


Antwort: Der Ballon steigt zum Zeitpunkt von 1 Stunde bei einer Höhe von 300 Metern mit der Geschwindigkeit von 400 Metern pro Stunde am stärksten.

Hellmann Abituraufgabe 1.2.jpg


Aufgabe nicht nicht vollständig, da ich jetzt ins Training muss!!!

.Aufgabe;

Lösungsvorschlag von --Marius95 18:29, 13. Nov. 2013 (CET)

f(x) = \frac{x}{4}\sqrt{20-x}=\frac{1}{4}\sqrt{20x^{2}-x^{3}}

2.1 Höhe des Ballons

Marius95 A1 Ballon 2.jpg

Der Abstand zwischen der Austrittsdrüse des Brenners und des Brennerrahmens beträgt 1 Meter.

Wir berechnen nun die Höhe des Ballons zwischen dem Brennerrahmen und der Ballonspitze mit Hilfe der Nullstellenbestimmung:


f(x)=\frac{1}{4}\sqrt{20x^{2}-x^{3}}=0 | \left(   f(x) \right)^{2}

\frac{1}{16}.\left(  20x^{2}-x^{3}\right)   =0

\frac{20}{16}.x^{2}-\frac{1}{16}x^{3}=0

x^{2}\left(     \frac{20}{16}-\frac{1}{16}x\right)   =0

  x_{1}=0   \vee  \frac{20}{16}-\frac{1}{16}x=0 \qquad

x_{2}=20


Da die x-Achse die Querschnittsfläche des Ballons halbiert, sind die Nullstellen der Funktion auch gleichzeitg die Höhe des Ballons - 20 Meter.


Antwort: Die Höhe des Ballons beträgt 20 Meter.

(Die Austrittsdüse ist 1m vom Brennerrahmen entfernt; die Austrittsdüse befindet sich im Ursprung Ihres Schaubildes.--CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr 16:41, 18. Nov. 2013 (CET))


2.2 Berechnung der Länge des horizontalen Lastbandes am Ballonäquator

gegeben: f(x) = \frac{x}{4}\sqrt{20-x}=\frac{1}{4}\sqrt{20x^{2}-x^{3}}

U = 2\pi \cdot r


f'(x)= 0\cdot\sqrt{20x^{2}-x^{3}} + \frac{1}{4}\left[   \left( \frac{1}{2\sqrt{20x^{2}-x^{3}}}\right)  \cdot \left(40x-3x^{2}\right) \right] = \frac{40x-3x^{2} }{8\sqrt{20x^{2}-x^{3}}}

not. Bed.: f'(x) = 0

0 = \frac{40x-3x^{2} }{8\sqrt{20x^{2}-x^{3}}} |\cdot8\sqrt{20x^{2}-x^{3}}

0 = 40x-3x^{2}

 0 = x\cdot\left( 40-3x\right) \Rightarrow x_{1}= 0

x_{1}= 0 \vee 40-3x = 0 | +3x | :3  \Rightarrow x_{2}\approx 13,33

Das Maximum (Maximumsstelle--CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr 16:45, 18. Nov. 2013 (CET)) ist x=13,33 und damit auch der x-Wert es Ballonäquators.

Um den Radius des Ballonäquators zu berechnen müssen wir den x-Wert in die Funktion f(x) einsetzen:

f(13,33)= \frac{1}{4}\cdot\sqrt{20\left(13,33\right)^{2}-\left(13,33\right)^{3}}\approx \frac{1}{4}\cdot\left(34,43\right)\approx      8,61m

Der Radius des Ballonäquators beträgt 8,61 Meter.


Der y-Wert des Hochpunktes ist dabei der Radius [r]. Die Länge des Ballonäquators lässt sich also mit der Formel U = 2\pi \cdot r berechnen, wobei [U] hier als Länge verstanden werden kann.

y=r\approx  8,61m

U = 2\pi \cdot r

U=2\pi \cdot 8,61m = 54,10m

Antwort: Die Länge des horizontalen Lastbandes am Balläquator beträgt ca. 54,10 Meter.


Durchmesser des Brennerrahmens

f(x) = \frac{x}{4}\sqrt{20-x}

Da sich der Brennerrahmen 1 Meter, also 1 Wert in x-Richtung, von der Austrittsdrüse entfernt befindet, muss man einfach nach f(1) auflösen und mit 2 multiplizieren, damit man den Durchmesser bekommt.

f(1) = \frac{1}{4}\sqrt{20-1}\cdot 2=1,09\cdot 2=2,18m

Antwort: der Durchmesser des Brennerrahmens beträgt ca 2,18 Meter.

