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. Aufgabe. Lösungsvorschlag von --Hellmann (Diskussion) 20:58, 4. Nov. 2014 (CET)

Nullstellen

f_{k}(x)=0


\frac{x+k}{e^{x}} =0

x+k=0


x_{N}=-k


Parameterwerte von k:

x=-3 \Rightarrow k=3

x=-2 \Rightarrow k=2

x=-1 \Rightarrow k=1

x=0 \Rightarrow k=0

x=1 \Rightarrow k=-1



Extrem- und Wendestellen

f'(x)= \frac{e^{x} \cdot 1-(x+k) \cdot e^{x}}{e^{2x}} =  \frac{1-x-k}{e^{x}}

f''(x)= \frac{e^{x} \cdot (-1)-(1-x-k) \cdot e^{x}}{e^{2x}} = \frac{-1-1+x+k}{e^{x}}=  \frac{-2+x+k}{e^{x}}


Extremstellen n.B.: f'(x)=0

 \frac{1-x-k}{e^{x}}=0

x_{E}=1-k


Wendestelle n.B.: f(x)=0

\frac{-2+x+k}{e^{x}} =0

-2+x+k=0

x_{W}=2-k


Extremstelle liegt in der Mitte von Null- und Wendestelle:

x_{E}= \frac{1}{2}  \cdot (x_{N}+x_{W})


 \frac{1}{2}  \cdot (x_{N}+x_{W})= \frac{1}{2} \cdot (-k+2-k)= \frac{1}{2} \cdot (2-2k)=1-k=x_{E}



Funktionsgleichung der Ortskurve

x=1-k


y=\frac{x+k}{e^{x}} =\frac{1-k+k}{e^{1-k}}=\frac{1}{e^{1-k}}


\Rightarrow k=1-x


y=\frac{1}{e^{1-(1-x)}=\frac{1}{e^{x}}}=e^{-x}


Die Ortskurve hat die Funktionsgleichung O(x)=e^{-x}

Ortskurve



Jede Scharfunktion ist 2. Ableitungsfunktion

f_{k}(x)= \frac{x+k}{e^{x}}=(x+k) \cdot e^{-x}


f_{k}''(x)= \frac{-2+x+k}{e^{x}} =(-2+x+k) \cdot e^{-x}=((x-2)+k) \cdot e^{-(x-2)} \cdot e^{-2}=e^{-2} \cdot f_{k}(x-2)


Der Graph von f_{k} wird um 2 nach rechts verschoben und um e^{-2} gestaucht.


am Abitursamstag wurde diese Lösungsmöglichkeit gewählt:

f''_{k}(x)=\frac{(x-2)+k}{e^x} =\frac{(x-2)+k}{e^{(x-2)}} \cdot e^{-2}=f_k(x-2) \cdot e^{-2}


k=3 ...

Der Graph zeigt die Funktion f(x) mit k=3 und deren zweite Ableitung.



Stammfunktionenschar

f_{k}(x)= \frac{x+k}{e^{x}} =(x+k) \cdot e^{-x}


_______________________________________________________

h(x)=x+k und h'(x)=1

g'(x)=e^{-x} und g(x)=-e^{-x}

_______________________________________________________

 \int (x+k) \cdot e^{-x} dx= \int h(x) \cdot g'(x) dx=g(x) \cdot h(x) - \int g(x) \cdot h'(x) dx=-e^{-x} \cdot (x+k)- \int (-e^{-x}) \cdot (1) dx=-e^{-x} \cdot (x+k)-e^{-x}=-(x+k+1) \cdot e^{-x}


F_{k}(x)=-(x+k+1) \cdot e^{-x}



Flächeninhalt

Kein explizites Integral möglich, da sich die Funktion der x-Achse nähert. Daher kann die Aufgabe nur durch Grenzwertbestimmung gelöst werden.


Nullstelle: x=-k


 \int_{-k}^a f_{k}(x)dx=  [F_k(x)]_{-k}^a=[-(x+k+1) \cdot e^{-x}]_{-k}^a=-(a+k+1) \cdot e^{-a}+(-k+k+1) \cdot e^k=-(a+k+1) \cdot e^{-a}+e^k


\Rightarrow  \lim_{a \rightarrow  \infty } (-(a+k+1) \cdot e^{-a}+e^k)=e^k


Der Flächeninhalt der Funktionsschar beträgt e^k, da zwar die Klammer gegen unendlich geht, jedoch e^{-a} gegen null geht und diese einen höheren Einfluss hat und somit nur noch e^k übrig bleibt.


Man kann diese Aufgabe statt mit einem Parameter auch direkt mit einem uneigentlichen Integral berechnen:


 \int_{-k}^ \infty  f_{k}(x)dx=  \lim_{a \rightarrow  \infty }  [F_k(x)]_{-k}^a= \lim_{a \rightarrow  \infty }  [-(x+k+1) \cdot e^{-x}]_{-k}^a= \lim_{a \rightarrow  \infty } [-(a+k+1) \cdot e^{-a}+e^k]=e^k



Verschiebung der Funktionsschar

Nullstellen von g_k: x=0

Nullstellen von f_k: x=-k


Daraus folgt, dass man den Graphen für k>0 nach rechts und für k<0 nach links veschieben muss!

Wenn man nun die Nullstelle der Funktionsschar beim Ursprung haben möchte, muss man eine Verschiebung der Funktion auf der x-Achse vornehmen. Dazu muss man f_k(x-2) nehmen, da sich so das k beim Einsetzen aufhebt und x=0 als Nullstelle rauskommt.


f_k(x-k)= \frac{(x-k)+k}{e^{x-k}} =x \cdot e^{k-x}= g_k(x)



Aussage des Graphen im Sachzusammenhang

In den ersten Monaten legen die Welpen stark an Gewicht zu, was an einem steilen Anstieg des Graphen zu erkennen ist.

Diese Zunahme erreicht nach kurzer Zeit ihr Maximum, welches am Hochpunkt des Graphen zu erkennen ist.

Danach nimmt die Gewichtszunahme wieder relativc stark ab, welches durch eine negative Steigung zu sehen ist.

Zwischen dem 13 und 18 MOant (abhängig von der Hunderasse) haben die jungen Hunde ihr Endgewicht fast ganz erreicht, da sich nun die Gewichtszunahme der x-Achse nähert, was bedeutet, dass die Gewichtzunahme nun nur noch sehr gering ist.



Funktion für Wachstum der Schäferhunde

g_k(x)=x \cdot e^{k-x}

g_k'(x)= e^{k-x} +x \cdot (-e^{k-x})=e^{k-x} -x \cdot e^{k-x}=e^{k-x} \cdot (1-x)


Tabelle: HP(3|165)


Extremstelle n.B: g_k'(x)=0

e^{k-x} \cdot (1-x)=0

e^{k-x} \neq 0 und 1-x=0

\rightarrow x_E=1


Hochpunkt: g_k(1)=1 \cdot e^{k-1}


allgemein HP(1|e^{k-1})


daraus folgt:

e^{k-1}=165

k-1=ln (165)

k=ln(165)+1\approx 6,11


Um von der Extremstelle x=3 zu der Extremstelle bei x=1 beim Hochpunkt zu gelangen, muss man den Graph mit 1/3 multiplizieren, da er so um den Faktor 3 n x-Richtung getreckt wird.


h_s=\frac{x}{3} \cdot e^{6,11- \frac{x}{3}  }=g_{6,11}(\frac{1}{3}x)