--Marius95 22:21, 18. Nov. 2013 (CET)

Lösungsvorschlag von--Hellmann 23:15, 14. Nov. 2013 (CET)

Aufgabe 2.1

f(x)=\frac{1}{4} \cdot \sqrt{20x^{2}-x^{3}}


f(x)=0


0=\frac{1}{4} \cdot \sqrt{20x^{2}-x^{3}}

0=20x^{2}-x^{3}

0=x^{2} \cdot (20-x)

\ x^{2}=0 \vee 20-x=0

\ x=0 \vee x=20


Antwort: Die Höhe des Ballons beträgt 20 Meter.

Hellmann Abituraufgabe 2.1.jpg

Aufgabe 2.2

Länge des horizontalen Lastbandes: Maximum des Grafen\rightarrow f'(x)=0


f'(x)=\frac{1}{8} \cdot (20x^{2}-x^{3})^{-\frac{1}{2}} \cdot (40x-3x^{2}) =\frac{40x-3x^{2}}{8 \cdot \sqrt{20x^{2}-x^{3}} }


0=\frac{40x-3x^{2}}{8 \cdot \sqrt{20x^{2}-x^{3}} }

0=40x-3x^{2}

\ x=0 \vee 40-3x=0

\ x=0 \vee 3x=40

\ x=0 \vee x=\frac{40}{3}


Da f(0)=0 ist, ist x=\frac{40}{3} das Maximum der Funktion und somit der x-Wert des Ballonäquators.


f(\frac{40}{3})=\frac{1}{4} \cdot \sqrt{20(\frac{40}{3})^{2}-(\frac{40}{3})^{3}}\approx \frac{1}{4} \cdot (34,43)\approx     8,61m


Das bedeutet, dass der Radius des Balläquators 8,61 Meter beträgt.


U_{o}=2 \cdot \pi \cdot r=2 \cdot \pi \cdot 8,61m=54,10m


Antwort: Die Länge des horizontalen Lastbandes am Ballonäquator beträgt 54,10 Meter.


Durchmesser des Brennerrahmens:


d=f(1) \cdot 2=?


d=f(1) \cdot 2=(\frac{1}{4} \cdot \sqrt{20-1}) \cdot 2=  1,09 \cdot 2=2,18m


Antwort: Der Durchmesser des Brennerrahmens beträgt 2,18 Meter.

. Aufgabe

Lösungsvorschlag von --Hellmann 17:22, 14. Nov. 2013 (CET)

Gesucht ist das Volumen des Ballons von x=1 bis x=20.


V= \pi \cdot \int_{1}^{20} (f (x))^{2}\,dx =\pi \cdot \int_{1}^{20} (\frac{1}{4} \cdot \sqrt{20x^{2}-x^{3}})^{2}\,dx=\pi \cdot \int_{1}^{20} \frac{1}{16} \cdot (20x^{2}-x^{3})\,dx=\frac{1}{16} \cdot \pi \cdot [\frac{20}{3} \cdot x^{3}-\frac{1}{4} \cdot x^{4}]^{20}_{1}  =\frac{1}{16} \cdot \pi \cdot [(\frac{160000}{3}-40000)-(\frac{20}{3}-\frac{1}{4})]=\frac{1}{16} \cdot \pi \cdot (13333\frac{1}{3}-6\frac{5}{12})\approx     832,93 \cdot \pi\approx 2616,73m^{3}


Antwort: Das Volumen des Ballons beträgt 2616,73 Kubikmeter.


Volumen eines Zylinders:


V_{z}=G \cdot h= \pi \cdot r^{2} \cdot h


Teilt man den Grafen, wie bei der Ober- und Untersumme, in viele verschiedene Abschnitte ein, so entstehen aus diesen, wenn man diese um die x-Achse routieren lässt, viele kleine Zylinder. Der Radius wäre in diesem Fall f(x) und die Höhe der dazugehörige x-Wert (dieser entspricht \Delta x, da der x-Wert immer verändert wird).


Daraus ergibt sich das Volumen (Vorsicht! Das ist das Teilvolumen eines Zylinders. --CJSchmitt, Europa-Schule Obermayr 17:29, 18. Nov. 2013 (CET)) V= \pi \cdot (f(x))^{2} \cdot \Delta x = \pi \int_{0}^{h} (f (x))^{2}\,dx

Durch diese Methode lässt sich mit Hilfe der Formel des Zylinder Volumens das Volumen eines Rotationskörpers bestimmen.